鄱陽湖流域長時間降水序列多尺度分析

曹艷華，呂廣經(jīng)，易 華（.華東交通大學(xué)理學(xué)院，江西　南昌00；.華東交通大學(xué)現(xiàn)代教育技術(shù)中心，江西　南昌00；.井岡山大學(xué)數(shù)理學(xué)院，江西　吉安4009）

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鄱陽湖流域長時間降水序列多尺度分析

曹艷華1，呂廣經(jīng)2，易 華3
（1.華東交通大學(xué)理學(xué)院，江西南昌330013；2.華東交通大學(xué)現(xiàn)代教育技術(shù)中心，江西南昌330013；3.井岡山大學(xué)數(shù)理學(xué)院，江西吉安343009）

摘要：簡要闡述了傅里葉變換和小波變換的理論以及這兩種變換應(yīng)用在不同領(lǐng)域的研究現(xiàn)狀，結(jié)合鄱陽湖流域長時間序列（110年)的降水實(shí)際觀測資料，分析了傅里葉變換和復(fù)Morlet小波變換在降水中的應(yīng)用,并在此基礎(chǔ)上,對鄱陽湖流域未來3年的降水趨勢進(jìn)行了短期預(yù)測,預(yù)測結(jié)果與實(shí)測降水趨勢一致；因此研究結(jié)果表明將復(fù)Morlet小波變換應(yīng)用于長時間序列的降水資料進(jìn)行分析降水周期變化規(guī)律以及對未來的降水趨勢進(jìn)行短期預(yù)測是合理可行的。

關(guān)鍵詞：傅里葉變換；小波變換；降水時間序列

小波分析屬于時頻分析的一種[1]。傳統(tǒng)的信號分析是建立在傅里葉(Fourier)變換[2]的基礎(chǔ)上的，但是，傅里葉分析使用的是一種全局的變換，即要么完全在時域展開，要么完全在頻域展開，它無法表述信號的時頻局域性質(zhì)[3]，而時頻局域性質(zhì)恰恰是非平穩(wěn)信號最根本和最關(guān)鍵的性質(zhì)。為了分析和處理非平穩(wěn)信號，人們對傅里葉變換進(jìn)行了推廣，乃至根本性的變革，提出并發(fā)展了短時傅里葉變換(Gabor變換)[4]、小波變換[5]、Randon Wigner變換、分?jǐn)?shù)階傅里葉變換[6]、線性調(diào)頻小波變換[7]、循環(huán)統(tǒng)計(jì)量理論和調(diào)幅-調(diào)頻信號分析等，其中，短時傅里葉變換和小波變換也是因傳統(tǒng)的傅里葉變換不能夠滿足信號處理的要求而產(chǎn)生的。

小波變換是一種信號的時間-尺度（時間-頻率）分析方法，它具有多分辨分析(multi-resolution analysis)的特點(diǎn)，而且在時頻兩域都具有表征信號局部特征的能力，是一種窗口大小固定不變，但其形狀可變(時間窗和頻率窗都可以改變)的時頻局部化分析方法。

1 傅里葉變換和小波變換

傅里葉變換能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和余弦函數(shù)）或者它們的積分的線性組合[9]。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的表現(xiàn)形式。連續(xù)傅里葉變換定義為若函數(shù)f（t）∈L2（R），則稱的連續(xù)傅里葉變換，其重構(gòu)公式為。引入窗函數(shù)g（t）,短時傅里葉變換(Gabor變換）定義為，其中為函數(shù)g（t-p）的共軛函數(shù)，重構(gòu)公式為。在短時傅里葉變換中，窗函數(shù)g（t）一旦選定，就是固定不變的；因此短時傅里葉變換從本質(zhì)上是一種單一分辨率的信號分析方法，在信號分析上還存在不可逾越的缺陷。

設(shè)函數(shù)ψ（t）∈L2（R），其傅里葉變換為ψ贊（ω）。當(dāng)ψ贊（ω）滿足允許條件(admissible condition)Cψ＝時，ψ（t）稱為一個基本小波或母小波。將母小波ψ（t）經(jīng)伸縮和平移后，可以得到一個小波序列，a，b∈R,a≠0，稱ψa , b（t）為由母小波ψ（t）生成的依賴于參數(shù)a，b的連續(xù)小波。對于任意的函數(shù)f（t）∈L2（R），以ψ（t）為母小波的連續(xù)小波變換定義為，重構(gòu)公式為，相應(yīng)的小波方差。小波方差反映了波動的能量隨尺度的分布，可以用來確定一個時間序列中存在的周期成分。

