概念新授應(yīng)重視“關(guān)聯(lián)舊知”的梳理
——基于兩則“二次根式”的引入判斷的分析

☉江蘇省如東縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)　朱　玲

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概念新授應(yīng)重視“關(guān)聯(lián)舊知”的梳理
——基于兩則“二次根式”的引入判斷的分析

☉江蘇省如東縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)朱玲

概念教學(xué)是一項(xiàng)“推陳出新”的技術(shù)活，“推陳”并不是對舊知的摒棄，而是有目標(biāo)地繼承舊知中對后續(xù)學(xué)習(xí)影響較大的內(nèi)容，從而引出新的、更高層面的概念.因此，概念新授應(yīng)重視與新知關(guān)系較為密切的舊知（下稱“關(guān)聯(lián)舊知”）的梳理，力求在教學(xué)中讓新概念合理而有效地“扎根”于關(guān)聯(lián)舊知之上，實(shí)現(xiàn)新舊知識之間的“無縫對接”.現(xiàn)結(jié)合人教版八年級下冊“16.1二次根式”的兩則差別明顯的引入片斷，談?wù)劰P者對此的看法，希望能給大家的教學(xué)帶來啟示.

一、“二次根式”兩則引入片斷

引入片斷1

問題設(shè)計(jì)：

（1）回顧平方根的定義并說說其表示方法；

（2）回顧算術(shù)平方根的定義并說說其表示方法；

（3）填空：

①一個正數(shù)有____個平方根，它們_____；

②0的平方根是_____，_____沒有平方根.

過程簡述：教師連續(xù)投影呈現(xiàn)如上三題，請學(xué)生作答.由于平方根和算術(shù)平方根的概念離學(xué)生“較遠(yuǎn)”，很多學(xué)生已經(jīng)淡忘，在回答第（1）題和第（2）題時，不少學(xué)生給出了很不規(guī)范的結(jié)論，教師十分著急，為了推進(jìn)教學(xué)，教師立即將正確的答案進(jìn)行了投影展示.在回答第（3）題的第②小題時，一生作答：-1沒有平方根.教師一愣，然后問：填-1，完整嗎？學(xué)生齊答：不完整！教師追問：那該填什么呢？一名學(xué)生給出了“負(fù)數(shù)”的答案，教師立即將其投影到空格中.至此，三道問題回答完畢，教師將所有正確答案全部呈現(xiàn)出來，然后就“算術(shù)平方根的定義及其表示形式”進(jìn)行了進(jìn)一步的探索，引出二次根式的定義及表示形式.

引入片斷2

問題設(shè)計(jì)：用帶有根號的式子填空：

（1）7的算術(shù)平方根是__________；

（2）直角三角形的兩條直角邊分別為5和4，斜邊為_________；

（3）面積為3的正方形的邊長為________，面積為S的正方形的邊長為______；

（4）一個長方形圍欄，長是寬的2倍，面積為130m2，則它的寬為______m；

（5）一個物體從高處自由落下，落到地面所用的時間t（單位：s）與開始落下的高度h（單位：m）滿足關(guān)系h= 5t2，如果用含有h的式子表示t，則t=_______.

過程簡述：學(xué)生先獨(dú)立完成上面的填空，教師巡視指導(dǎo)，搜集典型問題.待完成解答后，學(xué)生在小組中展開交流，教師繼續(xù)巡視并參與部分小組的交流.在接下來的全班交流中，教師緊扣住“要我們求什么”（一個正數(shù)的算術(shù)平方根），“該怎么去求”（開平方），“僅從式子看，開平方的結(jié)果叫什么”（原數(shù)的平方根），“有幾個”（兩個），“這兩個數(shù)之間有怎樣的關(guān)系”（互為相反數(shù)），“結(jié)果應(yīng)該填什么”（算術(shù)平方根），“關(guān)于平方根你還了解哪些知識”等問題展開了追問，最終將每道題所填正確結(jié)果板書，為下一步分析式子共性特征，歸納二次根式的定義及表示形式鋪墊.

