電力物資復(fù)合泊松需求下的最優(yōu)訂貨量

姜愛萍， 夏　浩， 高峻峻， 池秋果， 吳思予

(上海大學(xué) 悉尼工商學(xué)院，上海 201800)

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電力物資復(fù)合泊松需求下的最優(yōu)訂貨量

姜愛萍， 夏浩， 高峻峻， 池秋果， 吳思予

(上海大學(xué) 悉尼工商學(xué)院，上海 201800)

摘要：以上海電力公司的物資供應(yīng)體系為背景，給出了庫(kù)存策略下服從復(fù)合泊松分布的電力物資最優(yōu)訂貨量的算法。建立復(fù)合泊松分布下的庫(kù)存成本模型，對(duì)此模型用閉式算法求得其最小庫(kù)存成本下的最優(yōu)訂貨量，將該算法應(yīng)用于電力物資進(jìn)行實(shí)證分析。數(shù)值結(jié)果表明，與傳統(tǒng)的報(bào)童模型相比，本文提出的最優(yōu)訂貨量算法更適用于間斷需求。

關(guān)鍵詞：間斷需求； 復(fù)合泊松分布； 最優(yōu)訂貨量； 閉式算法； 近似算法

電力生產(chǎn)具有高度連續(xù)性，生產(chǎn)與消費(fèi)同步意味著電力故障會(huì)對(duì)社會(huì)產(chǎn)生瞬時(shí)危害,而電力物資是電力生產(chǎn)運(yùn)行的保障。但是，電力企業(yè)物資管理普遍存在著匱乏和積壓的雙重現(xiàn)象：一方面，企業(yè)因物資儲(chǔ)備不足而無法確保需求發(fā)生時(shí)的及時(shí)供應(yīng)，產(chǎn)生高額缺貨成本和社會(huì)經(jīng)濟(jì)損失；另一方面，企業(yè)因物資儲(chǔ)備過量而導(dǎo)致積壓與腐蝕，造成大量資金浪費(fèi)。因此，電力物資的庫(kù)存控制對(duì)電力企業(yè)至關(guān)重要。然而，大多數(shù)電力物資呈間斷需求特性，即需求是隨機(jī)的且需求數(shù)據(jù)中存在著大量零值，這些特點(diǎn)會(huì)給電力物資的庫(kù)存管理帶來很大的困難。

20世紀(jì)50年代以來，已有大量學(xué)術(shù)文獻(xiàn)對(duì)庫(kù)存控制方法進(jìn)行了討論，但是傳統(tǒng)的庫(kù)存控制方法大多針對(duì)連續(xù)需求，因而對(duì)間斷需求是無效的[1-3]?？紤]到復(fù)合分布可以分開表示需求到達(dá)過程和需求量，其結(jié)構(gòu)和間斷需求生成過程相似，所以許多學(xué)者[4-10]提出復(fù)合分布(尤其是復(fù)合泊松分布)可以為間斷需求的庫(kù)存物資分布提供良好的擬合。

