高中函數的思維特征
——挖掘教材背后的思維素材

王　倩

（濉溪中學　安徽·濉溪　235000）

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高中函數的思維特征
——挖掘教材背后的思維素材

王倩

（濉溪中學安徽·濉溪235000）

摘要：在教育教學中，教師對學科知識內容、學科結構、學科本質的理解和領悟的深度影響著學生的思維能力的提升。通過對教材背后思維素材的分析，探索函數的思維特征，教給學生數學的思維方式。

關鍵詞：數學思維特征；數學描述性語言；數學符號語言

培養(yǎng)學生的數學思維能力是數學教育的基本目標之一。而有些數學知識的思維特征，在教材上沒有給予展現，這就需要教師自己結合教材去研究，挖掘教材背后數學知識的思維素材，并結合教學實踐在課堂上滲透，讓學生的思維得以提升。

數學的思維特征離不了數學語言的表達，數學語言通過文字語言、圖形語言、符號語言表現出來。在教學中，要求學生有能力對這三種描述進行相互轉化。下面以函數為例，結合教材和函數的性質來探索分析其數學思維特征。

通過函數的概念，我們可以發(fā)現函數的本質特征。簡單地說就是自變量的變化引起因變量的變化.所以在研究函數時，就是要把握這一本質的思維特征。那么自變量如何變化的，對應的函數值又發(fā)生了怎樣的變化？我們結合函數的基本性質來探討這個問題。

1、函數的奇偶性

1.1奇函數

對于定義域內的任意X，都有f（-X）=-f（X）即f（-X）+f （X）=0

【思維特征】互為相反數的兩個自變量，其對應函數值互為相反數。

【幾何特征】奇函數的圖像關于原點對稱。

1.2偶函數

對于定義域內的任意X，都有f（-X）=-f（X）即f（-X）+f （X）=0

【思維特征】自變量互為相反數，其對應函數值相等。

【幾何特征】偶函數的圖像關于軸對稱。

例1：y=f（2X-1）是奇函數，則下面結論正確的是（）

A.f（2X-1）+f（-2X+1）=0 B.f（2X-1）+f（-2X-1）=0

C.f（2X-1）-f（-2X+1）=0 D.f（2X-1）-f（-2X-1）=0

分析：這就涉及到誰是函數的自變量的問題，如果強調括號里的是函數的自變量是不合適的，這里函數y=f（2X-1）是以X為自變量，故取X與-X帶入條件。即f（2（-X）-1）=-f（2X-1），即f（2X-1）+f（-2X-1）=0，則B是正確的。

【引申1】若y=f（X）是奇函數，則下面結論正確的是（）

A.f（2X-1）+f（-2X+1）=0 B.f（2X-1）+f（-2X-1）=0

C.f（2X-1）-f（-2X+1）=0 D.f（2X-1）-f（-2X-1）=0

分析：這里是y=f（X）以X是自變量，把括號里的X換成2X-1，則帶入f（-X）=-f（X），即f［-（2X-1）］=-f（2X-1），答案A正確。

【引申2】y=f（2X-3）是偶函數，會得到怎樣的結論？

分析：函數中誰是自變量，再考慮偶函數的本質特征是自變量取相反數時函數值相等，則會得到f（2X-3）=f［2（-X）-3］，即會得到f（2X-3）-f（-2X-3）=0這個結論了。

2.函數的周期性

對于函數y=f（X），如果存在一個非零常數T，使得當X取定義域內的任何值時，都有f（X+T）=f（X），那么就稱函數y=f（X）為周期函數，稱T為這個函數的周期。

【思維特征】自變量取的是差為常數的兩個數，其函數值相等。

例1：若函數y=f（X）滿足f（2X-1）=f（2X+1），此函數的周期是多少？

分析：令U=2X-1，則2X+1=U+2

所以f（U）=f（U+2），所以T=2

若不換元，直接分析就是自變量的差是2，函數值相等，故T=2.

