以“拋物線”概念引入為例談“問(wèn)題解決”法的課堂引入策略

蔡小沖

[摘 要] 好的教學(xué)效果離不開(kāi)有效的“課堂引入”. 結(jié)合問(wèn)題解決法，數(shù)學(xué)概念課的引入可以從“借助直觀，揭示本質(zhì)”，“分層鋪墊，目標(biāo)分解”，“聯(lián)想類(lèi)比，促進(jìn)遷移”這三個(gè)視角有效切入.

[關(guān)鍵詞] 問(wèn)題解決；高中數(shù)學(xué)概念；拋物線

每節(jié)課都是從“引入”開(kāi)始的，引入是學(xué)生學(xué)習(xí)概念的基礎(chǔ). 如何有效引入，借助于引入提高學(xué)生的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積極性呢？這是一個(gè)值得探究的話題.筆者認(rèn)為引入概念的環(huán)節(jié)應(yīng)該是預(yù)設(shè)問(wèn)題和激發(fā)學(xué)生生成問(wèn)題的重要環(huán)節(jié)，我們教師問(wèn)題的預(yù)設(shè)應(yīng)該具有針對(duì)性和趣味性，要能夠激活學(xué)生的思維，將學(xué)生帶到對(duì)問(wèn)題的思考與研究中來(lái)，能夠切身感受到引入問(wèn)題的必要性與科學(xué)性，當(dāng)然引入的方式應(yīng)該是多元化的，本文以拋物線的概念教學(xué)為例就如何引入從不同的視角進(jìn)行研究，望能有助于課堂教學(xué)實(shí)踐.

直觀化的引入，揭示概念的本質(zhì)

高中生的數(shù)學(xué)思維往往還是以形象思維為主，隨著數(shù)學(xué)概念的抽象性增強(qiáng)，學(xué)生感覺(jué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)越來(lái)越難. 這時(shí)怎么辦？尤其是有些生源較差的學(xué)校和班級(jí)，如何幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念呢？筆者認(rèn)為應(yīng)該注重教學(xué)的直觀化處理，或采用實(shí)物，或引入直觀的數(shù)學(xué)模型，借此建立直觀的問(wèn)題情景，引導(dǎo)學(xué)生由表象出發(fā)引出比較抽象的數(shù)學(xué)性質(zhì).

例如，拋物線概念的直觀化引入可以進(jìn)行如下設(shè)計(jì)：

1. 設(shè)計(jì)思路

從學(xué)生的生活實(shí)際來(lái)看，我們可以引導(dǎo)學(xué)生觀看生活中的拋物線實(shí)例（多媒體輔助）：噴泉；跳水運(yùn)動(dòng)員高臺(tái)跳水；飛機(jī)投炸彈等等.但是學(xué)生對(duì)于“概念”本身的理解是有難度的，為什么？學(xué)生面對(duì)生活中的這些實(shí)例，軌跡是不具體和直觀的，對(duì)于實(shí)例中給出的軌跡到底是什么？學(xué)生無(wú)法憑空想象，如何解決？采用直觀模型可以很好地解決.

2. 直觀化導(dǎo)入設(shè)計(jì)

（1）在黑板上畫(huà)一直線l，接著將直尺固定于直線l上，如圖1所示；

（2）接著拿一個(gè)三角板，將其一條直角邊靠近直尺的邊緣；

（3）取一根細(xì)線，并截取細(xì)線長(zhǎng)度等于AC，將其一端固定于三角板上的A點(diǎn)，另一端固定在黑板的一個(gè)點(diǎn)F上；

（4）請(qǐng)一學(xué)生走上講臺(tái)，用一支鉛筆緊扣細(xì)線，并借助于三角板的直角邊AC將細(xì)線繃緊讓三角板沿著直尺上下滑動(dòng)；

（5）觀察滑動(dòng)過(guò)程中鉛筆留下來(lái)的曲線形態(tài)，分析曲線的特點(diǎn).

