界面裂紋的Cell-Based光滑有限元法研究*1

周立明，孟廣偉，李　鋒

(吉林大學(xué) 機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院,吉林 長春　130025)

?

界面裂紋的Cell-Based光滑有限元法研究*1

周立明，孟廣偉?，李鋒

(吉林大學(xué) 機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院,吉林 長春130025)

摘要：為提高求解含界面裂紋結(jié)構(gòu)斷裂參數(shù)的精度，基于界面斷裂力學(xué)和Cell-Based光滑有限元法，提出了求解雙材料界面裂紋斷裂參數(shù)的Cell-Based 光滑有限元法，給出了求解應(yīng)力強(qiáng)度因子的光滑子域交互積分法，對含中心界面裂紋雙材料無限板進(jìn)行了模擬，并與FEM計(jì)算結(jié)果和解析解進(jìn)行了對比，討論了光滑子元數(shù)和單元個(gè)數(shù)與正則應(yīng)力強(qiáng)度因子的關(guān)系及其收斂性.數(shù)值算例結(jié)果表明該方法具有很好的收斂性和精度，可為研究人員和工程師設(shè)計(jì)制造多層材料提供必要參考.

關(guān)鍵詞：光滑有限元法；界面裂紋；應(yīng)力強(qiáng)度因子；交互積分

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，航空航天、機(jī)械工程和生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域?qū)Χ鄬硬牧?如復(fù)合材料層合板、粘接接頭、薄膜/基體系統(tǒng))的需求日益增多.多層材料的整體力學(xué)特性和響應(yīng)完全依賴于界面的性能.裂紋或類似裂紋缺陷往往出現(xiàn)在界面處，裂紋尖端的應(yīng)力集中導(dǎo)致裂紋擴(kuò)展或膠粘層脫黏.借助計(jì)算機(jī)模擬雙材料界面裂紋能量釋放率或應(yīng)力強(qiáng)度因子[1]，可進(jìn)一步得到界面裂紋力學(xué)性能失配及裂紋擴(kuò)張機(jī)理，為研究人員和工程師預(yù)測材料的壽命及提升多層材料的應(yīng)用空間奠定基礎(chǔ).

England[2]和Rice[3]的研究奠定了界面斷裂力學(xué)的理論基礎(chǔ).對于含界面裂紋復(fù)雜結(jié)構(gòu)的斷裂參數(shù)的求解不得不借助于數(shù)值計(jì)算方法.Bjerkén[4]采用FEM對雙材料界面裂紋問題進(jìn)行了研究.Belytschko[5]等提出了研究界面裂紋問題的無網(wǎng)格法.Sukumar[6]等和江守燕[7]等基于擴(kuò)展有限元，通過相互作用積分[8]求解了雙材料界面裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子.姚振漢等[9]采用邊界元對界面裂紋進(jìn)行了模擬.Zhao[10]和Gao[11]等分別采用數(shù)值流形方法和無網(wǎng)格流形方法對雙材料界面裂紋的斷裂參數(shù)進(jìn)行了求解.Pathak等[12]基于無網(wǎng)格法和擴(kuò)展有限元法對界面裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行模擬.可見，采用數(shù)值計(jì)算方法求解界面裂紋的斷裂參數(shù)是目前解決界面裂紋問題的主要手段.基于位移有限元求解的位移解偏小；邊界元的應(yīng)用范圍以存在相應(yīng)微分算子的基本解為前提；無網(wǎng)格計(jì)算效率低；擴(kuò)展有限元在包含不連續(xù)界面的單元中需對間斷函數(shù)進(jìn)行數(shù)值積分，采用高斯積分求解時(shí)會存在較大誤差.為提高求解精度，Liu等[13]將無網(wǎng)格法中的光滑應(yīng)變措施[14]引入有限元，提出了光滑有限元法.光滑有限元法具有網(wǎng)格要求低、形函數(shù)簡單、計(jì)算精度高等優(yōu)點(diǎn)，目前已應(yīng)用于很多領(lǐng)域[15-16]，但關(guān)于界面裂紋問題的光滑有限元法研究還未見報(bào)道.

