常微分方程新的可解類(lèi)型及在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

胡啟蒙

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常微分方程新的可解類(lèi)型及在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

胡啟蒙

摘要：常微分方程有很多種，而且在初等數(shù)學(xué)中我們就已經(jīng)學(xué)過(guò)。像對(duì)數(shù)方程、指數(shù)方程、三角方程、二次方程等都屬于常微分方程的行列。比如我們初高中時(shí)就學(xué)過(guò)的二元一次方程組，是最簡(jiǎn)單的常微分方程了。在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中，我們將常微分方程和經(jīng)濟(jì)緊密的聯(lián)系在一起，常微分方程的運(yùn)用的幫助下經(jīng)濟(jì)理論的研究取得了很多的進(jìn)展。尤其是最近幾十年，大多經(jīng)濟(jì)學(xué)家都把經(jīng)濟(jì)學(xué)與數(shù)學(xué)結(jié)十分緊密的結(jié)合起來(lái)。利用數(shù)學(xué)作為輔助的手段，讓經(jīng)濟(jì)科學(xué)和管理科學(xué)的研究變得簡(jiǎn)潔、清晰和精確。

關(guān)鍵詞：常微分方程；可解類(lèi)型；成本和利潤(rùn)核算

常微分方程是代數(shù)中最簡(jiǎn)單但是亦是最重要的一類(lèi)方程組，常微分方程是我們?cè)诮鉀Q日常經(jīng)濟(jì)生活問(wèn)題中非常重要的工具，常微分方程的作用也非常之多，比如在航天領(lǐng)域、自動(dòng)化領(lǐng)域、電子通信領(lǐng)域、化學(xué)反應(yīng)研究領(lǐng)域等，科學(xué)前沿的方方面面都需要用到常微分方程來(lái)解決研究中的問(wèn)題。許多難解的問(wèn)題，解法中的式子最后都能化成常微分方程，所以常微分方程對(duì)于計(jì)算數(shù)學(xué)是極其重要的。遇到問(wèn)題時(shí)，我們需要在已知條件中找出已知數(shù)和未知數(shù)的關(guān)系，并利用已知的關(guān)系列出方程，然后進(jìn)行求解，逐步推出我們需要的未知數(shù)的值。

常微分方程式在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的最重要的應(yīng)用是其在公司成本與利潤(rùn)核算中的應(yīng)用，成本與利潤(rùn)的常微分方程雖然簡(jiǎn)單易懂，但是其突破了傳統(tǒng)的計(jì)算能力，運(yùn)用計(jì)算機(jī)的運(yùn)算能力，在短時(shí)間內(nèi)可以完成人力幾天甚至幾個(gè)月的工作量，是現(xiàn)代科技力量對(duì)商業(yè)最大的貢獻(xiàn)之一?？梢哉f(shuō)這一方程式在計(jì)算機(jī)中的運(yùn)用是商業(yè)核算精準(zhǔn)化和便捷化的最大保證，帶來(lái)了現(xiàn)代商業(yè)會(huì)計(jì)核算、審計(jì)核算的革命。

數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用到商業(yè)是古已有之，但是微分方程在商業(yè)計(jì)算中的應(yīng)用，只能計(jì)算到資本市場(chǎng)的完全興起，我們了解的最著名的例子莫過(guò)于電《大空頭》里幾位銀行家合作做空資本市場(chǎng)的舉動(dòng)，雖然電影演繹的精彩絕倫，妙趣橫生，但是現(xiàn)實(shí)中的事實(shí)遠(yuǎn)比電影來(lái)的精彩。2007年-2008年之前，john Paulson作為一個(gè)籍籍無(wú)名的對(duì)沖基金經(jīng)理人，與華爾街精英圈無(wú)緣。在他四十歲的時(shí)候成立自己的基金公司，經(jīng)過(guò)十年的默默打拼，2003資產(chǎn)規(guī)模才達(dá)到15億美元，這在精英云集的華爾街連二流都算不上，當(dāng)然這是他還沒(méi)遇上他的同學(xué)Paolo Pellegrini之前，2004年10月，兩人才正式合伙，雖然Paulson當(dāng)時(shí)只給了Pellegrini一個(gè)初級(jí)分析師的職位，但是對(duì)于畢業(yè)于哈佛大學(xué)的Pellegrini來(lái)說(shuō)這已經(jīng)足夠了。當(dāng)?shù)谝淮蜳ellegrini向Paulson建議用CDS工具做空美國(guó)房地產(chǎn)時(shí)，相信Paulson也是驚詫不已的，但是Pellegrini在大量基礎(chǔ)研究的基礎(chǔ)上，通過(guò)大量的模擬計(jì)算，說(shuō)服了自己的老同學(xué)同時(shí)也是自己雇主的Paulson，Pellegrini向Paulson展示的美國(guó)房地產(chǎn)走勢(shì)圖，像一張藏寶圖一樣展示在他的面前，讓他看到了做空美國(guó)房地產(chǎn)的美好前景和巨額利潤(rùn)收入。

沒(méi)有微分方程的大規(guī)模運(yùn)算和Pellegrini精準(zhǔn)的分析頭腦，把一張市場(chǎng)走勢(shì)圖擺在任何人的面前，他們都無(wú)法看到里面蘊(yùn)藏的巨大財(cái)富。Pellegrini作出那張美國(guó)房地產(chǎn)走勢(shì)圖被譽(yù)為價(jià)值“200億美金”，可想而知。