在間斷需求的背景下,如果時(shí)間被視為離散變量,那么需求到達(dá)服從伯努利分布或者二項(xiàng)分布，此時(shí)，若需求量服從任意非負(fù)分布，則該需求過程服從復(fù)合伯努利分布或者復(fù)合二項(xiàng)分布；如果時(shí)間被視為連續(xù)變量,那么需求到達(dá)服從泊松分布，此時(shí)，若需求量服從任意非負(fù)分布，則該需求過程服從復(fù)合泊松分布。相較于伯努利分布和二項(xiàng)分布，泊松分布能捕捉到更多與需求發(fā)生相關(guān)的信息；并且由于復(fù)合泊松分布理論上可以得到標(biāo)準(zhǔn)的統(tǒng)計(jì)分布，相對(duì)簡(jiǎn)單，其在學(xué)術(shù)文獻(xiàn)中是主流；此外，從對(duì)需求刻畫的角度來看，復(fù)合泊松過程不僅可以描述間斷需求還可以描述連續(xù)需求[11-12]。Matheus等[13]在需求服從復(fù)合泊松分布的前提下對(duì)(R,Q)庫(kù)存策略中的再訂貨點(diǎn)R提出了精確和近似的兩種計(jì)算方法，研究結(jié)果表明在大多數(shù)情況下用近似算法已經(jīng)能夠得到較好的再訂貨點(diǎn)R。馬保國(guó)等[14]假定航材可修件的需求服從復(fù)合泊松分布，建立了(S-1,S)庫(kù)存策略下的庫(kù)存決策模型。李冰[15]對(duì)具有復(fù)合泊松需求的聯(lián)合補(bǔ)充問題提出一啟發(fā)式算法，在一定服務(wù)水平下，利用該算法可以尋找出使單位時(shí)間內(nèi)平均成本最小的補(bǔ)充策略。雖然在許多運(yùn)用復(fù)合分布的庫(kù)存策略研究中，復(fù)合泊松分布占主導(dǎo)地位，但是復(fù)合泊松需求過程下的庫(kù)存機(jī)制還有一些待解決的問題： 1)許多研究都是以服務(wù)水平為導(dǎo)向而不是以成本為導(dǎo)向的[16]； 2)分析成本導(dǎo)向系統(tǒng)時(shí)沒有考慮到提前期隨機(jī)的情況[16]； 3)缺少適用于間斷需求的庫(kù)存控制的簡(jiǎn)便算法[17]。

針對(duì)上述問題，本文基于Babai[18]的研究給出了服從復(fù)合泊松分布的電力物資的(T,Q)最優(yōu)固定訂貨量算法；然后通過對(duì)電力物資進(jìn)行實(shí)證分析將此算法與傳統(tǒng)的報(bào)童模型相比較。

1模型介紹

1.1模型背景和假設(shè)

電力企業(yè)物資管理的目的是以合理的儲(chǔ)備實(shí)現(xiàn)用最少的資金保證設(shè)備維修的需要。因此，以成本為導(dǎo)向的庫(kù)存控制模型與電力企業(yè)庫(kù)存管理的根本目標(biāo)相一致。由于大部分電力物資呈間斷需求特性，而復(fù)合泊松分布能夠較好地?cái)M合間斷需求。考慮到伽馬分布只定義非負(fù)值，具有可加性且涵蓋了更為廣泛的實(shí)際分布形狀，能更好地?cái)M合非零需求量。因此，將電力物資擬合成需求量服從伽馬分布、需求到達(dá)服從泊松分布的復(fù)合泊松伽馬過程。在此基礎(chǔ)之上，采用(T，Q)庫(kù)存策略，建立復(fù)合泊松伽馬分布下的庫(kù)存成本模型。

研究基于如下假設(shè)。

1)單級(jí)單產(chǎn)品的庫(kù)存系統(tǒng)；

2)提前期隨機(jī)，服從均值為L(zhǎng)的一個(gè)一般分布；

3)庫(kù)存成本由持有成本與缺貨懲罰兩部分組成。

1.2符號(hào)說明

1.3模型建立

建立服從復(fù)合泊松分布的(T,Q)策略下的庫(kù)存成本最小化模型，求解使成本最小的物資最優(yōu)訂貨量。其中，庫(kù)存周期T定義為

(1)

(2)

設(shè)初始庫(kù)存為Q，當(dāng)i=0時(shí)，提前期內(nèi)沒有需求到達(dá)的概率為PD=e-λL，則所持有的庫(kù)存未被消耗，此時(shí)庫(kù)存持有成本為hQP0；當(dāng)i≠0時(shí)，提前期內(nèi)有i個(gè)需求到達(dá)，即需求量為Xi的概率如式(1)所示。此時(shí)，庫(kù)存成本分2種情況：若訂貨量可以滿足需求，即Q-Xi≥0，則庫(kù)存成本按持有成本h計(jì)算；若訂貨量無法滿足需求造成缺貨，即Q-Xi<0，則庫(kù)存成本按缺貨懲罰b計(jì)算。

b(Xi-Q)+]pi。

(3)

