帶阻尼項的壞的Bq方程的精確解

范 凱，靳琴琴

（太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原030024）

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帶阻尼項的壞的Bq方程的精確解

范 凱，靳琴琴

（太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原030024）

摘 要：研究求解非線性演化方程的tanh與擴(kuò)展tanh函數(shù)法。使用符號計算軟件maple和tanh函數(shù)法獲得帶阻尼項的壞的Bq方程的大量雙曲函數(shù)精確解，使用符號計算軟件maple和擴(kuò)張tanh函數(shù)法獲得帶阻尼項的壞的Bq方程的大量行波精確解。

關(guān)鍵詞：tanh函數(shù)法；擴(kuò)展tanh函數(shù)法；帶阻尼項的壞的Bq方程

物理和其他領(lǐng)域的許多非線性現(xiàn)象都可用非線性演化方程來描述，當(dāng)我們想要理解用非線性演化方程描述的自然現(xiàn)象的物理機(jī)制的時候，非線性演化方程的精確行波解就不得不被探索，而且它在非線性物理現(xiàn)象的研究中發(fā)揮著非常重要的作用，比如，流體力學(xué)，彈性介質(zhì)，光纖等中的波動現(xiàn)象。

多年以來，非線性演化方程精確解的求解已經(jīng)做了很多工作，出現(xiàn)了許多求解非線性演化方程的方法，例如，逆散射法［1］，Backlund變換［2］，sine-cos方法［3］，Hirota的雙線性法［4］，齊次平衡法［5］，F(xiàn)-expansion法［6］。S.T.Mohyud-Din在文獻(xiàn)［7］中使用Exp-function法得到了好的Bq方程的精確行波解。在2006年，A.M.Wazwaz用tanh函數(shù)法得到了Bq方程的行波精確解［8］；2011年，N.H.Abdel-All使用擴(kuò)展的tanh函數(shù)法求解了幾個典型的非線性偏微分方程［9］；在2013年，M Ali Akbar和F G ?mer使用擴(kuò)展的tanh函數(shù)法分別得到了幾個非線性偏微分方程的行波精確解［10-11］，Gh.Forozani使用tanh與擴(kuò)展tanh函數(shù)法求解了修改的好的和壞的Bq方程［12］，得到了它們的精確行波解，文獻(xiàn)［12］中修改的好的和壞的Bq方程分別如下：

壞的Bq方程如下：

方程（1）是法國科學(xué)家Josseph Boussinesq在1872年提出的描述小振幅長波在淺水波中傳播的模型方程［13］，考慮帶阻尼項的壞的Bq方程如下：

方程（2）不僅可以用來描述二維小振幅淺水波的傳播，也可以描述各向同性等離子體離子聲波的傳播［14］。文獻(xiàn)［14］中研究方程（2）解的存在性，本文將采用標(biāo)準(zhǔn)Tanh和擴(kuò)展Tanh法得到它的精確行波解。

1 Tanh函數(shù)與擴(kuò)展tanh函數(shù)法

不失一般性，考慮如下的非線性偏微分方程：

（1）做行波變換

把方程（3）變換為非線性常微分方程：

（2）如果式（5）的每一項都是ξ的導(dǎo)數(shù)，則可積分式（5），并令積分常數(shù)為零。

擴(kuò)展tanh函數(shù)展開法解的形式可擬設(shè)為：

其中，m大多數(shù)情況為正整數(shù)，若不是，可以通過一個變換來克服這個困難。

（4）通過平衡式（5）或式（5）積分后方程中的線性最高階導(dǎo)數(shù)項和最高階非線性項的冪次數(shù)得到m的值，收集式（5）或式（5）積分后方程關(guān)于y的系數(shù)并令這些系數(shù)都為0，使用標(biāo)準(zhǔn)tanh函數(shù)法則得到一個關(guān)于ai（i = 0，…，m）和k，c的代數(shù)方程組，使用擴(kuò)展tanh函數(shù)法則得到一個關(guān)于ai（i = 0，…，m），bi（i = 1，…，m）和k，c的代數(shù)方程組，求解這個代數(shù)方程組，得到封閉形式的精確解。

2 tanh函數(shù)法求解帶阻尼項的壞的Bq方程

帶阻尼項的壞的Bq方程：

其中，a，b為非零實數(shù)，把行波變換ξ= x - ct，代入方程（7），積分這個方程兩次，令積分常數(shù)為0得：

引入一個新的獨立變量y（ξ）= tanh（kξ），平衡方程（8）中的U″和U2的冪次有：

由此確定。于是可擬設(shè)方程（8）解的有限展開為：

把式（10）代入式（8），收集yj（0≤j≤4）的系數(shù)，并設(shè)置為0，得到代數(shù)方程組：

運(yùn)用maple求解方程組，得到下面4組8個解：

把這些系數(shù)代入式（10）整理得到與上面系數(shù)一一對應(yīng)的原方程的4組8個雙曲行波解依次為：

解u1，2（x，t）分別表示扭結(jié)和反扭結(jié)孤立子，當(dāng)c取負(fù)，k取正時為扭結(jié)孤立子；當(dāng)c取正，k取負(fù)時為反扭結(jié)孤立子，對a，b賦值，如圖1所示。

3 擴(kuò)展tanh函數(shù)法求解帶阻尼項的壞的Bq方程

帶阻尼項的壞的Bq方程：

圖1 a = b =1時，解u1，2（x，t）的三維圖Fig.1 3D plots of u1，2（x，t）with a = b =1

其中，a，b為非零實數(shù)。類似tanh函數(shù)法的求解過程，用擴(kuò)展tanh函數(shù)法求解方程（11），擬設(shè)解的有限展開為：

把式（12）代入式（8），收集yj（- 4≤j≤4）的系數(shù)，并令為0，得確定a0，a1，a2，b1，b2，k，c的代數(shù)方程組：

運(yùn)用maple求解方程組，得到下面4組8個解：

把這些系數(shù)代入（10）整理得到與上面系數(shù)一一對應(yīng)的原方程的4組8個雙曲行波解依次為：

4 結(jié)束語

通過對tanh與擴(kuò)展tanh函數(shù)法，壞的Bq方程的研究，本文專注于帶阻尼項的壞的Bq方程的行波解，使用tanh與擴(kuò)展tanh函數(shù)法得到了方程大量的行波精確解。通過圖1我們可以了解解的圖像，在整個工作中，maple處理了大量繁瑣的代數(shù)運(yùn)算。這兩種方法簡潔明了，它們同樣可以應(yīng)用于其他類似的非線性發(fā)展方程。

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Exact Solutions for Bad Boussinesq Equation with Damping Term

FAN Kai，JIN Qin-qin
（College of Applied Science，Taiyuan University of Science and Technology，Taiyuan 030024，China）

Abstract：The standard tanh method and the extended tanh method were studied to solve nonlinear evolution equation.The standard tanh method and symbolic computation system Maple were applied to obtain abundant exact hyperbolic function solutions of bad Boussinesq equation with damping term，and the extended tanh method and symbolic computation system Maple were used to obtain abundant exact traveling wave solutions of bad Boussinesq equation with damping term.

Key words：tanh method，the extended tanh method，bad Boussinesq equation with damping term

中圖分類號：O175.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

doi：10.3969/ j.issn.1673 -2057.2016.03.014

文章編號：1673 -2057（2016）03 -0234 -05

收稿日期：2015-07-29

作者簡介：范凱（1990 -），男，助教，主要研究方向為非線性偏微分方程；通訊作者：靳琴琴，助教，E-mail：jqqsxlf@163.com