FCC晶體中孔洞的聚合行為研究

安紅萍，孟詩茹

（太原科技大學材料科學與工程學院，太原030024）

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FCC晶體中孔洞的聚合行為研究

安紅萍，孟詩茹

（太原科技大學材料科學與工程學院，太原030024）

摘 要：通過編寫率相關用戶子程序UMAT，實現了有限元計算中晶體塑性本構關系描述。采用含兩個球形孔洞單晶模型，模擬分析了FCC晶體中不同晶體取向下孔洞的聚合行為。計算結果表明孔洞的聚合與晶體取向密切相關，在變形過程中，隨著晶體取向不同，孔洞形狀、長大方向和孔洞間韌帶寬度也不同，就Cube、Goss、Copper和Brass四種初始取向而言，Cube取向中的孔洞的聚合效應最強烈最易聚合。單晶體中兩孔洞間韌帶區(qū)變形充分且孔洞沿韌帶方向顯著生長會加快孔洞的聚合速度。

關鍵詞：晶體塑性有限元；孔洞；晶體取向；聚合

微孔聚集理論認為，金屬材料中孔洞在夾雜物或第二相粒子周圍形核、擴大與聚合會導致材料中宏觀裂紋的萌生和斷裂［1］，因此研究微孔洞的聚合長大行為對揭示金屬材料的損傷過程有重要意義。特別地，這些孔洞的尺寸一般都在微米級，要確定孔洞演變行為必須考慮孔洞周圍基體材料的各向異性。晶體塑性理論能夠充分考慮材料局部各向異性及晶體結構特征，因此不少學者利用晶體塑性有限元研究微孔洞的長大與聚合行為。Shu［2］發(fā)現單晶體中的小孔洞的長大趨勢小于大孔洞；Orisini等［3］人的研究結果表明晶體的轉動和塑性滑移集中在孔洞之間的區(qū)域；Potiniche和Hearndon［4］人采用2D晶體有限元研究了雙向載荷條件下不同晶粒取向的單晶體中對孔洞的聚合，計算結果表明孔洞生長率隨載荷增加而遞增，但不受晶粒取向影響；劉文輝［5］通過編制有限元用戶子程序，運用有限元模擬研究了孔洞在聚合行為，發(fā)現孔洞的聚合與取向因子密切相關。但上述研究大多是在2D模型下完成的，而塑性變形機理決定了晶體變形的非對稱性，因此要全面、準確地了解孔洞的長大行為必須采用3D模型。

本文采用Fortran語言編寫率相關用戶子程序，并通過ABAQUS軟件的UMAT接口，實現晶體塑性本構關系的描述。在此基礎上，建立含兩個球形孔洞的3D單胞，運用晶體有限元研究不同晶體取向下孔洞的聚合行為。

1 晶體塑性理論模型

晶體變形可分為彈性和塑性兩部分，Hill［6］，Hill和Rice［7］等將總的變形梯度F進行乘法分解：

式中，Fe為彈性變形梯度，Fp為塑性變形梯度。

僅考慮滑移引起的塑性變形，故：

式中，γα為第α個滑移系的滑移剪切率，mα與nα為相應的滑移方向矢量和滑移面法向矢量。m*α，n*α為變形后的滑移方向矢量和滑移面法向矢量。

根據Hill和Rice理論，單晶體本構方程可以表示為：

式中，C是各向異性的彈性模量的四階張量，D為變形率張量，τ^為初始構型柯西應力的Jaumann率。

其中剪切應變率表達式為：

式中晶體硬化程度用gα來描述，其演化由下式描述：

式中，hαβ為硬化模量，qαβ為潛硬化矩陣，h0為初始硬化模量，τ0為初始臨界分切應力，τs為飽和流動應力為α滑移系上的滑移剪切應變，q為系數。

將上述方程數值化后，在ABAQUS軟件中通過UMAT接口實現晶體塑性本構描述。

2 孔洞聚合的晶體塑性有限元模型

孔洞的初始體積百分比f = 1%，d0/ l = 0.212，d0為孔洞直徑，l為單胞邊長，孔洞間初始韌帶寬度設為0.5 d0.為較好地分析孔洞周圍變形，對其周圍網格進行細化，采用C3D8單元劃分網格，如圖1所示。

圖1 含兩孔洞的1/2單晶模型Fig.1 1/2 model for single crystal containing two holes

按照比例加載的方式，通過控制單晶模型在X、Y、Z軸方向的位移實現兩孔洞體積增大聚合，即：εx+εy+εz＞0，如圖2所示，X軸方向的位移為：x = 0.1l，Y、Z軸方向的位移為：y = z = ax = bx，a = b = - 0.235（負號表示與X軸方向位移相反），即沿X軸方向拉伸，Y、Z軸為壓縮變形。

圖2 孔洞聚合的單晶模型的邊界條件Fig.2 Boundary conditions for single crystal

計算用材料參數如表1所示［8］：

表1 FCC晶體模型中的材料參數Tab.1 Material parameters of FCC single crystal model

3 結果討論與分析

本文分別研究四種初始晶粒取向：Cube（｛001｝＜100＞，歐拉角（0°，0°，0°））、Goss（｛011＜100＞，歐拉角（0°，45°，0°））、Copper（｛112｝＜1-1-1＞，歐拉角（90°，30°，45°））、Brass（｛011｝＜21-1-＞，歐拉角（35°，45°，0°））.

