基于移動最小二乘法的天線增益模型構建* 1

鐘錫健,張更新,謝智東

(解放軍理工大學 通信工程學院，江蘇 南京 210007)

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基于移動最小二乘法的天線增益模型構建* 1

鐘錫健,張更新,謝智東

(解放軍理工大學 通信工程學院，江蘇 南京 210007)

摘要：提出了一種基于移動最小二乘法擬合的天線增益指向模型構建方法。在天線方向圖為理想函數(shù)條件下，將天線增益與指向建立聯(lián)系，構建天線增益指向模型；將該模型形成模擬的數(shù)據(jù)庫，應用移動最小二乘法進行擬合，得到反映任意指向與天線增益關系的天線方向圖擬合函數(shù)。在不同權函數(shù)的條件下對天線方向圖的主瓣部分進行擬合仿真，進行了誤差分析及權函數(shù)的作用分析，證明了該方法比傳統(tǒng)的最小二乘法擬合精度更高，也證明了該模型構建方法的有效性。

關鍵詞：方向圖模型；移動最小二乘法；函數(shù)擬合；誤差分析

0引言

對于星載多波束天線，點波束的天線方向圖在天線設計時已設定，可以用一個函數(shù)表達式表示，如相控陣天線組成的多波束天線中，可根據(jù)相控陣天線陣面的形狀、陣元的個數(shù)和排列方式、陣元間距以及陣元幅度加權方式等相關參數(shù)來模擬反映相控陣天線方向圖特性的函數(shù)[1]。但在實際應用中，天線方向圖函數(shù)表達式并不能完全反映天線增益與方向關系，會存在一定的誤差。所以在衛(wèi)星投入使用后，通常情況下會對天線增益與波束指向關系進行測量標校[2-3]，并以數(shù)據(jù)庫形式存儲。然而數(shù)據(jù)庫只能反映某些特定指向與增益關系，并不能反映任意指向與天線增益的關系，在一些應用中會帶來不便。本文針對天線方向圖為理想函數(shù)和數(shù)據(jù)庫兩種情況，構建天線增益指向模型，實現(xiàn)任意指向與天線增益相關聯(lián)。

1理想天線方向圖函數(shù)及其指向模型

針對單個圓形點波束，文獻[4-5]提出一種通過輻射源發(fā)射信號入射方向與波束中心之間的夾角近似計算波束增益的方法。假設點波束中心增益為G0，那么輻射源與波束之間的波束增益G近似計算為：

(1)

圖1　θ與α和β的映射關系圖

為構建任意指向的夾角關聯(lián)，這里定義兩個角：如圖1所示，α為任意指向位置在平行于衛(wèi)星運行方向上與星下點的夾角；β為任意指向位置在垂直于衛(wèi)星運行方向上與星下點的夾角。其中，O為星下點，X正軸方向為衛(wèi)星運行方向。

為了得到任意指向與增益相關聯(lián)，將θ轉換為關于α角和β角的函數(shù)(亦可與俯仰角和方位角建立聯(lián)系)，轉換公式為：

(tanα0-tanα)2-(tanβ0-tanβ)2]

(2)

假設衛(wèi)星天線口徑D為12.5m，信號的載波頻率為2GHz，波束中心指向(α0,β0)為(5.0000°,0.0000°)，則其方向圖如圖2所示。

圖2　指向與波束增益的關系

在實際應用中，天線方向圖函數(shù)表達式并不能完全反映天線增益與指向關系，會存在一定的誤差。為了得到準確的增益，通常會對某些特定指向下的天線增益進行精確測量，并以數(shù)據(jù)庫形式存儲。由于數(shù)據(jù)庫不可能無限龐大，不可能反映任意指向的增益信息，若根據(jù)數(shù)據(jù)庫信息將天線增益函數(shù)擬合出來，即可得到任意指向的近似增益。

為了便于擬合和檢驗誤差，在下文中，以圖2模型中主瓣部分某一粒度的數(shù)據(jù)作為數(shù)據(jù)庫，使用移動最小二乘法[6-7]進行擬合。

2移動最小二乘法

移動最小二乘法(MLS，MovingLeastSquares)由P.Lancaster和K.Salkauskas在80年代初系統(tǒng)地提出[8]，MLS方法在最小二乘法的基礎上作了較大的改進，使擬合出來的函數(shù)曲面更加光滑，精度更高。MLS的方法有以下幾個主要特點：1)不需要對擬合域進行劃分，只需散點模型。2)在MLS中，引入了具有緊支撐性質的權函數(shù)，其作用是使當前節(jié)點的擬合函數(shù)值只受該節(jié)點周圍一定范圍內節(jié)點的影響，而不受其他節(jié)點的影響，這使得MLS具有擬合復雜曲面的能力。3)通過改變MLS中的權函數(shù)和基函數(shù)可以控制擬合函數(shù)的光滑度和精度。