即

(4)

本文的目標(biāo)是找到可以最小化預(yù)期總成本的固定訂貨量。在庫(kù)存成本函數(shù)中，訂貨量Q可以作為整體控制策略的變量，通過調(diào)節(jié)它來平衡缺貨成本和庫(kù)存成本，以最小化該訂貨量的庫(kù)存物資將產(chǎn)生的庫(kù)存成本。

由于當(dāng)i≥1時(shí)，Q增加則Fi(Q)也增加，則導(dǎo)數(shù)也隨著Q增加。因此E[C(Q)]是關(guān)于Q的凸函數(shù)，則可以通過導(dǎo)數(shù)為零得出最優(yōu)的最大庫(kù)存水平Q*。

命題1最優(yōu)最大庫(kù)存水平Q*是式(5)的解

(5)

2模型求解

提出了一個(gè)可以用于計(jì)算最優(yōu)最大庫(kù)存水平Q*的閉式算法。由于式(5)中包含一個(gè)無限的和，因此，其數(shù)值需要截?cái)鄟碛?jì)算求解，所以本文需要通過上限QU和下限QL估計(jì)最優(yōu)訂貨量。為了得到QU和QL，本文令

G(x,n)=

性質(zhì)1H(x,n)≤O(x)≤G(x,n)(對(duì)于所有的x，n≥0)。

性質(zhì)2G(x,n)，H(x,n)和O(x)都是x的增函數(shù)。

證明：G(x,n)、H(x,n)和O(x,n)都是由x組成的累積概率函數(shù)的和。由于這些累積概率函數(shù)是x的嚴(yán)格增函數(shù)，則G(x,n)、H(x,n)和O(x,n)也都是x的增函數(shù)。

性質(zhì)3當(dāng)n趨向于無窮時(shí)，G(x,n)和H(x,n)逼近于O(x)。

命題2QL(n)≤Q*≤QU(n)是最優(yōu)Q*的范圍，其中,QU(n)和QL(n)分別是式(6)和(7)的解，

(6)

(7)

并且當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，QU(n)和QL(n)的值逼近Q*。

命題2表明，對(duì)于不同的n值，QU(n)和QL(n)界定了Q*的一個(gè)范圍，而當(dāng)n增加時(shí)，這兩個(gè)邊界相互逼近，可以得到無限近似的Q*。

阿里又使勁點(diǎn)點(diǎn)頭。阿東又說：“羅爹爹去東湖練拳，走不動(dòng)了。我們阿里每天早上用爸爸的輪椅推羅爹爹去，好不好？”

計(jì)算Q*的具體算法步驟如下。

步驟3：如果Δ(n)<ε，轉(zhuǎn)到步驟4；否則，n=n+1，轉(zhuǎn)到步驟2。

步驟4：將n代入式(6)得到Q*。

流程如圖1。

3實(shí)證研究

對(duì)上海電力公司757種電力物資在2011年至2013年共36個(gè)月的需求數(shù)據(jù)進(jìn)行分布擬合，其中，服從復(fù)合泊松伽馬分布的電力物資有576種。由于篇幅所限，本文以裝置性材料大類下的50種服從復(fù)合泊松伽馬分布的電力物資為例做實(shí)證研究。

電力物資總體信息見表1。

圖1　求解最優(yōu)訂貨量Q*的算法步驟

電力物資國(guó)網(wǎng)編碼大類中類小類物資單價(jià)平均需求量均值λ500016595裝置性材料電纜控制電纜20.95245.780.42500016583裝置性材料電纜控制電纜6.873382.241.75500032070裝置性材料電纜附件35kV及以下電纜中間接頭6075.9520.520.11……………………………………500021420裝置性材料電纜附件35kV及以下電纜中間接頭443.145.745.92500021255裝置性材料電纜附件35kV及以下電纜終端60.082.960.36500021832裝置性材料電纜附件電纜接線端子8.1525.980.83……………………………………500067871裝置性材料鐵附件成套抱箍62.3510.013.25500067786裝置性材料鐵附件瓷橫擔(dān)用角鐵橫擔(dān)113.5716.41.06500026517裝置性材料鐵附件電纜抱箍46.8950.610.17

