運(yùn)用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換原理求解多地電體的電位分布

李開鵬，鮑力知

(1.貴州省有色金屬和核工業(yè)地質(zhì)勘查局物化探總隊(duì)，貴州　都勻　558000；2.湖南化工地質(zhì)勘查院，湖南　長(zhǎng)沙　410004)

運(yùn)用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換原理求解多地電體的電位分布

李開鵬1，鮑力知2

(1.貴州省有色金屬和核工業(yè)地質(zhì)勘查局物化探總隊(duì)，貴州都勻558000；2.湖南化工地質(zhì)勘查院，湖南長(zhǎng)沙410004)

[摘要]利用坐標(biāo)平移、旋轉(zhuǎn)、和不同坐標(biāo)系統(tǒng)之間的轉(zhuǎn)換，本文研究多個(gè)大小不同、形狀各異、電性不勻的地電體共存于均勻電流場(chǎng)中的電位分布問題，提出了求解這類復(fù)雜電性分布的技術(shù)思路和方法，給出了在忽略地電體相互影響的條件下，多個(gè)地電體共存時(shí)電位分布的理論公式和計(jì)算方法，探討了地電體之間影響可以忽略的具體條件。對(duì)解決復(fù)雜地電分布的正演問題作了有益的探索。

[關(guān)鍵詞]多地電體；電位分布；坐標(biāo)轉(zhuǎn)換[中圖分類號(hào)]P631.3

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1000-5943(2016)01-0077-06

1引言

坐標(biāo)的平移、旋轉(zhuǎn)以及不同坐標(biāo)系統(tǒng)之間的轉(zhuǎn)換，是解決數(shù)學(xué)物理問題常用的科學(xué)工具[1，2，11]。勘查中遇到的地下電場(chǎng)分布，實(shí)際是無數(shù)個(gè)大小不同，形狀各異，電性不勻的電性體共存的復(fù)雜組合。一般的論文、專著(或教科書)，常常只給出大地電性均勻條件下，單個(gè)簡(jiǎn)單形態(tài)電性體的電場(chǎng)分布。涉及多個(gè)地電體的正反演主要靠模型實(shí)驗(yàn)或有限元編程。

為了求解數(shù)學(xué)物理問題的方便，理論文章和教科書、專著中經(jīng)常采用球面坐標(biāo)、圓柱坐標(biāo)或者橢球坐標(biāo)等正交曲線坐標(biāo)來求解位場(chǎng)問題，而從事實(shí)際勘查的人卻習(xí)慣按直角坐標(biāo)考慮空間分布。這就提出了一個(gè)從曲線坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)的問題。

本文運(yùn)用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換原理[1，2]，探討求解均勻電流場(chǎng)中，兩個(gè)及兩個(gè)以上電性體共存的復(fù)雜條件下的電位分布，給出多地電體共存于均勻電流場(chǎng)中的計(jì)算公式和轉(zhuǎn)換方法，指出了上述方法適用的條件和引起的誤差。

2坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的基本公式

2.1直角坐標(biāo)系的平移

設(shè)在空間建立了直角坐標(biāo)系統(tǒng)Oxyz，將它沿x，y，z軸正向分別移動(dòng)距離a，b，c，得到新坐標(biāo)系o′x′y′z′。設(shè)點(diǎn)P在坐標(biāo)系oxyz中的坐標(biāo)依次為x、y、z，在新坐標(biāo)系o′x′y′z′中的坐標(biāo)順次為x′、y′、z′，如圖1所示。

圖1　坐標(biāo)系oxyz平移后變?yōu)樾伦鴺?biāo)系

點(diǎn)P在的新坐標(biāo)x′，y′，z′與老坐標(biāo)x，y，z的換算關(guān)系是[1，2]

x=x′+a，y=y′+b，z=z′+c

(1)

2.2直角坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)[1，2]