2.1移動最小二乘法原理

(1)

這里m是基函數(shù)的項數(shù)，bj(x)是基函數(shù)，aj(x)是其系數(shù)。

由(1)式，利用加權最小二乘法構成二次形式：

(2)

上式可用矩陣形式表示為：

J=(Ba-f)TW(x)(Ba-f)

(3)

其中，

fT=(f1，f2，…，fi)

其中，n是x附近影響節(jié)點數(shù)；w(x-xi)是節(jié)點xi具有緊支撐性質的光滑連續(xù)權函數(shù)，在xi緊支撐域內部和邊界的wi=w(x-xi)>0,在其外部wi=0；fi是xi節(jié)點值。

式(2)對系數(shù)a(x)進行求導，得：

(4)

即

a(x)=A-1D(x)f

(5)

其中，A(x)=BTW(x)B，D(x)=BTW(x)。

由式(5)代入式(1)，可得擬合函數(shù)

(6)

2.2權函數(shù)

權函數(shù)在函數(shù)的擬合中起著十分重要的作用[9]，權函數(shù)的選擇直接關系到函數(shù)擬合的精度。假設某待擬合區(qū)域內的權函數(shù)為w(x-xi)，x是該區(qū)域中任意網格點對應的坐標，xi是節(jié)點i對應的節(jié)點坐標，則權函數(shù)的選擇應遵循以下原則：

(1)光滑性，即權函數(shù)w(x-xi)為光滑連續(xù)的函數(shù)；

(2)緊支撐性，每個節(jié)點的權函數(shù)在緊支撐區(qū)域內大于零，即w(x-xi)>0；在該節(jié)點緊支撐域外部時為零，即w(x-xi)=0；

(3)單調遞減性，即w(x-xi)隨x到xi距離的增加而減小。

緊支撐權函數(shù)的選擇有很多，如高斯權函數(shù)，指數(shù)權函數(shù)，樣條權函數(shù)等。其中，高斯權函數(shù)的形式如下：

(7)

3仿真分析

使用移動最小二乘法對天線方向圖函數(shù)主瓣部分進行擬合，選用基函數(shù)為二次基，即bT=(1,x,y,x2,xy,y2)，擬合的數(shù)據(jù)庫粒度為0.1°，分析不同的權函數(shù)其對擬合誤差影響。圖3為待擬合的理想方向圖函數(shù)。

圖3　待擬合函數(shù)曲面

為了檢驗擬合誤差，對誤差度量定義為：

(8)

(9)

選用不同權函數(shù)的擬合天線方向圖函數(shù)曲面及相對于原函數(shù)的絕對誤差如圖4所示。

圖4(a)中使用的權函數(shù)在整個區(qū)域內都是常數(shù)，這里取w=1，這時移動最小二乘法退化成傳統(tǒng)的最小二乘法。

圖4(b)中權函數(shù)在一個小的子域內等于常數(shù)，取w=1，在其它地方等于零。雖然這個權函數(shù)也具有緊支性，但光滑性效果不好，在函數(shù)值變化較大的區(qū)域會出現(xiàn)較大誤差。

圖4(c)中權函數(shù)是高斯權函數(shù)，不但具有緊支特性，而且具有光滑性。

(a)權函數(shù)為全局常數(shù)

(b)權函數(shù)為緊支撐的常數(shù)

(c)權函數(shù)為緊支撐高斯函數(shù)

擬合誤差統(tǒng)計如表1所示。

表1　使用不同權函數(shù)的擬合誤差

由以上仿真結果可以得到以下結論：

1)權函數(shù)為全局常量時，移動最小二乘法退化成傳統(tǒng)的最小二乘法，相比于選用高斯權函數(shù)，擬合局部的能力差，擬合曲面光滑性差，擬合誤差較大。

2)權函數(shù)為具有緊支特性的常量時，擬合效果好于最小二乘法，但由于權函數(shù)為常數(shù)，擬合曲面的光滑性較差。

3)權函數(shù)為緊支特性的高斯權函數(shù)時，由于其局部擬合能力和光滑性強，擬合曲面精度十分可觀，這也說明了本文基于移動最小二乘法擬合的天線增益模型構建方法的有效性。當擬合粒度更小時，擬合精度會更高。

4結語

本文將天線增益與指向建立聯(lián)系，構建天線方向圖為理想函數(shù)時的增益指向模型，并針對數(shù)據(jù)庫形式的方向圖只能反映某些特定指向與增益關系這一不足，提出一種基于移動最小二乘法擬合的天線增益模型構建方法。根據(jù)理想方向圖函數(shù)形成的數(shù)據(jù)庫，應用移動最小二乘法對其進行擬合。分析了權函數(shù)對擬合誤差的影響，結果表明移動最小二乘法擬合效果優(yōu)于傳統(tǒng)最小二乘法，證明了移動最小二乘法的優(yōu)越性及基于移動最小二乘法擬合的天線增益模型構建方法的實用性。

參考文獻：

[1]史冰蕓.陣列天線方向圖綜合方法及其在有源相控陣中的應用[D].南京：南京航空航天大學. 2006.