由表1可知，這50種電力物資的平均需求到達(dá)率在0.11到8.86之間，如圖2所示。

圖2　50種裝置性材料的λ分布圖

圖3　服從復(fù)合泊松分布的需求分類

由于電力企業(yè)的缺貨懲罰遠(yuǎn)高于庫(kù)存持有成本，不失一般性，本文設(shè)h=1，b=10。

分別根據(jù)本文模型和傳統(tǒng)的報(bào)童模型計(jì)算50種裝置性材料的最優(yōu)訂貨量及相應(yīng)的庫(kù)存成本、平均庫(kù)存成本(C/Q)，結(jié)果見表2。

由于兩種方法的計(jì)算結(jié)果的量級(jí)差異較大，為了便于比較，本文分別對(duì)兩者取對(duì)數(shù)值，結(jié)果如圖4所示。

表2　50種裝置性材料的最優(yōu)訂貨量

圖4　兩種模型的平均單位成本比較

如圖4，比較選取的50組電力物資的平均單位庫(kù)存成本可知，當(dāng)λ值較小(λ≤6)時(shí)，本文模型優(yōu)于傳統(tǒng)報(bào)童模型；而當(dāng)λ值較大(λ>6)時(shí)，則相反。此外，隨著λ值增大，模型相較于報(bào)童模型的優(yōu)勢(shì)逐漸減小。因此在企業(yè)的庫(kù)存管理中，可以選用模型對(duì)間斷需求的物資進(jìn)行庫(kù)存控制。

4結(jié)論

采用(T,Q)庫(kù)存控制策略，對(duì)服從復(fù)合泊松分布的電力物資建立提前期隨機(jī)和成本最小化的最優(yōu)訂貨量模型，并將其與傳統(tǒng)報(bào)童模型作比較。實(shí)證分析結(jié)果表明，當(dāng)物資的需求偏間斷時(shí)本文的最優(yōu)訂貨量模型要優(yōu)于傳統(tǒng)報(bào)童模型，而隨著物資間斷性的減弱，本文提出的模型的優(yōu)勢(shì)也逐漸減小。

由于在此提出的最優(yōu)訂貨量算法是通過數(shù)值模擬的方法得到，所以該算法不局限于電力物資，對(duì)于其他企業(yè)的間斷需求的物資也適用。

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Optimal Order Quantity of Electric Power Materials with Compound Poisson Demand Distribution

JIANG Aiping， XIA Hao, GAO Junjun, CHI Qiuguo,WU Siyu

(SHU-UTS SILC Business School, Shanghai University, Shanghai 201800, China)

Abstract：This paper is set in Shanghai Electric Power Company′s material supply system, providing the algorithm of optimal order quantity of power supplies that follow compound Poisson distribution for inventory management strategy. Establishing inventory cost model based on compound Poisson distribution, with optimal order quantity produced by a closed algorithm given the minimum inventory costs. This algorithm is applied to power supplies in empirical analysis. Numerical results show that the algorithm of optimal order quantity proposed in this paper is more suitable for intermittent demand compared to the traditional newsboy model. Considering the problem of inconvenience and inefficiency in business practice, this paper proposes an approximation algorithm and a heuristic algorithm, which can calculate the optimal order quantity quickly and efficiently.

Key words：intermittent demand; compound Poisson distribution; optimal order quantity; heuristics algorithm; approximation algorithm

收稿日期：2015- 09- 21

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71302053)

作者簡(jiǎn)介：姜愛萍(1979-)，女，山東省人，副教授，博士，主要研究方向?yàn)殚g斷需求預(yù)測(cè)及庫(kù)存管理.

doi:10.3969/j.issn.1007- 7375.2016.03.015

中圖分類號(hào)：F273

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1007-7375(2016)03- 0090- 06