3.1 晶粒取向對韌帶區(qū)應變分布的影響

圖3、4分別為四種初始取向的單晶體在X方向拉伸應變εx= 0.02和εx= 0.1時XZ截面的等效塑性變形圖，由圖可知四種初始取向的單晶體中的最大等效塑性應變均出現在孔洞之間的韌帶區(qū)域，這表明孔洞的存在使晶體內部出現變形局部化，其原因應當與該處約束較少滑移易于進行有關。顯然，由于晶體取向的不同各晶粒內部最大等效應變明顯不同，這也在一定程度上反映了韌帶區(qū)金屬變形的難易程度，是影響孔洞聚合進程的重要因素。

從圖3中可發(fā)現，當εx= 0.02時，Cube取向的單晶中孔洞之間整個韌帶區(qū)域均產生了明顯的應變集中，最大等效塑性應變值為1.724 11，而其他三種取向的單晶中的僅在韌帶兩側孔壁處出現高應變值。由圖4可得，當εx= 0.1時，各晶粒內等效應變分布狀態(tài)與圖3中并無顯著變化。其中，Cube取向的單晶中最大等效塑性應變值達到5.384 85，仍為四種取向中的最大值，韌帶區(qū)應變集中程度最為明顯。

圖3 εx=0.02時四種初始取向的等效塑性變形圖Fig.3 Equivalent plastic strain for four initial orientations of x-axis strain of 0.02

圖4 εx=0.1時四種初始取向的等效塑性變形圖Fig.4 Equivalent plastic strain for four initial orientations of x-axis strain of 0.1

為定量分析在不同晶粒取向下孔洞間韌帶區(qū)的應變分布情況，對韌帶區(qū)的等效應變值進行提取分析，圖5為不同晶粒取向的單晶中韌帶區(qū)中同一節(jié)點的等效應變值隨X方向應變的變化曲線，由圖可得，四種初始晶粒取向中的單晶中韌帶區(qū)的等效應變值均隨著X方向應變值的增大而增大。在沿X方向相同變形條件下，Cube取向的單晶中韌帶區(qū)該點處的等效應變值最大，且整個變形過程中始終保持最大值。在區(qū)間為0.02≤εx≤0.045的變形階段，曲線斜率明顯最大，即在此階段變形速率較快，變形也極易完成。

圖6為εx=0.1時Cube取向和Brass取向單晶中的雙孔洞間韌帶區(qū)域同一節(jié)點C處（如圖3所示）的滑移系分布情況，由單向拉伸的應力應變曲線［9］可知Cube取向的單晶取向較軟最易屈服，從圖6中可以看出取向較軟的Cube取向單晶中C點滑移系啟動數量（8個）明顯多于取向較硬的Brass取向的單晶（4個），且剪切應變值大小相當，分布也比較均勻，由此可知由于晶粒取向的不同，導致孔洞間韌帶區(qū)滑移系啟動數量與滑移程度均不同，Cube取向單晶中孔洞間的韌帶區(qū)更易發(fā)生塑性變形。

圖5 等效應變隨X軸應變的變化曲線Fig.5 Equivalent strain vs.εx

3.2 晶粒取向對孔洞生長方向的影響

對比圖3、圖4發(fā)現，隨著X方向拉伸程度的增加，各晶粒內部雙孔洞間韌帶寬度都沿著Z方向不斷減小。但是在相同變形條件下，隨著晶體取向的不同韌帶的瞬時寬度及孔洞的形狀均有所不同。其中，圖3中各孔洞形狀均較為規(guī)整，而圖4中各孔洞則出現一定程度的橢圓化且長軸接近X方向，Cube取向的單晶中孔洞的橢圓化程度較輕。圖7為在變形過程中孔洞X軸方向的最大尺寸Lx與初始直徑d0的比值隨應變的變化曲線。由圖可知，變形過程中四種取向的單晶中孔洞均沿X方向有所長大，其中Copper取向最明顯，其次為Brass取向，而Goss取向、Cube取向的單晶中孔洞沿X方向長幅略小。圖8為各孔洞在變形過程中沿X和Z軸兩方向的最大尺寸之比（Lx/ Lz）隨應變的變化情況，顯然此比值越接近于1，孔洞越可能保持圓形，反之孔洞橢圓化越嚴重。從圖中可以看出，在變形過程中，Cube取向的單晶中Lx/ Lz的值始終保持最小值，而Copper取向的單晶中Lx/ Lz的值則始終最大。這就意味著，較之其他三種取向的單晶，Cube取向單晶中的孔洞沿Z方向的長大程度與其沿X方向的長大程度最為近似，而Copper取向的單晶中孔洞沿X軸方向長大程度要比其沿Z方向的長大程度明顯。結合圖7和圖8可得晶粒取向對孔洞的長大方向有顯著影響，在XZ平面內Copper取向的單晶體內孔洞主要沿X方向生長，而Cube取向的單晶體內孔洞則沿X、Z雙向生長。此外，圖8中Cube取向的單晶所對應的曲線在εx= 0.045的位置處存在一個明顯的拐點，可以看出當應變εx≤0.045時，曲線變化較平緩，而εx≥0.045時曲線則急劇上升。這表明Cube取向的單晶中的孔洞在變形前期沿Z向生長較充分，而變形后期孔洞沿Z向生長程度明顯不足。