二、兩則片斷的分析

片斷1中，舊知梳理直接指向了平方根、算術(shù)平方根的定義、表示形式及性質(zhì)等知識.教者采用的是背誦式梳理，即對概念本身的回顧.這對記憶的要求是很高的，如果學(xué)生在七年級下學(xué)期沒有對概念進(jìn)行深度背誦和記憶，想要給出三個問題的正確答案絕非易事.現(xiàn)實(shí)如此，教學(xué)過程中出現(xiàn)了幾次短暫的“冷場”，教師對此早有預(yù)見，就算出現(xiàn)了異樣的結(jié)論，教師也沒有一絲驚慌，即時的追問再度將學(xué)生領(lǐng)到自己預(yù)設(shè)的軌道上來.在教師教學(xué)進(jìn)程中，“嚴(yán)絲合縫”的投影展示是其教學(xué)得以推進(jìn)的“法寶”，給人以“過程流暢”的觀課感.然而，在接下來的新知生成時，我們就明顯感覺到如此設(shè)計(jì)與實(shí)施的“弊端”了！學(xué)生對平方根、算術(shù)平方根的感知隨著投影的翻轉(zhuǎn)而消失，二次根式的概念教學(xué)“艱難苦澀”，完全變成了“逼迫式”灌輸，學(xué)生完全處于被動接受的狀態(tài)，他們無法感知到這幾個概念之間的外形與“內(nèi)核”之間的聯(lián)系.顯然，這樣的教學(xué)，學(xué)生是無法深刻領(lǐng)會概念的本質(zhì)的.

片斷2中，給出的是幾個簡單的實(shí)際問題，讓學(xué)生“用帶有根號的式子填空”.解題要求十分明確，如此要求將學(xué)生的認(rèn)知方向定位在“帶根號的式子”上.這樣的設(shè)計(jì)，開宗明義，學(xué)生在填空過程中能初步感知這些帶根號的式子（即本課要研究的“二次根式”）與實(shí)際生活的緊密聯(lián)系，體會本課開展的研究是十分必要的.接下來的小組交流，主要任務(wù)是核對答案，交流思路，矯正結(jié)果.教師在此過程中的巡視與指導(dǎo)，一方面可以幫助學(xué)生理清問題解決的過程，另一方面還能搜集教學(xué)資料，積聚全班交流的素材.到了全班展示環(huán)節(jié)，教師通過一系列與平方根、算術(shù)平方根相關(guān)問題的追問，這些對原有概念的“直擊”，意在喚醒那些與本課關(guān)聯(lián)密切的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本數(shù)學(xué)思想和基本活動經(jīng)驗(yàn)，它們都是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)生“二次根式”的基礎(chǔ).教師的步步“逼問”，讓學(xué)生在深刻感知舊知應(yīng)用價(jià)值的基礎(chǔ)上，明晰了新知的特點(diǎn)和應(yīng)用方向，這對接下來的學(xué)習(xí)無疑是大有益處的.事實(shí)正如預(yù)期，下面的教學(xué)中，教師順勢引導(dǎo)，從這些來自于實(shí)際問題的式子中抽取出共性外形，形成了二次根式的定義與基本形式，并依托此對二次根式展開了進(jìn)一步的探究.

兩則片斷稍加比對，我們不難發(fā)現(xiàn)，兩位老師都很重視與本課關(guān)聯(lián)舊知的梳理，但兩者做法不同，效果也不一樣.片斷1中，教師側(cè)重概念本身的梳理，強(qiáng)化了對概念的文本、符號兩個維度語言的回顧，但由于對學(xué)生學(xué)情的過高估計(jì)，整個教學(xué)過程幾乎都變成了教師的“獨(dú)角戲”，課件的翻滾演示代替了學(xué)生個體的獨(dú)立思維，舊知的梳理顯然沒有到位；片斷2中，教師從實(shí)際問題引入，讓學(xué)生“用帶有根號的式子填空”，這是立足于應(yīng)用之上的舊知回顧，知識的回憶有了一組很好的抓手，加之接下來的小組交流和全班交流，教師的及時引導(dǎo)與追問讓學(xué)生所掌握的與本課時密切關(guān)聯(lián)的知識被逐一喚醒，取得較好的教學(xué)效果也就在情理之中了.

