一道解析幾何試題的探究與推廣

安徽省銅陵市第一中學(xué)　　李　晟　　古　楊　　(郵編：244000)

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一道解析幾何試題的探究與推廣

安徽省銅陵市第一中學(xué)李晟古楊(郵編：244000)

1原題再現(xiàn)

在最近一次高三數(shù)學(xué)模擬考試中，有如下一道解析幾何試題：

(1)證明：直線MP垂直于x軸；

(2)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.

①

②

即x0=xM,所以MP⊥x軸.

即y=x2-x+2為點(diǎn)M的軌跡方程.

2推廣引申

直觀感知上述問(wèn)題的結(jié)論對(duì)一般拋物線也是成立的，經(jīng)過(guò)探究，我們得到：

對(duì)于一般拋物線成立的性質(zhì)，對(duì)于橢圓是否成立呢？通過(guò)研究，我們得到

因?yàn)閥0=kx0+m,

通過(guò)推廣1和推廣2的探究，我們可以斷定該性質(zhì)在雙曲線中也成立，于是有

因?yàn)閥0=kx0+m,

在推廣1中，我們改變拋物線與直線方程的形式，于是得到：

推廣4可采用原題所用的證明方法予以證明，此處從略.

3猜想

通過(guò)對(duì)有心圓錐曲線上述性質(zhì)的研究，我們得到如下猜想：

因筆者水平所限，沒(méi)能對(duì)提出的猜想予以證明，請(qǐng)有興趣的讀者進(jìn)行繼續(xù)研究.

其實(shí)，該問(wèn)題還有另外一個(gè)研究視角：在推廣1至3中，把直線變成與圓錐曲線相離的圓，結(jié)論又將如何？直線MP是否垂直于x軸？點(diǎn)M的軌跡是什么？也請(qǐng)有興趣的讀者能夠進(jìn)行繼續(xù)研究.

(收稿日期：2016-03-12)