姊妹花開形相似　貌合神離質(zhì)異同

張愛華　束榮盛

(江蘇省揚州大學(xué)附屬中學(xué)，225002)

姊妹花開形相似貌合神離質(zhì)異同

張愛華束榮盛

(江蘇省揚州大學(xué)附屬中學(xué)，225002)

在平時的教學(xué)過程中,常常會遇到許多貌合神離的題型和問題,條件很相似,卻又存在著本質(zhì)的差異.若對題目審視不到位,就極易混淆,從而得出錯誤的結(jié)論,具有這樣特點的題目我們可稱其為“姊妹題”.下面以幾對 “姊妹題”為例,分析其解題思路、探究其本質(zhì).

一、形似質(zhì)同,多題歸一

分析兩題都是三角函數(shù)求值,一般解題思路是:先進(jìn)行角的變換.

(1)中角的變換的思維鏈如下：

已知角

(2)中角的變換的思維鏈如下：

已知角

二、形似質(zhì)異,找出差異

例2(1)若函數(shù)f(x)=x2+kx-3是[1,+∞)上的單調(diào)遞增函數(shù),則實數(shù)k的取值范圍是______;

(2)設(shè)bn=n2+kn-3,若{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列,則實數(shù)k的取值范圍是______.

三、形異質(zhì)同,揭示本質(zhì)

例3(1)(2004年全國高考題)由動點P向圓x2+y2=1引兩條切線PA、PB,切點分別為A、B,∠APB=60°,則動點P的軌跡方程為______;

(2)(2007年湖北高考題)由直線y=x+1上的一點向圓(x-3)2+y2=1引切線,則切線長的最小值為()

分析這類問題形式不同,但背景相近,解題方法均可化為圖1中相關(guān)幾何元素.

如圖1,PA,PB是圓O的切線,A,B是切點,則有如下相關(guān)結(jié)論:

(1)OA⊥PA,OB⊥PB;

(2)P,A,O,B四點共圓;

(3)S四邊形PAOB=2S三角形PAO

=r2cos 2∠POA

=r2(2cos2∠POA-1)

=PA2cos∠APB

=PA2cos 2∠APO

=PA2(2cos2∠APO-1)

評注(1)以上問題均可轉(zhuǎn)化為求OP的值或最值來思考.

(2)將問題背景相近、解題方法或思考問題角度相同的題型放在一起進(jìn)行研究,有利于揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì),提升學(xué)生剖析問題的能力.在平時教學(xué)中應(yīng)始終圍繞一道或一些優(yōu)秀的高考試題引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行分析、思考、探究,可以激起學(xué)生的求知欲望與創(chuàng)新熱情,使課堂教學(xué)達(dá)到高效,充分發(fā)揮這些高考試題的教育功能.

四、教學(xué)感悟

常言道,人生有三重境界:看山是山,看水是水;看山不是山,看水不是水;看山還是山,看水還是水.經(jīng)歷否定之否定后再生的“山”和“水”,就是鮮活的“山”和“水”.類似地,同一個數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則的表現(xiàn)形式可以多種多樣.學(xué)習(xí)者常因缺乏相關(guān)的知識經(jīng)驗、認(rèn)知水平較低,不能看清它的本質(zhì)屬性,被其表面形式所迷惑,導(dǎo)致理解偏差.因此我們在研究概念、公式、定理、法則的時候,往往要經(jīng)歷這否定之否定的再生歷程,才能領(lǐng)悟其中蘊含的鮮活思想.

英國哲學(xué)家羅素曾經(jīng)指出:“凡是你教的東西,要教得透徹.”為求“透徹”,教師必須鉆研教材,理清知識發(fā)生的本源,把握教材中最主要、最本質(zhì)的東西,引領(lǐng)學(xué)生到達(dá)“看山還是山,看水還是水”的學(xué)習(xí)境界.在平時學(xué)習(xí)中,將這些 “姊妹題”進(jìn)行類比處理,在加深題目的理解、題目的挖掘、審題能力的培養(yǎng)等方面,都是大有好處的.

的直線l與拋物線y=x2交于A,B兩點.(1) 求|MA||MB|的值；(2) 求|AB|的值.