新坐標(biāo)系o′x′y′z′也可以由老坐標(biāo)系oxyz旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生，任何旋轉(zhuǎn)總可以分解為繞ox軸旋轉(zhuǎn)，繞oy軸旋轉(zhuǎn)，繞oz軸旋轉(zhuǎn)等三種不同旋轉(zhuǎn)方式或它們的組合。如圖2所示。

圖2　直角坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)分解為繞ox、oy、oz

ox軸不動(dòng)，yoz平面繞ox軸旋轉(zhuǎn)α角(以反時(shí)針方向?yàn)?)到oy′、oz′位置，由老坐標(biāo)y、z換算新坐標(biāo)y′、z′的關(guān)系式是[1，2]

(2)

由方程組(2)可解出從新坐標(biāo)y′、z′換算老坐標(biāo)y、z的公式為[1，2]

(3)

仿此不難得到oy軸不動(dòng)，xoz平面繞oy軸旋轉(zhuǎn)β角到ox′、oz′位置，或者oz軸不動(dòng)，xoy平面繞oz軸旋轉(zhuǎn)γ角到ox′、oy′位置的換算公式。

2.3球面坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的互相換算[6，7，10]

如圖3，與直角坐標(biāo)系原點(diǎn)相同，以直角坐標(biāo)的z軸為極軸的球面坐標(biāo)r，θ，φ與直角坐標(biāo)x，y，z的相互換算的關(guān)系是

圖3　與直角坐標(biāo)系原點(diǎn)相同，以直角坐標(biāo)的z軸為極

(4)

x=rsinθcosφ，y=rsinθsinφ，z=rcosθ

(5)

2.4圓柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)系的互相換算[6，7，10]

二者的位置關(guān)系如圖4，換算公式為(6)、(7)。

圖4　原點(diǎn)與直角坐標(biāo)原點(diǎn)重合，z軸與直角坐標(biāo)z

x=pcosφ，y=ρsinφ，z=z′

(6)

(7)

2.5橢球坐標(biāo)系(λ，μ，υ)與直角坐標(biāo)系(x，y，z)的位置關(guān)系及互相換算

勘查地球物理中常用到橢球坐標(biāo)。橢球坐標(biāo)的三個(gè)坐標(biāo)曲面方程為[3，6，12]

(8)

(9)

(10)

以上3式中，a，b，c是常數(shù)，a>b>c，∞>λ>-c2，-c2>μ>-b2，-b2>v>-a2。式(8)確定一簇共焦點(diǎn)的三軸橢球面，式(9)確定一簇單葉雙曲面，(10)確定一簇雙葉雙曲面。這三個(gè)曲面兩兩正交，構(gòu)成一個(gè)正交曲線坐標(biāo)系。同時(shí)取一個(gè)原點(diǎn)位于橢球中心，x軸沿橢球長(zhǎng)半軸方向的直角坐標(biāo)系統(tǒng)，如圖5。

在橢球坐標(biāo)系中，空間任一點(diǎn)P的坐標(biāo)是(λ，μ，υ)。從橢球坐標(biāo)λ，μ，υ換算到直角坐標(biāo)的公式為[3，6，12]

(11)

圖5　橢球坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)面

(12)

(13)

已知直角坐標(biāo)x，y，z求橢球坐標(biāo)的方法是將(8)～(10)式統(tǒng)一寫作

(14)

上式左右兩邊同乘以(a2+t)(b2+t)(c2+t)，變形為

(a2+t)(b2+t)(c2+t)-x2(b2+t)(c2+t)-y2(a2+t)(c2+t)-z2(a2+t)(b2+t)=0

(15)

(15)式是一個(gè)關(guān)于t的三次方程，橢球坐標(biāo)λ，μ，v是解方程(15)得到的三個(gè)實(shí)根[6，7，12]。

3均勻電流場(chǎng)中二個(gè)以上電性體共存的電位分布

3.1二個(gè)球狀體共存的情況

在電阻率為ρ1的均勻大地中，賦存有A，B兩個(gè)等軸狀的地質(zhì)體，可用球體來模擬它們。設(shè)二球的半徑分別為aA，aB，電阻率分別為ρA，ρB。在整個(gè)空間建立密度為j0的均勻電流場(chǎng)。取原點(diǎn)位于球A的球心，x軸沿電流密度j0的方向的直角坐標(biāo)。另取一個(gè)原點(diǎn)也位于球A的球心，極軸沿x軸方向的球坐標(biāo)，如圖6所示。

