線性方程組的解法在會(huì)計(jì)統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用

鄒雨情

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線性方程組的解法在會(huì)計(jì)統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用

鄒雨情

摘要：線性方程組求解計(jì)算涉及到航空航天、計(jì)算機(jī)計(jì)算程序、環(huán)境科學(xué)、會(huì)計(jì)統(tǒng)計(jì)計(jì)算、隱身器件設(shè)計(jì)等國(guó)民經(jīng)濟(jì)與國(guó)防建設(shè)等方面,其中往往需要求解一個(gè)或一系列大型線性系統(tǒng)。反問題就是所謂的已知有一組復(fù)數(shù),之后要求構(gòu)造一個(gè)矩陣A，使其具有某種性質(zhì)，并且求得的矩陣A的特征值也恰好是我們之前知道的那組復(fù)數(shù)。而且,隨著問題規(guī)模所需的計(jì)算量增加,相應(yīng)線性系統(tǒng)的未知數(shù)個(gè)數(shù)也在增加,有的上百萬或千萬,更有甚者竟達(dá)到上億。在本文中,我們通過與線性方程組的反問題相關(guān)的兩組例題，了解了每到例題的解題方法，以及該問題涉及到的對(duì)于線性方程組反問題在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用，還有一些相關(guān)的推論定理證明以及應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：線性方程組；求解反問題；r-循環(huán)矩陣式

會(huì)計(jì)在統(tǒng)計(jì)大型數(shù)據(jù)時(shí),求解整個(gè)問題的關(guān)鍵和基礎(chǔ)是這些線性方程組的求解問題所在,計(jì)算過程大部分的時(shí)間和空間都浪費(fèi)在計(jì)算量上,更有甚者計(jì)算量竟然占計(jì)算過程的80%以上。線性方程組反問題求解研究是現(xiàn)代科學(xué)計(jì)算的焦點(diǎn)和重要課題之一,有效的、簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)方法研究既有理論意義又有實(shí)際意義,線性方程組的反問題在代數(shù)中,是最簡(jiǎn)單但也是最重要的一類方程組求解問題,線性方程組求解的反問題在會(huì)計(jì)進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)時(shí)常用的一種方法。許多難解的問題，解法中的式子最后都能化成線性方程組，所以線性方程組對(duì)于計(jì)算數(shù)學(xué)是及其重要的。

自動(dòng)回歸濾波器領(lǐng)域的許多問題，如計(jì)算機(jī)時(shí)間序列分析等，都涉及到周期性，這導(dǎo)致了一種特殊的矩陣r-循環(huán)矩陣式的研究—。針對(duì)r-循環(huán)矩陣式,研究基于ILUTP(p,)的預(yù)處理技術(shù),結(jié)合最小度排序的思想，在主要元件的選擇加入柱非零權(quán)重參數(shù)，矩陣的分解過程中減少填充元的重新排序，從而降低存儲(chǔ)的復(fù)雜性，減少計(jì)算量，提高運(yùn)行效率，同時(shí)確保矩陣稀疏分解過程中不被摧毀。因此，對(duì)它的研究引起了人們的極大關(guān)注。特別是，更強(qiáng)調(diào)快速算法的r-循環(huán)矩陣。近年來，由于實(shí)際問題的需要，反問題的研究線性方程組已成為一個(gè)非?；鸬难芯空n題。

定義1若復(fù)數(shù)域C上的矩陣具有形狀

則稱A為r-循環(huán)矩陣，簡(jiǎn)記為A=circr(a0,a1,...,an-1)。

利用行列式,把線性方程組的解以公式解的形式表示出來。而當(dāng)線性方程組的數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相同時(shí)，則只能求解該規(guī)則，而方程系數(shù)的行列式不等于問題的解。如果方程的數(shù)目不與未知量的個(gè)數(shù)相同，或該方程組的系數(shù)行列式等于更一般的線性方程組，克萊姆法則不能用于求解方程。