本文基于光滑有限元法，結(jié)合界面斷裂力學(xué)提出了求解雙材料界面裂紋斷裂參數(shù)的Cell-Based 光滑有限元法，計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子時(shí)采用互交積分法，對無限大含中心裂紋的雙材料板進(jìn)行了模擬，并與FEM求解結(jié)果和解析解進(jìn)行了對比.

1界面斷裂力學(xué)

K=KI+iKII

(1)

圖1　雙材料界面裂紋

裂紋尖端處的應(yīng)力σyy和τxy有：

(2)

式中：t為雙材料參數(shù)，表達(dá)式為

(3)

式中：

(4)

其中：

(5)

其中：μs為材料s的剪切模量;κs為材料s的Kolosov常數(shù).

J積分與應(yīng)力強(qiáng)度因子的關(guān)系:

(6)

式中：

(7)

(8)

雙材料界面裂紋尖端上半面位移漸近解[6]：

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

式中：(r，θ)為極點(diǎn)在右裂尖處的極坐標(biāo)，Re和Im分別為取復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，rit=eitlogr=cos(tlogr) +i sin(tlogr)，Q的表達(dá)式為：

(14)

下半面位移漸近解將-tπ代替tπ，用κ2代替κ1.

2Cell-Based光滑有限元法

該問題的光滑Galerkin弱形式可表示為：

∫ΓδuTfdΓ=0

(15)

廣義位移為：

(16)

式中：qi為節(jié)點(diǎn)位移，Ni為形函數(shù)對角矩陣.

光滑應(yīng)變?yōu)椋?/p>

(17)

(18)

式中：Ac為第c光滑區(qū)域的面積，Ac=∫ΩcdΩ.

圖2　光滑域的劃分

將式(18)代入式(17)，由散度定理得

(19)

式中：Γc為光滑域Ωc的邊界，m為積分段外法向向量.

將式(16)代入式(19)中，可得

(20)

式中：

(21)

式(20)和式(16)代入式(15)中，可得離散方程

Kq=F

(22)

式中：K為整體光滑剛度矩陣，可由光滑單元?jiǎng)偠染仃嚱M裝得到

(23)

式中：ns為光滑子域的總數(shù)，F(xiàn)為力向量，

(24)

式中：φ為有限元形函數(shù).

Cell-Based光滑有限元法推導(dǎo)過程中未對彈性矩陣D做任何約束，因此，Cell-Based光滑有限元法不僅適用于各向同性材料，同樣適用于各向異性材料.

3光滑子域交互積分M

i=x,y,j=x,y,k=x,y

(25)

式中：δ1j為克羅內(nèi)克函數(shù)；S為由曲線Γ，C+，C-和C0圍成積分區(qū)域；在Γ上單位外法向向量Tj=-mj，在C+，C-和C0上Tj=mj；g為權(quán)函數(shù).

圖3　交互積分M

采用Cell-Based 光滑有限元法求解交互積分M(1,2)時(shí)，其表達(dá)式為：

(26)

圖4　光滑子域交互積分M

由式(6)可知交互積分M(1+2)與應(yīng)力強(qiáng)度因子的關(guān)系[6]為：

(27)

(28)

(29)

4數(shù)值算例

取一含中心界面裂紋無限大板，如圖5所示，材料參數(shù)E1=10 GPa，E2=220 GPa，v1=0.3，v=0.257 1，h=l=30 mm，裂紋長度為2a，σ∞=1 MPa，平面應(yīng)變問題，應(yīng)變能可定義如下：

(30)

圖5　中心界面裂紋板受拉伸作用

正則應(yīng)力強(qiáng)度因子的解析解[3]如下：

(31)