圖6 εx=0.1時滑移系啟動情況Fig.6 Startup situation of slip system at 0.1 strain x

圖7 孔洞X軸方向最大尺寸與初始直徑比值隨應變的變化曲線Fig.7 Width（Lx/ d0）vs.strain εx

圖8 孔洞的長短軸比值隨應變的變化情況Fig.8 Width（Lx/ Lz）vs.strain εx

3.3 晶粒取向對孔洞聚合速度的影響

借鑒Horstemeyer等人［10］的研究本文采用瞬時孔洞韌帶寬度與初始韌帶寬度比值來定量分析孔洞的聚合效應。圖9為孔洞之間的瞬時最小韌帶寬度與初始孔洞寬帶（0.5d0）的比值隨應變的變化曲線，觀察所有曲線，不難看出在整個變形過程中，Cube取向中的韌帶寬度比值下降速度始終最快，這意味著該取向的單晶內孔洞聚合速率最快。而整個變形過程中該曲線下降最快的一段又出現在區(qū)間為0.02≤εx≤0.045，由圖可得在應變εx=0.02時，Cube取向的單晶中孔洞間最小韌帶值與初始韌帶值比值為0.686 885，Goss、Copper和Brass取向的單晶中此比值分別為0.802 13、0.791 598、0.805 778.當應變時，上述四種取向的單晶體中孔洞間最小韌帶值與初始韌帶值的比值分別為0.335 82、0.605 68、0.545 23、0.544 75，計算得Cube取向在此階段的相對聚合率高達51%，是整個變形過程中的最大值。顯然，此階段Cube取向的單晶中內孔洞聚合效應最明顯。

圖9 孔洞之間寬帶的變化曲線Fig.9 Width of inter-void ligament

結合圖8、圖5可知，在區(qū)間為0.02≤εx≤0.045的變形階段，正是由于Cube取向的單晶中孔洞沿Z向的顯著生長引起了韌帶區(qū)快速變形，從而促進了孔洞的聚合。

綜上可知，拉伸變形狀態(tài)下，單晶體內雙孔洞聚合效應與晶體取向及孔洞長大方向密切相關。晶體取向不同，韌帶區(qū)變形程度也不相同，該處明顯的應變集中有利于雙孔洞聚合。而兩孔洞聚合速度的快慢則取決于兩孔洞沿Z軸方向的長大程度，沿Z軸方向長大程度越明顯，則孔洞聚合速度越快。

4 結論

（1）單晶體中孔洞的聚合與晶體取向密切相關，在變形過程中，隨著晶體取向的不同，孔洞形狀與孔洞韌帶寬度也不同，四種初始取向中，Cube取向的單晶中的孔洞聚合效應最為強烈，且最易聚合。

（2）單晶體中孔洞聚合速度的快慢取決于兩孔洞的主要長大方向與韌帶區(qū)變形的難易程度，當韌帶區(qū)變形充分且孔洞沿韌帶方向顯著生長，則孔洞聚合速度較快，反之，則較慢。

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Research on Void Coalescence Behavior in FCC Single Crystal

AN Hong-ping，MENG Shi-ru
（College of materials Science and Engineering，Taiyuan University of Science and Technology，Taiyuan 030024，China）

Abstract：A rate-dependent user subroutine UMAT was written in Fortran language，which could be used for describing the crystal plasticity constitutive relation in the finite element calculation.A single crystal model including two 3D spherical voids was established to study the aggregation behavior of voids with different crystal orientations in FCC crystal.The computed results of different crystallographic orientations were compared，which shows that significant shape，growth direction and ligament are different with different crystal orientations in the modification process.The coalescence effect of cube orientation voids is found to be the strongest and easiest to polymerization by comparing the four initial crystallographic orientations（cube orientation，goss orientation，copper orientation，brass orientation）.And the main growth direction of two voids in single crystal is consistent with the ligament direction，and the easier deformation ligament zone will accelerate the rate of coalescence of voids.

Key words：crystal plasticity finite element，void，crystal orientation，coalescence

中圖分類號：TG316

文獻標志碼：A

doi：10.3969/ j.issn.1673 -2057.2016.03.010

文章編號：1673 -2057（2016）0212 -06

收稿日期：2015-11-17

基金項目：山西省科技攻關（20130321010-04）；太原科技大學博士科研基金（20122057）

作者簡介：安紅萍（1973-），女，博士，副教授，主要研究方向為塑性成形理論及模擬技術。