在科學(xué)研究和生產(chǎn)實(shí)踐中,許多實(shí)際問題往往涉及到解線性方程組及其反問題。因此,對(duì)線性方程組的研究具有十分重要的意義,所謂線性方程組反問題的解,是相對(duì)于對(duì)應(yīng)線性方程組的“正問題”而言的。那么,線性方程組的反問題是什么樣的呢?以及該問題中涉及到的關(guān)于線性方程組反問題的應(yīng)用,還有一些相關(guān)的定理和推論的證明以及應(yīng)用。

問題1構(gòu)造一個(gè)線性方程組，使該線性方程組的通解為：B0+k1*B1+……+kr*Br。

相關(guān)定理設(shè)已知的記B=[B1，……,Br]T(其中T表示轉(zhuǎn)置)，對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組BX=0的解中的一個(gè)基礎(chǔ)解系即為：A1，……An-r。我們將其記為A=[A1，……An-r]T(其中T表示轉(zhuǎn)置),那么對(duì)于A*B0=b，也就是齊次線性方程組AX=b，則可以得到通解：B0+k1*B1+……+kr*Br。我們將其記為A=[A1，……An-r]T(其中T表示轉(zhuǎn)置),則B1，……,Br是已知的線性齊次方程組AX=0的其中一個(gè)基礎(chǔ)解系。

相關(guān)定理已知問題中給定了r個(gè)線性無關(guān)n維列向量：B1，……,Br。我們把它記為B=[B1，……,Br]T(其中T表示轉(zhuǎn)置)，我們假設(shè)求得的齊次線性方程組BX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系即為：A1，……An-r。給定向量線性組合B0+k1*B1+……+kr*Br，在此向量線性組合中，B1，……,Br是一組n維線性無關(guān)向量組。

證明由我們的假設(shè)B[A1，……An-r]=B*AT=0(其中T表示轉(zhuǎn)置)，所以A·BT=0(其中T表示轉(zhuǎn)置)，也就是說A[B1，……,Br]=0。即我們得到的B1，……,Br為線性齊次方程組AX=0的一組解。又因?yàn)閞(A)=n-r，而B1，……,Br線性無關(guān)，所以我們求得的B1，……,Br就是AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系。

結(jié)束語：線性方程組求解計(jì)算涉及到航空航天、計(jì)算機(jī)計(jì)算程序、環(huán)境科學(xué)、會(huì)計(jì)統(tǒng)計(jì)計(jì)算、隱身器件設(shè)計(jì)等國(guó)民經(jīng)濟(jì)與國(guó)防建設(shè)等方面,其中往往需要求解一個(gè)或一系列大型線性系統(tǒng)。而且，隨著問題規(guī)模的大大提高，相應(yīng)線性系統(tǒng)的未知數(shù)個(gè)數(shù)也在明顯增加，有的上百萬、千萬，更有甚者上億。本文利用多項(xiàng)式最大公因式,給出了線性方程組的反問題在r-循環(huán)矩陣類和對(duì)稱r-循環(huán)矩陣類中有唯一解的充要條件,進(jìn)而得到線性方程組在r循環(huán)矩陣類和對(duì)稱r-循環(huán)矩陣類中的反問題求唯一解的算法。最后給出了應(yīng)用該算法的數(shù)值例子，所謂反問題，是指已知有一組復(fù)數(shù)，之后要求構(gòu)造一個(gè)矩陣A，使其具有某種性質(zhì)，并且求得的矩陣A的特征值也恰好是我們之前知道的那組復(fù)數(shù)?；蛘呤窃谝阎猙和x的情況下，比如該矩陣是對(duì)稱正定矩陣，并且可以滿足：b=A*x。(作者單位：沈陽師范大學(xué))

參考文獻(xiàn)：

[1]利用矩陣方程研究?jī)深惥€性方程反問題-張寶善，蔣永泉-《Journal of Mathematical Research with Applications》-1997；

[2]論非齊次線性方程組的又一類反問題-劉建國(guó)-《葛洲壩水電工程學(xué)院學(xué)報(bào)》-1996；

[3]一類線性方程反問題的顯示通解及其應(yīng)用-張君敏-《河南師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版》-2000；

作者簡(jiǎn)介：鄒雨情(1994.12-)，女，遼寧黑山人，數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)。