Banach空間中一類二階脈沖積分微分方程多點邊值問題*

饒顯波,韋煜明

(廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣西 桂林 541004)

Banach空間中一類二階脈沖積分微分方程多點邊值問題*

饒顯波,韋煜明

(廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣西 桂林 541004)

研究Banach空間中二階脈沖積分微分方程多點邊值問題正解的存在性.在給定的條件下，運用錐拉伸與錐壓縮不動點定理得出邊值問題正解存在性的充分條件.

脈沖微分方程;邊值問題;正解;不動點定理

0 引言

脈沖微分方程是研究一個過程突然發(fā)生變化的基本工具,能夠充分體現(xiàn)瞬時突變現(xiàn)象對系統(tǒng)的影響,能更加真實的地描述自然界狀態(tài)，脈沖系統(tǒng)在現(xiàn)代科學(xué)領(lǐng)域中是廣泛存在的，它的理論在經(jīng)濟學(xué)、社會科學(xué)、生物學(xué)、物理學(xué)、工程學(xué)等有著廣泛的運用,因此，對脈沖微分方程的研究已引起了國內(nèi)外同行的廣泛關(guān)注.近十年來，對脈沖微分方程一點、兩點、多點邊值問題的研究已經(jīng)非常多,并且有大量的成果,[1-5]與此同時，脈沖積分微分方程作為一個重要的分支也得到了人們的關(guān)注，[6-9]然而，這些文章中很少有討論帶有一階導(dǎo)數(shù)的二階脈沖積分微分方程多點邊值問題，因此，受上述文獻的啟發(fā)，筆者運用錐壓縮與錐拉伸不動點定理證明了一類帶有一階導(dǎo)數(shù)的二階脈沖積分微分方程多點邊值問題正解的存在性.

文中，我們討論了如下的一類二階脈沖積分微分方程多點邊值問題正解的存在性：

(1)

其中f∈C(J×P×P×P×P,P)，P是E中的一個錐，J=[0,1]，Ik∈C[P,P]

0<ε1<ε2<…<ε3<…<εm-2<1.εi≠tk(i=1,2,…,m-2,k=1,2,…,n),

θ為E中的零元素，

其中g(shù)∈C[D,R+]，h∈C[D,R+],D={(t,s)∈J×J:t≥s},R+是正實數(shù)集，

A0=max‖(Ax)(t)‖，B0=max‖(Bx)(t)‖

其中x(τ+)和x(τ-)分別叫作x(t)在t=tk處的右極限和左極限，

PC[J,P]={x∈PC[J,E]:x(t)≥0} 和PC1[J,P]={x∈PC1[J,E]:x(t)≥0,x′(t)≥0}

顯然PC[J,P]是PC[J,E]中的一個錐，PC1[J,P]是PC1[J,E]中的一個錐.

PC1[J,E]在‖x‖1=max{‖x‖pc,‖x′‖pc}下構(gòu)成一個Banach空間.

J′=J/{t1,t2,…,tk,…,tn}，x∈PC1[J,E]∩C2[J′,E]叫作邊值問題(1)的正解當(dāng)且僅當(dāng)x(t)≥0,x′(t)≥0，x(t)滿足方程(1)

問題(1)是一類帶二階脈沖積分微分方程多點邊值問題,本文運用錐拉伸與錐壓縮不動點定理討論了問題(1)存在正解的充分條件,獲得了正解存在性的結(jié)果,在某種程度上改進和推廣了前人的結(jié)果.

1 預(yù)備知識

在本節(jié)中，首先給出一些前提和主要引理.

定理1[7]若E為實Banach空間,P為E中的非空閉凸集，滿足

1)au+bv∈P,u,v∈P.且a≥0,b≥0.

2)u,-u∈P,則u=θ.(θ為E中的零元)

則稱P為E中的一個錐.

對給定的E中的一個錐P,可在E中引入半序：對任意的x,y∈E,x≤y當(dāng)且僅當(dāng)y-x∈P.

1)Tx≥x,?x∈P∩?Ω1,且Tx/≤x,?x∈P∩?Ω2,

2)Tx/≤x,?x∈P∩?Ω1,且Tx≥x,?x∈P∩?Ω2,

引理1 假設(shè)條件H1)～H2)全部成立，x∈PC1[J,E]∩C2(J′,E)叫作邊值問題(1)的解當(dāng)且僅當(dāng)x∈PC1[J,E]是下面脈沖積分方程的解.

(2)

證明：設(shè)x是邊值問題(1)的解，對(1)式兩端積分很容易得到，

(3)

對(3)式積分，有

(4)

令t=1和t=εi，i=1,2,…,m-2，帶入(3)式中，可以得到

(5)

化簡得

(6)

將(6)式帶入(4)式中可以得到

反之，假設(shè)x∈PC1[J,E]是邊值問題(2)的解.顯然

x(0)=0,△x|t=tk=Ik(x(tk)),k=1,2,…,n

對(2)式微分可得，當(dāng)t≠tk時，

再次微分上式，得到

x″(t)=-f(s,x(s),x′(s),(Ax)(s),(Bx)(s))

很容易可以得出

故，x∈PC1[J,E]∩C2[J′,E]

因此，引理1得證.

