探秘丟番圖

時(shí)杰

【摘要】本文從丟番圖的生平事跡、墓志銘、著作等方面對(duì)丟番圖進(jìn)行了介紹，重點(diǎn)介紹了《算術(shù)》和丟番圖方程，以期讀者對(duì)“代數(shù)學(xué)之父”有所了解，并激發(fā)讀者對(duì)代數(shù)學(xué)的興趣，進(jìn)而投身對(duì)代數(shù)學(xué)的研究.

【關(guān)鍵詞】丟番圖；代數(shù)學(xué)；《算術(shù)》；丟番圖方程

一、丟番圖的生平事跡

丟番圖是希臘數(shù)學(xué)家，關(guān)于丟番圖的生平，人們知道得很少，但是可以肯定，丟番圖在二次方程式有杰出的貢獻(xiàn)，并將希臘人已完成的代數(shù)成果加以匯集編目，被譽(yù)為代數(shù)學(xué)的鼻祖.希臘數(shù)學(xué)自畢達(dá)哥拉斯學(xué)派后，數(shù)學(xué)的重心就在幾何，他們認(rèn)為只有經(jīng)過(guò)幾何論證的命題才是可靠的.為了邏輯的嚴(yán)密性，代數(shù)也披上了幾何的外衣.一切代數(shù)問(wèn)題，甚至簡(jiǎn)單的一次方程的求解，也都納入了幾何的模式之中.直到丟番圖，才把代數(shù)解放出來(lái)，擺脫了幾何的羈絆.他認(rèn)為代數(shù)方法比幾何的演繹陳述更適合于解決問(wèn)題，而且在解題的過(guò)程中展示出的高度的巧思和獨(dú)創(chuàng)性，在希臘數(shù)學(xué)中獨(dú)樹(shù)一幟.他被后人認(rèn)為“代數(shù)學(xué)之父”實(shí)至名歸.

二、丟番圖墓志銘

在《希臘詩(shī)文選》中，收錄了一個(gè)特別有趣的丟番圖墓志銘：墳中安葬著丟番圖，多么令人驚訝，它忠實(shí)地記錄了所經(jīng)歷的道路.上帝給予的童年占六分之一，又過(guò)十二分之一，兩頰長(zhǎng)胡，再過(guò)七分之一，點(diǎn)燃起結(jié)婚的蠟燭.五年之后天賜貴子，可憐遲到的寧馨兒，享年僅及其父之半，便進(jìn)入冰冷的墓.悲傷只有用數(shù)論的研究去彌補(bǔ)，又過(guò)四年，他也走完了人生的旅途.

用這樣的方式記載了他享年的秘密，這相當(dāng)于一元一次方程：1[]6x+1[]12x+1[]7x+1[]2x+4=x，x=84.由此知他享年84歲.

從墓志銘中也看出，研究數(shù)學(xué)需要能吃苦，能忍受寂寞，也正是丟番圖將喪子之痛化為研究數(shù)論的力量，才有了如此巨大的貢獻(xiàn).

三、巨著《算術(shù)》

希臘時(shí)代“算術(shù)”一詞，主要指“數(shù)的理論”，即相當(dāng)于現(xiàn)在的“數(shù)論”.而數(shù)字的加減乘除等運(yùn)算則叫做“計(jì)算的技巧”，兩者有明顯的區(qū)別.這種分法從畢達(dá)哥拉斯時(shí)代開(kāi)始，一直延續(xù)到近代，如高斯的數(shù)論名著就叫做《算術(shù)研究》.

他的《算術(shù)》是一部巨著，它在歷史上影響之大，對(duì)后來(lái)數(shù)論學(xué)者有很深的影響，可媲美歐幾里得的《幾何原本》.《算術(shù)》研究數(shù)論，討論一次、二次以及個(gè)別的三次方程，還有一些不定方程，對(duì)于具有整系數(shù)的不定方程，如果只考慮其整數(shù)解，這類方程被稱為丟番圖方程，它是數(shù)論的一個(gè)分支，不過(guò)丟番圖并不求解整數(shù)解，而只要求是正有理數(shù)解.

從另一個(gè)角度看，《算術(shù)》一書(shū)也可以歸入代數(shù)學(xué)的范圍.代數(shù)學(xué)區(qū)別于其他學(xué)科的最大特點(diǎn)是引入了未知數(shù)，并對(duì)未知數(shù)加以運(yùn)算，根據(jù)問(wèn)題的條件列出方程，然后解方程求出未知數(shù).