圖6　兩個(gè)不同尺寸、不同電阻率的球體

均勻電流場(chǎng)中單個(gè)導(dǎo)電球體的電位分布已經(jīng)有解[3，4，5，9]，球外由球A引起的電位U1等于

(16)

在沿x方向，正常電場(chǎng)的強(qiáng)度為j0ρ1，而相距rA的觀察點(diǎn)上球A的異常電場(chǎng)強(qiáng)度是

(17)

當(dāng)rA/aA=4，即觀察點(diǎn)到球心的距離等于4倍球半徑，與建立的均勻電流場(chǎng)相比，球體的異常電場(chǎng)不到前者的2%，其影響可以忽略。

如果A、B二球共存，二者之間的距離足夠大，使得球A和球B的相互作用及它們對(duì)總場(chǎng)的貢獻(xiàn)與建立的均勻電流場(chǎng)相比可以忽略，球外任一點(diǎn)P的總電位可以看成均勻電流場(chǎng)的電位與球A以及球B的電位三者之和，則觀察點(diǎn)P的總電位為

(18)

(19)

(20)

(19)、(20)代入(18)便得到均勻電流場(chǎng)中有兩個(gè)球狀電性體共存時(shí)，以其中一個(gè)球體中心為坐標(biāo)原點(diǎn)的總電位

(21)

類此不難寫出均勻電流場(chǎng)中有3個(gè)、4個(gè)…大小不一，電性不同的等軸狀地電體共存時(shí)的電位表達(dá)式。

3.2二個(gè)(或更多)長(zhǎng)圓柱體共存的情況

電法勘查中實(shí)際遇到的電性體，有時(shí)可以用長(zhǎng)圓柱體來模擬。理論研究時(shí)為簡(jiǎn)化問題起見，常常把長(zhǎng)圓柱體看成沿走向無限長(zhǎng)。究竟多長(zhǎng)算“無限長(zhǎng)”，歷來沒有固定的說法。筆者的看法是，如果柱體的長(zhǎng)、短軸之比達(dá)到8倍以上，就基本上可看成“無限長(zhǎng)”了。理由如次：

把圓柱體看成是一系列大小相等的球體沿直線排列而成，設(shè)它們的半徑均為a，如圖7?？疾炱渲星蛐南嗑酁閞=4a的兩個(gè)球，由前述可知，相距r=4a的兩球相互影響很小可以忽略(不到2%)?？紤]兩端各取一個(gè)r=4a的距離，柱體走向長(zhǎng)共8倍球半徑a。8a以外的部分對(duì)總場(chǎng)的貢獻(xiàn)越來越小，都可以忽略。

圖7　一系列大小相等的球體沿直線排列成圓柱體

設(shè)在電阻率為ρ1的均勻空間中賦存有兩個(gè)無限長(zhǎng)的圓柱體A和B，圓柱體內(nèi)物質(zhì)的電阻率均為ρ2，兩圓柱體的軸線互相平行。建立一個(gè)密度為j0的均勻電流場(chǎng)，使電流方向與圓柱體軸線垂直。取一個(gè)原點(diǎn)位于柱體A的軸線上，z軸與柱體的軸線重合，x軸沿均勻電流的方向的直角坐標(biāo)系統(tǒng)，和一個(gè)原點(diǎn)、z軸都與這個(gè)直角坐標(biāo)相同的圓柱坐標(biāo)系統(tǒng)。設(shè)圓柱體B的軸線與xoy平面交點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，b)，如圖8。

圖8　均勻電流場(chǎng)中兩個(gè)平行的無限長(zhǎng)圓柱體共存

均勻電流場(chǎng)中，存在一個(gè)軸向與電流垂直的無限長(zhǎng)圓柱體內(nèi)、外的電位分布公式[5，7]是

(22)