【引申】若y=f（2X-3）的最小正周期為2，會得到什么結論呢？

分析：這里函數y=f（2X-3）的自變量是X，故由周期的定義得，f（2X-3）=f［2（X+2）-3］，即f（2X-3）=f（2X+1）.

分析：在函數周期的定義里，加和減是一個意思，從函數的自變量看取什么樣的兩個數，它們的函數值相等.其實自變量取PX與，差是直接可以看出其周期為

分析：這里還是要分析誰是自變量，當然還是X，則

3.函數的對稱性

定義在R上的函數y=f（X）

（1）若f（a+X）=f（b-X）?函數y=f（X）圖像關于直線對稱.

特別地a=b，當時f（a+X）=f（a-X）?f（X）=f（2a-X）?f（-X）=f （2a+X）?y=f（X）的圖像關于直線X=a對稱。

【思維特征】自變量之和為常數2a，函數值相等，則y=f（X）的圖像關于直線X=a對稱。特別地，當a=0時f（-X）=f（X）?f （X）-f（-X）=0?y=f（X）函數是偶函數?函數圖像關于直線X=0對稱.

（2）f（X）+f（2a-X）=2b?f（2a+X）+f（-X）=2b?

f（a+X）+f（a-X）=2b?y=f（X）的圖像關于點（a，b）對稱.

【思維特征】自變量之和為常數2a，函數值之和為常數2b，則y=f（X）的圖像關于點（a，b）對稱.特別地，當a=b=0時，f（X）+f（-X）=0?y=f（X）的圖像關于原點（0，0）對稱?函數y=f（X）是奇函數。

（3）f（X-a）+f（X=a）?f（X）=f（X+2a）?y=f（X）的周期是2a.

【思維特征】自變量之差等于常數2a，函數值相等，則函數周期是2a.

（4）f（a+X）=f（b+X）?f（X）=f（X+（b-a））?y=f（X）的周期是b-a.

【思維特征】自變量之差是常數b-a，函數值相等，則函數y=f（X）的周期是b-a.

特別地，當b=0時，f（a+X）=f（X）?y=f（X）的周期是a.

【思維特征】自變量之差是常數a，函數值相等，則函數y=f （X）的周期是a.

例1：若函數y=f（X）滿足f（1-X）=f（1+X），則y=f（X）的圖像有何特征？即函數有何性質？

分析：自變量的和是一個常數，這里（1-X）+（1+X）=2，函數值相等，所以函數圖像關于X=1對稱。

例2：若函數y=f（X）滿足f（1-X）=f（X-1），則y=f（X）的圖像有何特征？

分析：（1-X）+（X-1）=0.即自變量互為相反數，函數值相等，所以函數圖像關于Y軸對稱，這個函數是偶函數。

例3：若函數y=f（X）滿足f（X-1）=f（X+1），則函數y=f（X）的圖像特征如何？即函數有何性質？

分析：這里（X+1）-（X-1）=2，即自變量的差為常數2，故周期是2.

例4：若函數y=f（X）滿足f（X-1）=-f（X+1），則y=f（X）有什么性質？

分析：因為f（X-1）=-f（X+1）所以f（（X+2）-1）=-f（（X+2）+1）

即f（X+1）=-f（X+3）即f（X-1）=-f（X+1）則f（X-1）=f（X+3）

所以周期是4.

例5：若f（X+1）+f（X-1）=2則自變量分別取X+1和X-1，不是和為常數了，而是自變量的差為常數了，那么怎樣理解這個式子呢？即自變量的差為2的兩個數，函數值的和為2，即f（X-1）=2-f（X+1），則f（X-1+2）=2-f（X+1+2）即f（X+1）=2-f（X+3）所以f（X-1）=2-［2-f（X+3）］=f（X+3），故周期為4.

反過來，函數的文字描述性語言可轉化成抽象的數學符號語言。

例1：若函數y=f（X-1）是偶函數，則y=f（2X）的對稱軸是_.