三、三點(diǎn)感悟

1.要重視新舊概念的關(guān)聯(lián)性

一般地，新的數(shù)學(xué)概念的出現(xiàn)都是對人的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的充實(shí)與完善，是原有概念的進(jìn)一步拓展與延伸.所以，每一個概念的產(chǎn)生，都離不開原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的舊知識.這些舊知識，就是維果斯基最近發(fā)展區(qū)理論中所說的“已有的認(rèn)知水平”，而“可能實(shí)現(xiàn)的水平”就是這些基于現(xiàn)有知識之上的新概念.顯然，這兩種水平之間一定存在著某種外顯或內(nèi)隱的聯(lián)系，這就是我們教學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)注點(diǎn).在學(xué)生已有知識結(jié)構(gòu)中，與新概念關(guān)聯(lián)的知識應(yīng)該是很多的，但密切程度各不相同，所以，設(shè)計(jì)教學(xué)時，應(yīng)重視舊知識的篩選，要從關(guān)聯(lián)舊知中篩選出與新概念關(guān)系最密切的知識，從有利于新知識“生長”的角度設(shè)置合適的導(dǎo)學(xué)問題和導(dǎo)學(xué)過程.本文中兩則片斷，教師的篩選都是到位的，二次根式的生長點(diǎn)是算術(shù)平方根，這是兩位老師選擇和設(shè)計(jì)導(dǎo)學(xué)問題的出發(fā)點(diǎn)，無論是立足于概念本身的梳理，還是借用實(shí)際問題的“背景式”梳理，學(xué)生的回顧都緊扣與本節(jié)課關(guān)聯(lián)最密切的舊知，這樣的設(shè)計(jì)是合情合理的.至于最終導(dǎo)學(xué)的效果，顯然還與導(dǎo)學(xué)問題和導(dǎo)學(xué)過程的合理程度有著很大的關(guān)系.

2.要關(guān)注舊知喚醒的多維性

關(guān)聯(lián)舊知的梳理，我們絕不是進(jìn)行單一的概念梳理，當(dāng)然，關(guān)注概念的文本、符號及圖形敘述，這對新授概念來說是十分重要的，但這絕不是關(guān)聯(lián)概念復(fù)習(xí)的唯一.從上面兩則片斷的教學(xué)成效來看，兩者的差異是顯而易見的.片斷1僅重視了概念本身的梳理，將平方根、算術(shù)平方根的定義作為復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，對其應(yīng)用并未涉及，苦澀的概念回顧沒有給教者的課堂增彩，反而給學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)帶來思維上的障礙；片斷2則從實(shí)際問題入手，知識的梳理與問題解決掛鉤，概念的回顧不再是對知識文本或符號的藐視，而是與學(xué)生的應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行了融合，這對于已經(jīng)能夠適度應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識來說，其成效要遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過片斷1中那種“背誦式”回顧了，何況，教者還通過自主解答、小組交流和全班交流等三個環(huán)節(jié)將舊知回顧漸次推進(jìn)，每個環(huán)節(jié)邁出的一小步，都將舊知的不同方面扎扎實(shí)實(shí)地展示在學(xué)生眼前，其效果不言而喻.顯見，關(guān)聯(lián)舊知的回顧，應(yīng)是多維度的，這種類似于片斷1中的背誦式回顧應(yīng)少之又少，我們的教學(xué)應(yīng)多做一些“拔出蘿卜帶出泥”的事情，要讓關(guān)聯(lián)舊知的不同方面在復(fù)習(xí)中都有體現(xiàn)，從而為新概念的出現(xiàn)、生成和應(yīng)用做好準(zhǔn)備.

3.要體現(xiàn)舊知梳理的前瞻性

在初中生的數(shù)學(xué)認(rèn)知活動中，概念的獲取與應(yīng)用是最為常見的.新概念是舊知識、舊經(jīng)驗(yàn)復(fù)合疊加而成的，它是學(xué)生知識積聚與能力提升的顯性表現(xiàn).顯而易見，新概念是隨著學(xué)生認(rèn)知水平的不斷提升而順次出現(xiàn)的.在梳理舊知時，我們應(yīng)該關(guān)注到這一點(diǎn)，并用好這一特性，將新概念悄悄地隱藏于舊知梳理的問題情境之中.為此，我們所設(shè)計(jì)的導(dǎo)學(xué)問題和導(dǎo)學(xué)流程應(yīng)有明顯的前瞻性，將新知內(nèi)隱于梳理進(jìn)程之中應(yīng)成為我們的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施的追求.對于八年級學(xué)生來說，“二次根式”是一個新詞語，但其真正的含義學(xué)生在七年級下學(xué)期就已有之，只不過因?yàn)檎J(rèn)知發(fā)展未挑明而已.此時的再度認(rèn)知，無非是對過去的知識下一個規(guī)范的定義，所以，我們的教學(xué)就應(yīng)如片斷2中的教師中那樣，用好學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗(yàn)，從學(xué)生熟悉的實(shí)際問題解決出發(fā)，將要探究的概念悄悄地隱藏在問題的解決與交流之中.只要學(xué)生參與了教學(xué)的進(jìn)程，那他就一定能夠時刻感知這些具有共性特征的式子的應(yīng)用價(jià)值.最終，給這些都有著統(tǒng)一“著裝”的式子一個名稱，就成為了學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的自然需求，新知也就隨之產(chǎn)生.如此教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施，順應(yīng)了數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在邏輯主線和學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，值得學(xué)習(xí)！

參考文獻(xiàn)：

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2.林群.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)教科書·數(shù)學(xué)（七年級上冊）［M］.北京：人民教育出版社，2012.