3. 設(shè)計(jì)意圖

借助于上面直觀化的操作，5個(gè)環(huán)節(jié)的活動(dòng)化操作，問(wèn)題自然生成，整個(gè)運(yùn)動(dòng)軌跡可以是作為P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，學(xué)生的思維轉(zhuǎn)向該點(diǎn)具有怎樣的幾何特征呢？增加了“概念”的可信度，學(xué)生通過(guò)對(duì)直觀化模型的分析，很自然地推出拋物線的定義，同時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生在思考與解決問(wèn)題的過(guò)程中，有部分學(xué)生還提出了，如果點(diǎn)F在直線l上會(huì)是什么結(jié)果呢？通過(guò)進(jìn)一步的思考，概念變得更為精致.

循序漸進(jìn)地引入，分解學(xué)習(xí)目標(biāo)

每節(jié)課都有核心概念，這是我們教學(xué)的知識(shí)目標(biāo)所在，但是這個(gè)目標(biāo)與學(xué)生的學(xué)情又往往存在一定的差距，怎么辦？我們?cè)趯?dǎo)入的時(shí)候如果發(fā)生這種情況，筆者認(rèn)為最佳的辦法就是分解目標(biāo)，并循序漸進(jìn)地引入，引導(dǎo)學(xué)生拾級(jí)而上逐步地接近數(shù)學(xué)概念的本質(zhì).

例如，“拋物線”概念的循序漸進(jìn)地引入設(shè)計(jì)如下.

1. 設(shè)計(jì)思路

考慮到大多數(shù)學(xué)生的學(xué)情，從學(xué)生的原有認(rèn)知來(lái)看，他們對(duì)于拋物線與二次函數(shù)圖象的聯(lián)系，以及生活中有關(guān)物體拋物線狀的運(yùn)動(dòng)軌跡是有一定的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)的.

那么，學(xué)生學(xué)習(xí)該概念存在的問(wèn)題在哪里？

從初中的教材來(lái)看，學(xué)生是對(duì)拋物線有了一定的了解，但是初中教材對(duì)于“概念”更多的是描述性的，對(duì)于拋物線的本質(zhì)特征沒(méi)有涉及，初高中教材中對(duì)于拋物線的概念差距很大.可以說(shuō)是幾乎完全不同.怎么辦？采用目標(biāo)分解的引入方法，可以進(jìn)行如下的設(shè)計(jì).

2. 提出問(wèn)題

問(wèn)題1：我們?cè)诔踔卸紝W(xué)過(guò)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），還記得它的圖象是什么樣？（拋物線），請(qǐng)你大致地畫(huà)出該圖象.

問(wèn)題2：到下面收集一個(gè)學(xué)生畫(huà)的拋物線并實(shí)物投影，然后將拋物線順時(shí)針（或逆時(shí)針）轉(zhuǎn)了90°，大家思考一下，這個(gè)圖象還是不是拋物線呢？

學(xué)生對(duì)于開(kāi)口朝上、朝下、朝左、朝右的拋物線有了一定的認(rèn)識(shí)后，設(shè)置具體的活動(dòng)，深入探索拋物線概念的本質(zhì).

3. 活動(dòng)探究

借助于“幾何畫(huà)板”進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，如圖2所示，定點(diǎn)F，直線l為不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的定直線，H點(diǎn)為l上任意一點(diǎn)，現(xiàn)在過(guò)點(diǎn)H作MH⊥l，m為線段FH的垂直平分線，與MH交于點(diǎn)M，然后拖動(dòng)點(diǎn)H，引導(dǎo)學(xué)生觀察點(diǎn)M的軌跡，思考點(diǎn)M滿足怎樣的幾何條件.

4. 設(shè)計(jì)意圖

問(wèn)題的設(shè)計(jì)和活動(dòng)的設(shè)計(jì)均從學(xué)生的原有發(fā)展水平出發(fā)，他們已經(jīng)知道y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，由此出發(fā)找學(xué)生潛在的發(fā)展水平——“拋物線的定義”. 什么是拋物線？“拋物線是到定點(diǎn)距離等于到定直線的距離的點(diǎn)的軌跡”. 上述設(shè)計(jì)從學(xué)生容易接受的知識(shí)出發(fā)，結(jié)合幾何畫(huà)板這一直觀的工具實(shí)現(xiàn)了一步步思維和認(rèn)知的跨越.

聯(lián)想類(lèi)比式導(dǎo)入，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系

學(xué)生的知識(shí)學(xué)習(xí)除了在某一個(gè)概念上深化外，還可以從其他數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過(guò)程中將經(jīng)驗(yàn)遷移到新概念的學(xué)習(xí)中來(lái).

