例舉數列極限的若干種不同求法

李玉萍　張金諾（.鄭州師范學院數學與統計學院，河南鄭州　450044；.中國地質大學經濟管理學院，湖北武漢　430074）

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例舉數列極限的若干種不同求法

李玉萍1張金諾2
（1.鄭州師范學院數學與統計學院，河南鄭州450044；2.中國地質大學經濟管理學院，湖北武漢430074）

【摘 要】極限是高等數學教學中的重要環(huán)節(jié)，也是貫穿整個微積分教學的主線。本文簡單地介紹了計算極限的幾種方法，討論了如何利用數列極限的定義、兩邊夾法則、單調有界定理、致密性定理、柯西收斂準則、數列的四則運算法則、兩個重要極限法、Stolz定理法、定積分定義法、級數性質法、拆項法與錯位法來計算數列的極限。

【關鍵詞】兩邊夾法則單調有界定理致密性定理柯西收斂準則Stolz定理

極限是高等數學教學中的重要環(huán)節(jié)，也是貫穿整個微積分教學的主線。它描述了變量的變化趨勢，是從有限到無限、從量變到質變、從近似到精確必不可少的推理工具。極限是分析學的基礎，極限問題是分析學中的困難問題之一。極限問題的基本思想對解決分析學中面臨的問題自始至終起關鍵作用，有關一元、二元、多元微積分學和級數等概念及一些基本的思想都是利用極限的思想而提出來的。而數列極限又是極限的基礎，是整個數學分析中極限部分的重要內容，下面從以下幾個方面來談談數列極限的幾種求法

1　關于數列極限四種最常見的求法

1.1定義法

1.2兩邊夾法則

顯然，這個和是無窮限項的，不能用極限的運算法則來求極限，求此和也不是一件容易的事情，我們可以利用數列的特性。

所以根據數列極限的兩邊夾法則可得

1.3四則運算法則

此方法是利用一些數列其已知的極限來求這些數列經過四則運算后形成的數列的極限，這樣就有相當一些數列極限不必再用ε-N定義求極限，而簡便地使用四則運算法則來求極限。

1.4兩個重要極限

利用重要公式來求極限或者是轉化為函數的極限，這種方法必須得在牢記住重要極限的形式和它的值的基礎上，并且對所求的式子作適當的變形，從而來達到可以求出其極限的目的，這種方法應用比較靈活，其有相當強的技巧性。

2　其他幾種求數列極限的方法

2.1Stolz定理法

證明：利用Stolz定理

2.2定積分定義法

這種方法主要用于求和式的極限，極為方便。

例如

可以把它看成是函數xarctanx 在區(qū)間［0，1］上的積分和，它所運用的是把區(qū)間［0，1］平均分成等份，并且均取每個均勻的小區(qū)間的右端的函數值，可得

2.3級數性質法

級數實質上是一個無窮序列的和的形式，而它的部分和其實就是一個數列。有的時候為了方便，可以將數列極限看成是某個級數的部分和，這樣便可以更方便、更快速、更簡潔的求出原數列的極限。

2.4錯位法與拆項法

以上主要針對數列極限的幾種求法進行了初步的探索，要想求出一些數列的極限而在題目中沒有說明極限存在的條件下，我們需要先判別該數列的極限是否存在，然后進而求之，在上文中我們介紹了幾種如何判別數列極限存在的方法，在對數列極限進行求解的時候，往往不是一個過程就能解決的，通常需要多種方法的結合。不同類型的數列極限問題，需要用不同的方法解決，我們在學習數列極限的過程中，只有不斷的進行總結、不斷的完善知識理論和結構，才能夠對相應的題目對癥下藥、有所創(chuàng)新和突破，所以我們應該在學習的過程中，由淺入深地逐步理解和掌握。

參考文獻：

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［5］裴禮文.數學分析中的典型問題與方法［M］.北京:高等教育出版社，2006（2）:57-64.

基金項目：河南省教育廳課程改革研究項目 （2016-JSJYZD-072）。

作者簡介：李玉萍（1971—），河南滎陽人，副教授，碩士，研究方向為數學教學論。