式中：

(32)

由于結(jié)構(gòu)和載荷對稱，取右側(cè)1/2模型，邊界條件為約束左右兩邊水平向位移以及右下角豎向位移，離散成8 400個(gè)單元，每個(gè)單元?jiǎng)澐譃閚c個(gè)光滑子元，表1給出了a=1 mm時(shí)，由Cell-SFEM計(jì)算得到的應(yīng)變能和正則應(yīng)力強(qiáng)度因子．由表1可見，本文方法具有很好的收斂性，光滑子元數(shù)為4時(shí)就可準(zhǔn)確地求解界面裂紋右側(cè)的正則應(yīng)力強(qiáng)度因子.

表1　光滑子元個(gè)數(shù)與應(yīng)變能和正則應(yīng)力強(qiáng)度因子的關(guān)系

圖6給出了1/2模型的應(yīng)力σyy等勢線和應(yīng)變εyy等勢線．可見，應(yīng)力場幾乎是連續(xù)的和關(guān)于x軸對稱的，則應(yīng)變場是不連續(xù)的，這種不連續(xù)是由于材料屬性改變引起的.圖6中應(yīng)力場和應(yīng)變場滿足界面應(yīng)力和應(yīng)變分布情況.

圖6　1/2模型的應(yīng)力σyy等勢線

圖7和圖8給出了裂紋長度為a=1 mm時(shí)，光滑子元個(gè)數(shù)為4時(shí)Cell-SFEM所求解的正則應(yīng)力強(qiáng)度因子，并與FEM計(jì)算結(jié)果和解析解做了對比.圖9和圖10給出了裂紋長度a=0.4 mm,0.6 mm,0.8 mm,1.0 mm和1.2 mm時(shí)，結(jié)構(gòu)離散為7 200個(gè)單元，每個(gè)單元?jiǎng)澐譃?個(gè)光滑子時(shí)，Cell-SFEM所求解的正則應(yīng)力強(qiáng)度因子，并與FEM計(jì)算結(jié)果和解析解做了對比.由此可見，在相同單元數(shù)下，Cell-SFEM的計(jì)算精度高于FEM.

Elements

Elements

a/mm

.

a/mm

5結(jié)論

本文提出求解含界面裂紋問題的Cell-Based 光滑有限元法，對無限大含中心界面裂紋的雙材料板進(jìn)行了模擬，并與FEM計(jì)算結(jié)果和解析解進(jìn)行了對比，得到以下結(jié)論：

1)在相同單元數(shù)下，Cell-SFEM的計(jì)算精度高于FEM.

2)Cell-SFEM具有很好的收斂性，光滑子元取4時(shí)就具有了較高的求解精度.

3)基于Cell-SFEM的交互積分M求解簡單.

參考文獻(xiàn)

[1]CHEN L, YEAP K B, ZENG K Y,etal. Finite element simulation and experimental determination of interfacial adhesion properties by wedge indentation[J]. Philosophical Magazine, 2009, 89(17):1395-1413.

[2]ENGLAND A H. A crack between dissimilar media[J]. Journal of Applied Mechanics, 1965,32(2):400-402.

[3]RICE J R. Elastic fracture mechanics concepts for interfacial cracks[J]. Journal of Applied Mechanics, 1988,55(1):98-103.

[4]BJERKéN C, PERSSON C. A numerical method for calculating stress intensity factors for interface cracks in bimaterials[J]. Engineering Fracture Mechanics, 2001,68(2):235- 246.

[6]SUKUMAR N, HUANG Z Y, PRéVOST J H,etal. Partition of unity enrichment for bimaterial interface cracks[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2004,59(8):1075-1102.

[7]江守燕,杜成斌,顧沖時(shí),等.求解雙材料界面裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的擴(kuò)展有限元法[J]. 工程力學(xué),2015,32(3): 22-27.