(23)

式中下標(biāo)2、1分別代表柱體內(nèi)、外，r為觀察點(diǎn)在圓柱坐標(biāo)中的極徑。

實(shí)際的兩個(gè)柱狀地質(zhì)體，往往互不平行，走向、傾向(傾伏)有一定的夾角。如果柱體B軸向相對(duì)柱體A軸向存在平面夾角α，傾伏夾角β，如圖9所示。這時(shí)要注意兩點(diǎn)：①電流密度j0要投影到與柱體B軸向垂直的方向，改成j0cosα；②柱體B的異常電位表達(dá)式中的坐標(biāo)，除了上述的坐標(biāo)平移以外，還要加上坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)變化。走向角α可看成z軸不動(dòng)，xoy平面繞z軸旋轉(zhuǎn)，利用本文第一部分的公式(2)、(3)。傾伏角β可看成x軸不動(dòng)，yoz平面繞x軸旋轉(zhuǎn)。

圖9　均勻電流場(chǎng)中，柱體B相對(duì)柱體A走向夾角為α，傾

如果同一均勻電流場(chǎng)中存在第三、第四…個(gè)大小不同，電性不等，產(chǎn)狀各異的柱狀地質(zhì)體，只要他們彼此之間的影響小到可以忽略，根據(jù)上述的公式和原理，同樣可以寫出空間任何一點(diǎn)它們共同引起的總電位。

3.3二個(gè)(或更多)橢球體共存的情況

勘察地球物理中常常用三軸橢球體來模擬實(shí)際存在的地質(zhì)體。這樣做的好處是：改變橢球三軸的比例，可以模擬許多形態(tài)不同(球狀、透鏡狀、柱狀或板狀)的地質(zhì)體。

設(shè)在電阻率為ρ1的均勻介質(zhì)中，有一個(gè)電阻率為ρ2、三個(gè)半軸分別為a，b，c的橢球體。建立一個(gè)均勻電流場(chǎng)，使電流密度j0方向沿橢球長(zhǎng)半軸a的方向。取一個(gè)原點(diǎn)在橢球中心，x，y，z三軸分別沿橢球a，b，c三半軸方向的直角坐標(biāo)系統(tǒng)。又取一個(gè)原點(diǎn)相同的橢球坐標(biāo)系統(tǒng)λ，μ，v，使其中橢球坐標(biāo)面的三個(gè)半軸與a，b，c一致，如圖10所示。

圖10　均勻電流沿橢球的長(zhǎng)軸方向

均勻電流場(chǎng)中，三軸橢球體的電位分布前人已經(jīng)導(dǎo)出[3，8，13]，表達(dá)式為

U1=-(1+F1L)j0ρ1x

(25)

U2=-(1+F1L0)j0ρ1c

(26)

式中下標(biāo)1，2分別指代球外(介質(zhì)1中)和球內(nèi)(介質(zhì)2中)。其中物性因子

(27)

(28)

(29)

(28)、(29)類型的積分的算辦法是：

(30)

如果外加電流場(chǎng)不是沿長(zhǎng)半軸a(x)方向，而是沿短半軸b(y)或c(z)方向，只需將(25)、(26)式中的x換成y或z，同時(shí)將函數(shù)L0和L的積分式(28)、(29)中的a、b(或a、c)互換即可。

當(dāng)在均勻電流場(chǎng)中存在第二、第三…個(gè)電性有別，大小不一的橢球體，只要它們之間的距離足夠大(例如不小于大橢球長(zhǎng)半軸的4～5倍)，使得彼此的影響小到可以忽略的程度，則根據(jù)位的可加性原理，可以先按(25)、(26)式分別寫出各個(gè)橢球的電位然后相加。遇到這種復(fù)雜的情況，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

①如果取第一個(gè)橢球的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，在寫出第二、第三…個(gè)橢球的電位時(shí)，應(yīng)利用坐標(biāo)平移的原理，把它們之間的位置因素?fù)Q算進(jìn)去。