分析：由y=f（X-1）是偶函數，則f（X-1）=f（-X-1）

所以y=f（X）關于X=1-對稱，所以y=f（2X）關于對稱。

例2：若函數y=f（X-1）的圖像關于X=1對稱，則y=f（X）的圖像有什么特征？

分析：由y=f（X-1）的圖像關于X=1對稱，得f［（1+X）-1）］=f［（1-X）-1）］即f（X）=f（-X），所以y=f（X）的圖像關于Y軸對稱.

例3：函數y=f（X）的定義域為R，若y=f（X+1）與y=f（X-1）都是奇函數，則以下選項正確的是（）

A.y=f（X）是偶函數B.y=f（X）是奇函數

C.f（X）=f（X+2D.y=f（X+3）是奇函數

解析：因為y=f（X+1）與y=f（X-1）都是奇函數，

所以f（-X+1）=f（X+1）.....①f（-X-1）=f（X-1）......②

即f（-X+1）+f（X+1）=0 f（-X-1）=f（X-1）=0

所以函數y=f（X）關于點（1，0）及點（-1，0）對稱

所以f（X）=-f（2-X）f（X）=-f（-2-X）

這兩個式子就能合到一起了，就是f（2-X）=f（-2-X）

由這個式子發(fā)現自變量差為4的兩個自變量，函數值相等，函數是周期為4的周期函數。故C錯誤。

【下面顯然要用周期4這個結論進行分析了】

由②知f（（-X-1）+4）=-f（（X-1）+4）仍然成立

即f（-X+3）=-f（X+3）

即y=f（X+3）是奇函數（自變量取相反數，函數值相反），故D正確.

【再分析】

若用①式，就是f（-X+1+4）=-f（X+1+4）

即f（-X+5）=-f（X+5）

故y=f（X+5）也是奇函數.

分析；如何把第二個條件的描述性語言轉化成符號語言表達，是解決問題的關鍵。我們平時做題時，最終還是要用數學符號語言來表達數學問題，這是最基本的數學思維。

則y=f（X）是偶函數。

例5：函數y=f（2X+1）是定義在R上的奇函數，函數y=g（X）的圖像與函數y=f（X）的圖像關于直線y=X對稱，則g（X）+g（-X）的值是_______

分析：第一個條件中的描述性語言如何轉化成符號語言，第二個條件表明函數y=g（X）的性質與函數y=f（X）的性質有關，這就要從第一個條件分析函數y=f（X）的性質是怎樣的，結論“g （X）+g（-X）的值是多少”怎樣理解，即自變量取相反的兩個數時，其函數值的和等于多少的問題。

解析：因為函數y=f（2X+1）是定義在R上的奇函數，

所以f（2（-X）+1）=f（2X+1）

即f（-2X+1）+f（2X+1）=0

即y=f（X）的圖像關于點（1，0）對稱，

所以y=g（X）的圖像關于點（0，1）對稱，

所以，則g（X）+g（-X）=2

例6：已知定義在R上的y=f（X）偶函數，其圖像關于直線X=2對稱X∈（-2，2），當f（X）=1+X2，則當X∈（-6，-2）時，f（X）=_____.

解析：因為y=f（X）是偶函數，所以f（-X）=f（X）

又因為函數的圖像關于直線X=2對稱，所以f（X）=f（4-X）

則f（-X）=f（4-X）所以T=4

當X∈（-6，-2）時，X+4∈（-2，2）

所以f（X）=f（X+4）=1（X+4）2

這些問題的思維特征是函數問題的本質特征，做題時不是構造函數畫圖像，或者猜測而得到結果。這些素材在教材上是沒有的，可是在試題中常出現，教師平時就要自己去系統地研究，然后滲透在平時的課堂教學中。

參考文獻：

［1］張鶴.分享數學智慧的人：數學的思維特征與研究方法［M］.北京：中國大百科全書出版社，2012.

［2］陳松林.與函數對稱性、奇偶性、周期性有關的命題及應用［J］.試題與研究，2007（20）.

中圖分類號：G632.0

文獻標識碼：A

文章編號：1009-8534（2016）03-153-02

作者簡介：王倩，濉溪中學教師，本科學歷。