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4.印冬建.突出核心主線追求有效教學(xué)——談初中數(shù)學(xué)有效備課的做法和思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014 （1）.H

2.圓心+切點(diǎn)；垂徑定理

例2（第24題）如圖4，AB是⊙O的直徑，且經(jīng)過弦CD的中點(diǎn)H，過CD延長線上的一點(diǎn)E作⊙O的切線，切點(diǎn)為F.若∠ACF=65°，則∠E=________.

圖4

圖5

解析：如圖5，連接BF、OF，由O為圓心，F(xiàn)為切點(diǎn)，得∠OFE=90°.

因?yàn)镺為圓心，H為弦CD的中點(diǎn)，所以∠OHE=90°.

因?yàn)椤螦CF=65°，所以∠B=65°.又因?yàn)镺B=OF，所以∠AOF=130°.

在四邊形HOFE中，∠E=360°-90°-90°-130°=50°.

思考：本題構(gòu)造了兩個直角，一個是利用圓心和切點(diǎn)；另一個是根據(jù)垂徑定理（上題的解法2中已經(jīng)使用過）.可以看出正是這兩個“隱藏的直角”的出現(xiàn)，使得此題在“山重水復(fù)之困”時顯出“柳暗花明之路”；此外，上述方法其實(shí)只添加一條輔助線即可（如圖6），根據(jù)圓心角和圓周角的數(shù)量關(guān)系同樣可以得到∠AOF=130°，從而解決問題；最后需要說明的是我們還可以連接BF、AF（如圖7），在△GFE中解決問題.顯然，圖6利用了“圓心+切點(diǎn)”所形成的隱藏直角；圖7則是利用了上文提及的“直徑+所對圓周角”所形成的隱藏直角.

圖6

圖7

二、其他圖形中的直角：平角+兩個角平分線

例3（第20題）如圖8，矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，將△ABE沿直線BE折疊后得到△GBE，延長BG交CD于點(diǎn)F，若，則FD的長為（搖）.

圖8

圖9

解法1：如圖9，連接EF，于是在Rt△EGF和Rt△EDF中，有EG=ED，EF=EF，所以Rt△EGF≌Rt△EDF（HL）.

所以∠FEG=∠FED，F(xiàn)G=FD.

根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得∠AEB=∠GEB.

又由于A、E、D三點(diǎn)共線，所以∠BEF=90°.

又由于EG⊥BF，所以△EGB∽△FGE.

所以EG2=BG·FG=AB·FD=AE2，即

所以FD=4，故選B.

解法2：由解法1得∠BEF=90°.

解法3：根據(jù)解法1可知，在Rt△BCF中，BF=BG+GF= AB+FD=6+FD，F(xiàn)C=CD-FD=6-FD于是由勾股定理得，解得FD=4.

思考：解法1和解法2的實(shí)質(zhì)是一樣的，都需要知道∠BEF=90°，然而這是有一定的“思維含量”的；解法3沒有意識到∠BEF=90°，只能結(jié)合折疊的性質(zhì)，然后在Rt△BCF中運(yùn)用勾股定理解決問題，比較容易想到，但是需要一定的計(jì)算量.比較上述三種解法，可以看出前兩種解法體現(xiàn)了“少算多思”的考查風(fēng)格，也符合“計(jì)算簡單的方法往往需要付出邏輯思維的代價(jià)”的解題效率觀，而前兩種解法的優(yōu)越性正是建立在隱藏的直角（∠BEF=90°）的基礎(chǔ)之上的.

此外，在2015年武威市的中考試題中有一題與之類似，如下（有改動，原題為選擇題）：如圖10，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，P是BC邊上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B、C都不重合）.現(xiàn)將△PCD沿直線PD折疊，是點(diǎn)C落到點(diǎn)F處；過點(diǎn)P作∠BPF的角平分線交AB于點(diǎn)E.設(shè)BP=x，BE=y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為_________.

圖10

1.張俊.發(fā)現(xiàn)隱圓突破解題壁壘［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2015（7）.

2.王志進(jìn).解法自然三例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2015（7）.H