《算術(shù)》也有未知數(shù)，這未知數(shù)一般就是問(wèn)題的答案，一切運(yùn)算只允許對(duì)已知數(shù)來(lái)施行.在代數(shù)中既然要對(duì)未知數(shù)加以運(yùn)算，就需要用某種符號(hào)來(lái)表示它.從引入未知數(shù)，創(chuàng)設(shè)未知數(shù)符號(hào)以及建立方程的思想這幾方面來(lái)看，丟番圖《算術(shù)》完全可以算得上是代數(shù).當(dāng)時(shí)代數(shù)學(xué)沒(méi)有專門的名稱，algebra是9世紀(jì)花拉子米以后才出現(xiàn)的名詞，而且直到17世紀(jì)還沒(méi)被歐洲人普遍接受.在《算術(shù)》中，丟番圖采用了一套數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表示未知量，他也是首位用符號(hào)來(lái)表示冪的數(shù)學(xué)家.丟番圖將這方面的成果冠以算術(shù)之名是很自然的.

丟番圖《算術(shù)》中最有名的一個(gè)問(wèn)題是第2卷問(wèn)題8，丟番圖的表述是：

將一個(gè)已知的平方數(shù)分為兩個(gè)平方數(shù).

用現(xiàn)代符號(hào)表述這個(gè)問(wèn)題就是：已知平方數(shù)Z2，求數(shù)x和y，使得x2+y2=Z2.在丟番圖的著作里，所有的數(shù)都是指正有理數(shù).

丟番圖以Z2=16為例來(lái)說(shuō)明他的解法.他先設(shè)第一個(gè)平方數(shù)為x2，則另一個(gè)是16-x2，所以問(wèn)題變成要求16-x2是平方數(shù)y2.設(shè)y=mx-4，m是某一整數(shù)，例如m=2，于是有16-x2=4x2-16x+16，解得x=16[]5，12[]5.當(dāng)然這個(gè)方程還有其他解，可惜的是丟番圖只寫(xiě)出一組解.

這個(gè)問(wèn)題有名是因?yàn)?7世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在閱讀拉丁文本《算術(shù)》時(shí)對(duì)該問(wèn)題所作的一個(gè)邊注，引出了后來(lái)舉世聞名的“費(fèi)馬大定理”，這也說(shuō)明丟番圖這部著作對(duì)后世的影響.

當(dāng)然《算術(shù)》以問(wèn)題集的形式收錄題目，卻沒(méi)有分類標(biāo)準(zhǔn)，基本上是一題一解法，使人眼花繚亂，于是有人說(shuō)：研究了丟番圖的一百道題以后，還不知道怎樣去解第一百零一道題.丟番圖沒(méi)有著力去探求一般性的解法，或去研究多種解法之間的內(nèi)在聯(lián)系，這是《算術(shù)》的最大缺點(diǎn).

四、丟番圖方程

如前問(wèn)所述，丟番圖方程是具有整系數(shù)的且只考慮整數(shù)解的不定方程.在丟番圖方程中，各種形式的不定方程是無(wú)窮無(wú)盡的，但解決問(wèn)題的方法，從古至今都是不同的問(wèn)題用不同的方法，其中顯示了人類高度的智慧.人們自然要問(wèn)，是否存在一個(gè)一般的解不定方程的方法？這個(gè)問(wèn)題的特殊情形是屬于D.Hilbert第十問(wèn)題的，這個(gè)問(wèn)題的一般回答是否定的.D.Hilbert第十問(wèn)題比較復(fù)雜，有興趣的讀者可以查閱文獻(xiàn).

解丟番圖方程由于沒(méi)有一個(gè)一般的方法，因而它向人類的智慧提出了挑戰(zhàn).有一些看上去簡(jiǎn)單的方程，但解決起來(lái)卻是相當(dāng)困難，例如求不定方程

1+x2=2y4的正整數(shù)解x，問(wèn)題.

通常，解一個(gè)丟番圖方程很大程度上由人們的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和研究經(jīng)驗(yàn)決定.這常常導(dǎo)致初學(xué)者望而生畏.但也有些初學(xué)者不了解丟番圖方程的內(nèi)容，以為丟番圖方程是從屬于初等數(shù)論的，就是初等數(shù)論中的幾個(gè)小玩意兒，因此，許多初學(xué)者在不具備一定數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的同時(shí)，就不切實(shí)際地去試圖證明Fermat大定理.

人們?yōu)榱私鉀Q一些很難的丟番圖方程，創(chuàng)立了許多數(shù)學(xué)方法，例如代數(shù)數(shù)論方法，padic方法和丟番圖逼近方法等，這些方法大大豐富了數(shù)論的內(nèi)容，同時(shí)也為我們求解更廣泛地丟番圖方程提供了有力的工具.