后來(lái)，在現(xiàn)實(shí)生活的應(yīng)用中，人們又發(fā)現(xiàn)，往往解決問(wèn)題并不需要求出通解或者特解，而是需要知道方程組在什么情況下會(huì)出現(xiàn)什么類(lèi)型的解，就能滿(mǎn)足一些生產(chǎn)生活的需要了。比如，給定一個(gè)方程，我們需要知道該方程在什么情況下存在解，什么情況下不存在解；或者，在給定方程的前提下，能夠知道在什么條件下能求出幾組通解，而哪些通解是對(duì)于我們求出所需特解有價(jià)值、有作用的。往往我們現(xiàn)在關(guān)注的多是這樣的問(wèn)題，而不僅僅限于尋找微分方程的解上。常微分方程的作用非常之多，比如在航天領(lǐng)域、自動(dòng)化領(lǐng)域、電子通信領(lǐng)域、化學(xué)反應(yīng)研究領(lǐng)域等，科學(xué)前沿的方方面面都需要用到常微分方程來(lái)解決研究中的問(wèn)題。研究常微分方程的新的可解類(lèi)型，是幫助我們?cè)诟鱾€(gè)學(xué)科中，處理難題，突破難關(guān)的重要途徑。所以我們需要對(duì)常微分方程的新的可解類(lèi)型進(jìn)行更深的研究，通過(guò)對(duì)方程組的解析來(lái)促進(jìn)各個(gè)學(xué)科的蓬勃發(fā)展。

在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域中，分租制和定額制在現(xiàn)代商業(yè)公司管理中作為兩種最基本的管理模式的根本，受到各種研究者的青睞，要想分清這兩種模式那個(gè)更加實(shí)用高效，必須用到常微分方程的計(jì)算方式，這也是數(shù)學(xué)對(duì)現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)的巨大貢獻(xiàn)之一，計(jì)算出了分租制和定額制的優(yōu)劣之后，現(xiàn)代公司才可以在此基礎(chǔ)上選擇適合本身的管理模式，才會(huì)衍生出現(xiàn)代意義上的國(guó)有公司，股份制公司，代理人公司和有限責(zé)任公司等各種形式，讓我們明白了商業(yè)市場(chǎng)的運(yùn)行子單位是怎樣的構(gòu)成部分。

許多微分方程要求求出方程的近似解，并且保證一定范圍內(nèi)的精確度就可以，人類(lèi)的科技在不斷發(fā)展，所需要的精確度也會(huì)越來(lái)越高，而隨著數(shù)學(xué)學(xué)科的進(jìn)步，能夠求出的精確度也會(huì)越來(lái)越高，才能適應(yīng)其他學(xué)科對(duì)于數(shù)學(xué)手段的需求。尋找常微分方程的新的可解類(lèi)型是研究微分方程的科學(xué)家們、數(shù)學(xué)家們一直努力的目標(biāo)。目前，已知的可解類(lèi)型并不多，在變化眾多的方程組中，目前已知的可解類(lèi)型相比之下，還是屈指可數(shù)的，還需要通過(guò)大量的研究才能判斷和解決其他的可解類(lèi)型的常微分方程。

結(jié)束語(yǔ)：微分方程就是指未知數(shù)以導(dǎo)數(shù)的形式與已知數(shù)產(chǎn)生關(guān)系，也就是說(shuō)，在微分方程中未知數(shù)是以導(dǎo)數(shù)形式存在的。這樣的方程的求解過(guò)程可能非常復(fù)雜，對(duì)于求解的方法要求比較特殊。我們就可以利用微積分的知識(shí)求出一些微分方程的近似解。常微分方程的作用非常之多，是我們?cè)诮鉀Q日常經(jīng)濟(jì)生活問(wèn)題中常用的一種手段。常微分方程的運(yùn)用在的幫助下經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中取得了很大的進(jìn)步，是企業(yè)的很多工作變得簡(jiǎn)單、清晰，在常微分方程的幫助下人們對(duì)經(jīng)濟(jì)規(guī)律認(rèn)識(shí)精確度有了很大提高。尤其是近年，常微分方程在生活，經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的運(yùn)用也越來(lái)越多。常微分方程作為輔助手段，讓管理科學(xué)和經(jīng)濟(jì)科學(xué)的研究做到了簡(jiǎn)潔和精確。著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生就是將經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)理論與生產(chǎn)實(shí)踐活動(dòng)很好結(jié)合的典范。數(shù)學(xué)方法，特別是常微分方程進(jìn)入入經(jīng)濟(jì)科學(xué)的領(lǐng)域，成為了研究和分析社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象與社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的有力工具。(作者單位：沈陽(yáng)師范大學(xué))

參考文獻(xiàn)：

[1]一類(lèi)新非線(xiàn)性常微分方程的可積判據(jù)-湯光宋，潘小群-《Academic Forum of Nan Du:naturalences Edition》-2001；

[2]關(guān)于幾類(lèi)可積型二階線(xiàn)性常微分方程的若干注記-李云-《黃石師院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版》-1983；

[3]變系數(shù)線(xiàn)性系統(tǒng)的一種求解方法及若干可積類(lèi)型-黃文綱-《數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)》-1983；

作者簡(jiǎn)介：胡啟蒙(1993.06-)，女，遼寧沈陽(yáng)人，沈陽(yáng)師范大學(xué)，數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。