④等軸狀、長(zhǎng)柱狀、透鏡狀地質(zhì)體共存的情況。

實(shí)際存在的地質(zhì)構(gòu)造和礦(巖)體形態(tài)和產(chǎn)狀是復(fù)雜多樣的。如果等軸狀、長(zhǎng)柱狀、透鏡狀地質(zhì)體共存，根據(jù)位的疊加原理，利用本文提出的方法，在它們相互影響可以忽略的前提下，分別寫出各個(gè)球體、柱體、橢球體的電位，然后相加，即可得到這些復(fù)雜條件下的電位分布。

4結(jié)論

利用坐標(biāo)平移、旋轉(zhuǎn)以及不同坐標(biāo)系之間轉(zhuǎn)換的原理，本文研究了多個(gè)大小不同、形態(tài)各異、電性不等的地質(zhì)體共存于均勻電流場(chǎng)中時(shí)，求解電位分布的問題。導(dǎo)出了多個(gè)地電體共存時(shí)電位分布的計(jì)算方法和公式。對(duì)求解復(fù)雜的地電分布正演問題進(jìn)行了有益的探索。

實(shí)際運(yùn)用本文的原理和方法時(shí)，可以根據(jù)具體問題，事先編寫計(jì)算程序，將繁瑣的計(jì)算工作交給電子計(jì)算機(jī)去做。

如果需要考慮大地-空氣分界面的影響，則一級(jí)近似地可將物體的異常電位加倍。

本文的思路和方法，不但可用于直流電法，也可拓展到激發(fā)極化法或電磁法。

本文的思路和方法，既可以用于野外勘查的設(shè)計(jì)階段，對(duì)承擔(dān)的電法任務(wù)做正演考察，確認(rèn)電法勘探的有效性。也可以用于成果解釋階段，根據(jù)掌握的地電分布，編寫程序在電腦上計(jì)算出視電阻率(視極化率)剖面圖、平面圖。然后與實(shí)測(cè)的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，修正與實(shí)際不符的認(rèn)識(shí)，使得成果解釋更符合實(shí)際。

本文的思路和方法，還可以借鑒到非均勻場(chǎng)的情況。例如點(diǎn)電源場(chǎng)中有兩個(gè)球體，只要二者的相互影響與點(diǎn)電源的一次場(chǎng)相比可以忽略，不難寫出二者共存時(shí)的電位分布。

本文也為野外勘查人員將曲線坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)來分析和思考問題提供了有用的工具。

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Using the Principle of Coordinate Transform to Solve Potential Problems Distribution of Multi Geo-Electric Bodies

LI kai-peng1，BAO li-zhi2

(1.General Geophysical and Geochemical Team，Guizhou Province Nonferrous Metal and NuclearIndustryGeoexplorationBureau，Duyun558000，Guizhou，China；2.HunanChemicalMiningGeo-prospectingInstitute，Changsha410004，Hunan，China)

[Abstract]Use of coordinate translation，rotation，and conversion between different coordinate systems，the electric potential distribution problem of multiple geo-electric bodies which have different sizes，different shapes and different electric resistivity coexisting in an uniform current field are studied in this paper. Technology thought and method to solve this kind of complex electric resistivity distribution are put forward. Theory formulas and calculation methods are presented in the condition that the influences between different geo-electric bodies could be ignored. The actual conditions that the influences between different geo-electric bodies can be ignored are discussed. To solve the forward problem of complex ground electric resistivity distribution is helpfully explored.

[Key words]Multiple geo-electric bodies；Electric potential distribution；Coordinate transform

[收稿日期]2016-01-05

[作者簡(jiǎn)介]李開鵬(1982—)，男，物探工程師，從事地球物理理論研究與勘探工作。 [通訊作者]鮑力知(1941—)，男，湖南長(zhǎng)沙人，高級(jí)工程師，教授，長(zhǎng)期從事勘查地球物理理論研究與勘查實(shí)踐。