SHIBing-yun.ResearchonMethodsofAdaptivePatternSynthesisandItsApplicationinActiveElectronicScanArray[D].NanjingUniversityofAeronauticsandAstronautics.2006.

[2]李相周.利用實測天線方向圖確定天線增益的研究[D]. 濟南：山東師范大學，2001.

LIXiang-zhou.ResearchonDeterminingAntennaGainthroughMeasuringAntennaPattern[D].Jinan:ShandongNormalUniversity，2001.

[3]鄭曉冬,周益,易卿武.利用同步衛(wèi)星測量天線遠場增益技術分析[J].無線電工程.2012,42 (10):36-38.

ZHENGXiao-dong,ZHOUYi,YIQing-wu.MeasurementofFar-FieldGainofAntennabyUsingGeostationaryNavigationSatellite[J].RadioEngineering.2012,42(10): 36-38.

[4]CainiC,CorazzaGE,FalciaseccaG,etal.ASpectrum-andPower-EfficientEHFMobileSatelliteSystemtobeIntegratedwithTerrestrialCellularSystems[J].IEEEJournalonSelectedAreasinCommunications, 1992, 8(10): 1315-1325.

[5]余強,謝智東,張更新.一種基于星載多波束天線的單星干擾源定位方法[J].通信技術.2015,48(1):37-40.

YUQiang,XIEZhi-dong,ZHANGGeng-xin.SingleSatelliteInterferenceLocationbasedonSatellite-BorneMulti-BeamAntenna[J].CommunicationsTechnology. 2015, 48(1):37-40.

[6]劉俊.移動最小二乘法散點曲線曲面擬合與插值的研究[D]. 杭州：浙江大學，2011.

LIUJun.FittingandInterpolationforCurveandSurfacefromScatteredDatausingMovingLeastSquaresMethod[D].ZhejiangUniversity，2011.

[7]WANGJ,JeonG,JeongJ.MovingLeast-SquaresMethodforInterlacedtoProgressiveScanningFormatConversion[J].IEEETransactionsonCircuitsandSystemsforVideoTechnology. 2013,23(11):1865-1872.

[8]LancasterP,SalkauskasK.SurfacesGeneratedbyMovingLeastSquaresMethods[J].MathematicsofComputation. 1981,37(155):1589-1592.

[9]IkunoS,TakayamaT,KamitaniA.WeightFunctionControlofMovingLeast-SquaresInterpolants:ApplicationtoAxisymmetricShieldingCurrentAnalysisinHTS.MagneticsIEEETransactionson[J]. 2010,46 (8):3097-3100.

ConstructionofAntennaGainModelbasedonMovableLeastSquare

ZHONGXi-jian,ZHANGGeng-xin,XIEZhi-dong

(CollegeofTelecommunicationEngineering,UniversityofScienceandTechnology,NanjingJiangsu210007,China)

Abstract：The construction of antenna gain pointing model based on movable least square method is proposed. An antenna gain pointing model is constructed by establishing the relation between antenna gain and direction when the antenna pattern is an ideal function. With the model as database and movable least square method for fitting, the antenna pattern fitting function in reflecting the relation between arbitrary direction and antenna gain could be acquired.Fitting simulations under different weight functions are done. The error analysis and role analysis of the weighted function indicate that this method could acquire higher-fitting precision as compared with the traditional least square method, and the effectiveness of this model construction.

Key words：antenna pattern model; MLS (movable least square); function fitting; error analysis

doi:10.3969/j.issn.1002-0802.2016.05.008

* 收稿日期：2015-12-18；修回日期：2016-03-26Received date:2015-12-18；Revised date：2016-03-26

基金項目：國家自然科學青年基金(No.61401507)

Foundation Item:National Natural Science Foundation of China for Youth(No.61401507)

中圖分類號：TN967

文獻標志碼：A

文章編號：1002-0802(2016)05-0549-05

作者簡介：

鐘錫健(1991—)，男，碩士研究生，主要研究方向：衛(wèi)星干擾源定位;

張更新(1967—)，男，教授，主要研究方向：衛(wèi)星通信、衛(wèi)星導航與衛(wèi)星測控;

謝智東(1984—)，男，講師，主要研究方向：衛(wèi)星通信抗干擾。