JIANG Shou-yan, DU Cheng-bin, GU Chong-shi,etal. Computation of stress intensity factors for interface cracks between two dissimilar materials using extended finite element methods[J]. Engineering Mechanics, 2015,32(3):22-27.(In Chinese)

[8]YU H J, WU L Z, GUO L C,etal. Interaction integral method for the interfacial fracture problems of two nonhomogeneous materials[J]. Mechanics of Materials, 2010,42(4): 435-450.

[9]張明,姚振漢,杜慶華,等.雙材料界面裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的邊界元分析[J].應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào),1999,16(1):21-26.

ZHANG Ming, YAO Zhen-han, DU Qing-hua,etal. Boundary element analysis of stress intensity factors of bimaterial interface crack[J]. Chinese Journal of Applied Mechanics, 1999,16(1):21-26. (In Chinese)

[10]AN X M, ZHAO Z Y, ZHANG H H,etal. Modeling bimaterial interface cracks using the numerical manifold method[J]. Engineering Analysis with Boundary Elements, 2013,37(2):464-474.

[11]GAO H F, WEI G F. Stress intensity factor for interface cracks in bimaterials using complex variable meshless manifold method[J]. Mathematical Problems in Engineering, 2014, 353472:1-8.

[12]PATHAK H, SINGH A, SINGH I V. Numerical simulation of bi-material interfacial cracks using EFGM and XFEM[J]. International Journal of Mechanics and Materials in Design, 2012,8(1):9-36.

[13]LIU G R, DAI K Y, NGUYEN T T. A smoothed finite element method for mechanics problems[J]. Computational Mechanics, 2007,39(6):859-877.

[14]CHEN J S, WU C T, YOON S,etal. A stabilized conforming nodal integration for Galerkin mesh-free methods[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2001,50(2):435-466.

[15]ZHOU L M, MENG G W, LI F,etal. Cell-based smoothed finite element method-virtual crack closure technique for a piezoelectric material of crack[J]. Mathematical Problems in Engineering, 2015, 371083:1-10.

[16]周立明,孟廣偉,王暉,等. 基于光滑有限元的含裂紋復(fù)合材料的虛擬裂紋閉合法[J]. 湖南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2014,41(8):36-40.

ZHOU Li-ming, MENG Guang-wei, WANG hui,etal. Virtual crack closure technique based on smoothed finite method for composite materials with cracks[J]. Journal of Hunan University: Natural Sciences, 2014, 41(8):36-40. (In Chinese)

Research on Cell-Based Smoothed Finite Element Method of Interface Cracks

ZHOU Li-ming，MENG Guang-wei?，LI Feng

(School of Mechanical Science and Engineering, Jilin Univ, Changchun,Jilin130025, China)

Abstract:To improve the accuracy of the fracture parameters of interface fracture structure, based on the interfacial fracture mechanics and smoothed finite element method, Cell-Based smoothed finite element method was proposed to solve the fracture parameters of bi-material interface crack, and the smoothing cells of the interaction integral method was given to obtain the stress intensity factor. The central interface cracks of bi-material infinite plate were simulated, and the FEM calculation results and the analytical solution were compared. The relationships among the number of elements, the number of subdomain and normalization stress intensity factors as well as the convergence of the proposed method were discussed. Numerical example results show that this method has good convergence and high accuracy and can be designed and manufactured as necessary references for researchers and engineers in multilayer materials.

Key words:smoothed finite element method; interfacial cracks; stress intensity factors; interaction integral

文章編號：1674-2974(2016)06-0034-06

收稿日期：2015-07-25

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51305157),National Natural Science Foundation of China(51305157); 吉林省科技廳基金資助項(xiàng)目(20160520064JH)

作者簡介：周立明(1982-)，男，吉林長春人，吉林大學(xué)副教授，博士 ?通訊聯(lián)系人，E-mail:mgw@jlu.edu.cn

中圖分類號：TB115

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A