2 傅里葉變換和小波變換在鄱陽湖流域中的應(yīng)用

鄱陽湖流域?qū)賮啛釒Ъ撅L(fēng)性氣候，特點(diǎn)為冬季溫暖少雨，夏季高溫多雨。文中所用鄱陽湖流域長時間序列年降水量實(shí)測數(shù)據(jù)有110年（1900—2009年）（數(shù)據(jù)來源于中國氣象科學(xué)數(shù)據(jù)共享網(wǎng)http://cdc.nmic.cn/ home.do），所用數(shù)據(jù)經(jīng)過了嚴(yán)格的質(zhì)量控制。

分析鄱陽湖流域年降水量的周期變化特征及其趨勢，可為鄱陽湖流域的防洪、調(diào)度及管理提供科學(xué)依據(jù)。鄱陽湖流域年降水量歷史時間序列見圖1。鄱陽湖流域110年年平均降雨量為1 590 mm，圖1中直線為最小二乘擬合直線，擬合方程為y=0.126 t+1 344.4，其中y為年降雨量，t為時間。從擬合結(jié)果看，近100多年來，鄱陽湖流域的年降水量呈現(xiàn)略微增加的趨勢，但趨勢不明顯，每百年增加約12.6 mm。為方便起見，如不特別說明，下文中所用數(shù)據(jù)均為年降水量距平數(shù)據(jù)，即原始數(shù)據(jù)減去趨勢后的數(shù)據(jù)。

2.1 傅里葉變換結(jié)果

采用快速傅里葉變換，采樣點(diǎn)數(shù)為110，所得頻譜圖如圖2。

圖1 年降雨量Fig.1 Annual precipitation

圖2 距平年降雨量的傅里葉分析頻譜圖Fig.2 annual precipitation of Fourier spectrum analysis

從圖2中可以看出年降水量的周期變化，主周期為5.8年，次周期中3-4，28，11，19和8年比較明顯，剩余的周期不顯著。雖然傅里葉變換可以分析出時間序列中的一些周期成分，但因其時域和頻域不能同時分析的局限性，這些周期會在哪里出現(xiàn)，在哪里消亡，在哪里突變，在哪里表現(xiàn)的更劇烈等分辨不出；因此應(yīng)用傅里葉變換具有一定的局限性。

2.2 復(fù)Morlet小波變換結(jié)果

采用復(fù)Morlet小波變換，空間尺度取為1-32。變換后小波系數(shù)的模和實(shí)部的模如圖3。因?yàn)橄禂?shù)模的大小可以表示時間尺度的強(qiáng)弱，而實(shí)部則表示不同時間尺度的信號在不同時間上的分布和相位的信息；因此小波系數(shù)的模和實(shí)部的模是2個非常重要的變量。圖3 (a-b)分別為鄱陽湖流域年降水量距平時間序列復(fù)Morlet小波變換系數(shù)的模和實(shí)部系數(shù)的模的時頻變換。從這2個圖中可以清晰地看出年降水量的周期變化、持續(xù)時間、強(qiáng)弱、突變點(diǎn)分布及其相位結(jié)構(gòu)。

圖3 距平年降雨量小波變換的Fig.3 Period of wavelet coefficients

圖4給出了復(fù)Morlet小波變換的方差譜，縱坐標(biāo)取了對數(shù)。從圖中可以清晰地看出，主周期為5-6年和11年，次周期主要有8，32年和2-3年。

圖4 距平年降雨量小波變換的方差譜Fig.4 Wavelet variance spectrum

圖5給出了小波變換實(shí)部系數(shù)在各個不同周期的變化過程。從圖5 (a)可以看出6年周期自1900年開始慢慢增強(qiáng)，在1915—1950年表現(xiàn)最為強(qiáng)烈，隨后強(qiáng)度慢慢衰減。11年周期和32年周期(圖5(b)）在整個時間序列中表現(xiàn)一直穩(wěn)定且很持續(xù)。5年周期從1900年開始慢慢增強(qiáng)，到1945年達(dá)到最高點(diǎn)，然后慢慢減弱，到1980年左右又開始慢慢增強(qiáng)。從這些周期可以預(yù)測2010—2012年均處于周期的上升期，所以2010年的降水會比2009年有所增加。實(shí)際上2010年的實(shí)測降水為2 086 mm，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于2009年的1 387 mm。而2012年,鄱陽湖流域?qū)嶋H降雨也明顯偏多,鄱陽湖流域提前進(jìn)入了豐水期,年平均降雨量2 174 mm,較常年平均偏多30%左右,破歷史記錄。

圖5 復(fù)Morlet小波變換的實(shí)部變化過程Fig.5 Changes of the real component of wavelet coefficients

2.3 其他結(jié)果

另外，如果換個角度，將32個尺度上的小波系數(shù)模的最大值統(tǒng)計(jì)出來，最大值點(diǎn)落到每層上的個數(shù)結(jié)果如表1。在這種方法里，其結(jié)果和小波方差的分析結(jié)果類似，主周期為3-6年，次周期有8，32年和11年。這說明小波方差分析的結(jié)果具有一定的合理性。