例如，拋物線概念的聯(lián)想類(lèi)比引入，可以進(jìn)行如下設(shè)計(jì).

1. 設(shè)計(jì)思路

從數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)來(lái)看，“拋物線”、“橢圓”、“雙曲線”這三個(gè)概念存在著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，我們可以站在統(tǒng)一的視角去思考“曲線的生成”、“曲線的性質(zhì)”和“應(yīng)用”等問(wèn)題，但是實(shí)際的情況如何呢？學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力并不理想，什么原因?qū)е碌哪兀抗P者認(rèn)為在概念課教學(xué)時(shí)，缺乏相互聯(lián)系的滲透，為此在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該注重類(lèi)比與聯(lián)想.

2. 提出問(wèn)題

問(wèn)題1：從學(xué)生前面學(xué)習(xí)的橢圓、雙曲線出發(fā)，設(shè)置具有啟發(fā)、引導(dǎo)性問(wèn)題，在前面的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)研究了橢圓和雙曲線，知道平面內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)與到一條定直線的距離的比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡，回憶一下分別滿足什么條件軌跡為橢圓和雙曲線？（橢圓，01）.

問(wèn)題2：如果e=1，軌跡又是什么呢？

3. 活動(dòng)探究

此處的探究與“上文二”中的活動(dòng)探究一樣，不再贅述.

4. 設(shè)計(jì)意圖

該種導(dǎo)入方式，在引入概念的階段，從學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)（橢圓、雙曲線概念及其學(xué)習(xí)過(guò)程）出發(fā)，創(chuàng)設(shè)了有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性的問(wèn)題情境，激活內(nèi)驅(qū)力.從問(wèn)題的設(shè)計(jì)來(lái)看，問(wèn)題的切入點(diǎn)在于“離心率的關(guān)系”，“橢圓”和“雙曲線”的“離心率的關(guān)系”學(xué)生是熟悉的，那么問(wèn)題拋出引發(fā)認(rèn)知沖突，即為什么兩個(gè)概念中都不涉及e=1的情況呢？如果e=1，軌跡又是什么呢？通過(guò)這個(gè)問(wèn)題很自然地完成思維的切換，學(xué)習(xí)活動(dòng)自然過(guò)渡到對(duì)“到定點(diǎn)和定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡”的探究. “橢圓”、“雙曲線”、“離心率”等概念是學(xué)生的原有發(fā)展水平，在討論和交流的過(guò)程中，類(lèi)比到新概念，同時(shí)學(xué)生的大腦中對(duì)于幾種圓錐曲線的聯(lián)系也有了初步的印象，為概念的統(tǒng)一和數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)化建立打下基礎(chǔ).

通過(guò)上文的分析，我們可以總結(jié)出“問(wèn)題解決”法的課堂引入的基本原則：第一，我們的導(dǎo)入環(huán)節(jié)應(yīng)該注重直觀性原則. 數(shù)學(xué)概念較為抽象，學(xué)生不易理解，所以要充分借助直觀模型，幫助學(xué)生更好地理解概念，促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的掌握；第二，我們的導(dǎo)入環(huán)節(jié)也應(yīng)該注重過(guò)程性原則，即不是直接將概念拋給學(xué)生，數(shù)學(xué)概念的形成，是一個(gè)逐步完成的過(guò)程，并不是一蹴而就的，很多概念的形成，都需要經(jīng)歷一些必要的過(guò)程，因此我們要認(rèn)識(shí)到概念形成的過(guò)程性，在導(dǎo)入階段從學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)設(shè)置合理的問(wèn)題，讓學(xué)生通過(guò)對(duì)問(wèn)題的思考和活動(dòng)探究來(lái)嘗試著解決問(wèn)題，逐步接近概念；第三，我們的導(dǎo)入還應(yīng)該注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)性. 數(shù)學(xué)概念具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫿Y(jié)構(gòu)，富有層次性. 所以我們要充分認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，通過(guò)合理的方法，選擇恰當(dāng)?shù)牟呗?，促使學(xué)生建立概念網(wǎng)絡(luò)，促進(jìn)概念的理解.