雙參數(shù)問(wèn)題的處理

張立建

(江蘇省建湖高級(jí)中學(xué)，224700)

雙參數(shù)問(wèn)題的處理

張立建

(江蘇省建湖高級(jí)中學(xué)，224700)

雙參數(shù)問(wèn)題是近幾年高考的熱點(diǎn)問(wèn)題之一,這類問(wèn)題背景多樣,聯(lián)系到的知識(shí)面非常廣,對(duì)學(xué)生的要求高,著重考察學(xué)生的知識(shí)遷移、聯(lián)想構(gòu)造、綜合分析解決問(wèn)題的能力．本文淺談雙參數(shù)問(wèn)題的處理方法．

一、主元變更

一般地,若問(wèn)題中有兩個(gè)參數(shù),我們把已知范圍的參數(shù)作為主元(自變量),要求的參數(shù)作為參數(shù),求其范圍．

例1(2015年江蘇高考題) 已知函數(shù)

f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R).

(1)試討論f(x)的單調(diào)性；

分析本題第(2)問(wèn)中將b=c-a代入即可消掉參數(shù)b．故實(shí)質(zhì)是兩個(gè)參數(shù)a,c的問(wèn)題．學(xué)生根據(jù)函數(shù)f(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn),易得參數(shù)a滿足的條件,是學(xué)生熟悉的問(wèn)題．但隨著參數(shù)c的引入,在處理c和條件a的聯(lián)系時(shí),學(xué)生思維定勢(shì),大多認(rèn)為a為參數(shù),不能轉(zhuǎn)變?yōu)閍為自變量,思維受阻,摸不著頭腦．其實(shí),因?yàn)閍的范圍已知,故選定a作主元,c作參數(shù),即可突破難點(diǎn),則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題,也是學(xué)生熟悉的題型,不難求解.

評(píng)注此題若分解為兩個(gè)獨(dú)立的題目,一是已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍,二是已知含參數(shù)的不等式恒成立,求參數(shù)的取值范圍我們的學(xué)生做起來(lái)可能游刃有余.但兩個(gè)問(wèn)題整合在一起,在銜接處的處理,等價(jià)轉(zhuǎn)化,思維的轉(zhuǎn)變上,往往就做得不好，這說(shuō)明學(xué)生的學(xué)習(xí)往往有“形”無(wú)“實(shí)”，平時(shí)過(guò)于重視題型、解題方法,在能力的培養(yǎng)上沒(méi)有達(dá)到相應(yīng)的高度.

二、整體換元

例2已知函數(shù)f(x)=lnx,函數(shù)y=f(x)的圖象上任意不同的兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的中點(diǎn)為C(x0,y0),記直線AB的斜率為k,試證明:k>f′(x0)．

設(shè)x2>x1.要證k>f′(x0),只要證

又因?yàn)閤2>x1,所以只要證

三、消元

例3已知函數(shù)f(x)=ex-1+x-2,g(x)=x2-ax-a+3,若存在實(shí)數(shù)x1,x2使得f(x1)=g(x2)=0,且|x1-x2|≤1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

分析難點(diǎn)在于條件f(x1)=g(x2)=0只能說(shuō)明x1,x2分別是函數(shù)f(x)、g(x)的零點(diǎn),且x1,x2沒(méi)有聯(lián)系,無(wú)從下手．注意觀察到函數(shù)f(x)的解析式已知,可以求出x1的值,這是解題的題眼．因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)在約束條件|x1-x2|≤1下有零點(diǎn)的問(wèn)題．

評(píng)注此題的關(guān)鍵是:兩個(gè)參數(shù)x1,x2互不相干,且已知一個(gè)參數(shù),實(shí)質(zhì)為含一個(gè)參數(shù)求范圍的問(wèn)題．

四、選元

例4(同例2)

證明不妨設(shè)x1>x2.

要證明k>f′(x0),即證明

其中x>x2>0,則

例5已知函數(shù)f(x)=xlnx,當(dāng)a>0,b>0時(shí),求證:f(a)+f(b)≥f(a+b)-(a+b)ln 2．

分析本題有兩個(gè)參數(shù)a,b,三個(gè)結(jié)構(gòu)a,b,a+b,故消元變成只含有兩個(gè)結(jié)構(gòu),再將一個(gè)視為主元,一個(gè)看作參數(shù)求解．

證明即證f(a)+f(a+b-a)≥f(a+b)-(a+b)ln 2.令a+b=k,k>0,則轉(zhuǎn)化為證明f(a)+f(k-a)≥f(k)-kln 2．

五、函數(shù)與方程思想

分析根據(jù)題意可以得到關(guān)于兩個(gè)參數(shù)a,b的方程組,解方程組解出參數(shù)的值．

解得a=2．

評(píng)注此題難點(diǎn)在兩個(gè)方程的求解．