表1 小波系數(shù)模的最大值點(diǎn)落到每個空間尺度上的個數(shù)Tab.1 Number of the maximum norm of wavelet coefficients into each spatial scale

3 結(jié)論

由于水文變化（降水量）并不存在“真正意義上”的周期性，降水量在時域中存在多層次時間尺度結(jié)構(gòu)和局部化特征，傅里葉分析并不具有時域和頻域同時進(jìn)行局部化的能力；因此不能有效提取不同層次水文變化的重要信息，而小波變換可以克服傅里葉分析的這個缺點(diǎn)，能夠有效地分析出各種復(fù)雜的局部結(jié)構(gòu)，并明確地給出周期開始和結(jié)束的時間和持續(xù)的強(qiáng)弱、長短；因此其“調(diào)焦”性質(zhì)適合展現(xiàn)水文時間序列的精細(xì)結(jié)構(gòu)，為分析特定地區(qū)的水文變化提供一種新途徑。

在鄱陽湖流域110年水文時間序列中，所用3種方法都分析了6，8年和11年周期的成分，而且2010年的實(shí)測降水也驗(yàn)證了分析結(jié)果；因此復(fù)Morlet小波變換用于分析長時間序列的水文數(shù)據(jù)是合理可行的,使用復(fù)Morlet小波變換對鄱陽湖流域的未來的短期降水趨勢預(yù)測具有實(shí)際參考意義。

參考文獻(xiàn):

[1] JORDAN D，MIKSAD RW，POWERS EJ. Implementation of the continuous wavelets transform for digital time series analysis[J]. Review of Scientific Instruments，1997，68：1484-1494.

[2]潘文杰.傅里葉分析及其應(yīng)用[M].北京：北京大學(xué)出版社，2000：84－109.

[3] KUMAR P，F(xiàn)OUFOULA GEORGIOU E. A new look at rainfall fluctuations and scaling properties of spatial rainfall using orthogonal wavelets[J]. Journd of Applied Meteorotog，1993，32：209-222.

[4] GABOR D. Theory of communication[J]. Journal of the Institution of Radio and Communication Engineering，1946，93（26）：429-441.

[5] DAUBECHIE I. Ten lectures on wavelets[J]. Philadelphis：SIAM Publ，1992：17-340.

[6]陶然，鄧冰，王越.分?jǐn)?shù)階傅里葉變換及其應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2009：166-195.

[7]胡國勝，陳一天，任震. Fourier變換和小波變換一般形式-線性調(diào)頻小波變換和多普勒小波變換[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2002（5）：46-48.

[8]湯文亮，周長雨.基于半馬爾科夫鏈的中小堤壩WSN節(jié)點(diǎn)能耗研究[J].華東交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，31（3）：124-129.

[9] WINGER E. On the quantum correction for thermodynamic equilibrium[J]. Physical Review，1932，40（5）：74.

[10] YI H，SHU H. The improvement of the Morlet wavelet for multi-period analysis of climate data[J]. Comptes Rendus Geoscience，2012，344（10）：483-497.

[11] YI H，CHEN ZQ，CAO YH. High precision computation of Morlet wavelet transform for multi-period analysis of climate data[J]. Journal of Information and Computational Science，2014，11（17）：6369-6385.

（責(zé)任編輯 劉棉玲）

Multi－scale Analysis of Long Time Precipitation Series in Poyang Lake Basin

Cao Yanhua1，Lv Guanghong2，Yi Hua3
（1.Schoolof Science,East China Jiaotong University,Nanchang330013,China;2.Modern Education Techical Center，East China Jiaotong Universitg Nanchang 330013, China; 3. School of Mathematics and Physics, Jinggangshan University, Ji’an 343009, China)

Abstract：The Fourier transform and wavelet transform theories and their applications in different areas were briefly introduced. According to actual precipitation data of long time (110-year) series in Poyang Lake Basin, the paper analyzed the application of these two theories in precipitation and made a short-term prediction on precipitation trend of Poyang Lake Basin in the next three years. The prediction result was consistent with practical precipitation, which showed that it was feasible to apply complex Morlet wavelet transform to long time precipitation series in order to analyze precipitation periodicity and make short-term prediction on future precipitation trend.

Key words：Fourier transform; wavelet transform; precipitation time series

中圖分類號：TV124

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1005-0523（2016）03-0121-05

收稿日期：2015－08－23

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11461026）；江西省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（20132BAB201014）

作者簡介：曹艷華（1978—），女，副教授，博士，研究方向?yàn)橛?jì)算數(shù)學(xué)。