引理2 假設(shè)條件(H1～H3)都滿足，則邊值問題(1)的解x(t)滿足x(t)≥0,x′(t)≥0,t∈[0,1].

證明：根據(jù)引理1可以得出，

因此引理2 得證.

引理3[3]假設(shè)(H1～H3)成立，邊值問題(1)有如下Green′的函數(shù)：

根據(jù)上面的Green′很容易可以得出，G(t,s)滿足如下式子，

定義算子T：PC1[J,P]→PC1[J,P]:

由引理1和引理3可以得出：x∈Eθ是算子T的不動點，那么x是邊值問題(1)的一個正解.

假設(shè)條件(H1～H3)全部成立，由引理2和引理3顯然可以得出算子T

T(PC1[J,P])?PC1[J,P]，

由積分的絕對連續(xù)性和Arzela-Ascoli定理可以得到算子T是一個全連續(xù)算子.

2 主要結(jié)果

在本段中，將運用定理2證明邊值問題(1)正解的存在性.

則邊值問題(1)至少有一個正解x*(t)∈PC1[J,P]∩C2[J′,E].

證明： 假設(shè)H4)成立，則存在一個l>0，使得

和‖f(t,u1,u2,u3,u4)‖≤M，?t∈J,ui∈P,‖ui‖≤l,i=1,2,3,4,都成立.

其中M=sup{‖f(t,u1,u2,u3,u4)‖,t∈J,ui∈P,‖ui‖≤l,i=1,2,3,4},

另一方面，假設(shè)條件H5)成立；則存在一個l1>0，使得

并且ε>0,εk>0，k=1,2,3,…,n,R>r0,t∈J,使得

其中r0=max{l,l1,A0,B0}，

接下來證明：Tx≥ x,x∈P,‖x‖=R>r0.

(7)

事實上，如果存在一個x1∈P,‖x1‖=R>r0，使得Tx1≥x1，則有

0≤x1(t)

因此，得到‖x1‖<‖x1‖，這顯然是矛盾的，故(7)式成立.

緊接著證明:存在0

(8)

事實上，如果存在x2∈P,‖x2‖=r1，使得Tx2≤x2，由條件H6)有，

因此得出，‖x2‖>‖x2‖，這顯然是矛盾的，故(8)式成立.

因此，由定理2，T至少有一個不動點x*∈Pr1,R，Pr1,R={x|r1≤x≤R},再由引理1有邊值問題(1)至少有一個正解.

故定理3得證.

[1] Liu B, Yu J S. Existence of solution for m-point boundary value problem of second-order impulsive differential equations[J].Apple Math.comput,2002,125(2-3):155-175.

[2] Zhao Y L, Chen H B. Existence of multiple positive solutions for m-point boundary value problems in Banach spaces[J].Apple Math.comput,2008,215(1):79-90.

[3] Jiang W H, Guo Y P. Multiple positive solutions for second-order m-point boundary value problems[J].Math.Anal.appl. ，2007 (327)：415-424.

[4] Feng M Q, Xie D X. Multiple positive solutions of multi-point boundary value problem for second-order impulsive differential equations[J].Apple Math.，2009 (223)：438-448.

[5] Feng M Q, Ge W G. Positive solutions for a class of m-point singular boundary value problems[J].Math.comput.Modeling ，2007 (46)：375-383.

[6] Feng M Q,Pang H H. A class of three-point boundary-value problems for second-order impulsive integro-differential equations in Banach spaces[J].Nonlinear. Ana.，2009 (70)：64-82.

[7] Zhang X M, Feng M Q, Ge W G. Existence of solutions of boundary value problems with integral boundary conditions for second-order impulsive integro-differential equations in Banach spaces[J].Apple Math.comput, 2010 (233)：1915-1926.

[8] Guo D J. Positive solutions of an infinite boundary value problem for nth-order nonlinear impulsive singular integro-differential equations in Banach spaces[J].Nonlinea Ana.，2009 (70)： 2078-2090.

[9] Guo D J.Lakshmikantham V.Nonlinear Problems in Abstract Cones[M].NewYork:Academic Press,1988.

[10]葛渭高.非線性常微分方程邊值問題[M].北京：科學(xué)出版社，2007：63-64.

[責(zé)任編輯 蘇 琴] [責(zé)任校對 黃招揚]

A Class of Multi-point Boundary-value Problems for Second-order Impulsive Integro-differential Equations in Banach Spaces

RAO Xian-bo，WEI Yu-ming

(SchoolofMathematicalScience,GuangxiNormalUniversity,Guilin541004,China)

This paper investigates the existence of solutions for a class of multi-point boundary-value problems for second-order impulsive integro-differential equations in Banach spaces，Under the given conditions, using the cone drawing a fixed point theorem in cone sufficient conditions for the existence of positive solutions are obtained.

Boundary value problem;Impulsive differential equations;Positive solution ;Fixed-point theorem

2016-10-10.

廣西自然科學(xué)基金項目資助(2014GXNSFAA118002)；廣西高等學(xué)校高水平創(chuàng)新團隊及卓越學(xué)者計劃資助；廣西高等數(shù)學(xué)與統(tǒng)計模型重點實驗室開放基金課題研究計劃資助.

饒顯波(1992-)，男，四川達州人，廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院碩士研究生，研究方向：微分方程.

O175.8

A

1673-8462(2016)04-0057-07