兩類曲線積分解題方法比較及錯(cuò)誤分析

范國(guó)良

【摘要】通過(guò)實(shí)例給出對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的錯(cuò)誤及正確解法，并在方向及對(duì)稱性上對(duì)兩類積分進(jìn)行比較.

【關(guān)鍵詞】對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分；對(duì)坐標(biāo)的曲線積分；對(duì)稱性

【基金項(xiàng)目】國(guó)家自然科學(xué)基金（11401006）

在《高等數(shù)學(xué)》中的第十章“曲線積分與曲面積分”的教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，很多同學(xué)把兩類曲線積分的計(jì)算方法混淆，沒(méi)有注意到對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與方向有關(guān)，本文通過(guò)例題把錯(cuò)誤的解題方法與正確的方法進(jìn)行比較，并對(duì)兩類積分從方向及對(duì)稱性上進(jìn)行總結(jié).

AB的方程形式不同，變量t的上下限也不同，注意t的上下限始終要對(duì)應(yīng)起點(diǎn)和終點(diǎn).綜上所述，在計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲線積分時(shí)，首先是確定曲線的參數(shù)方程，其次確定參變量的上下限，最后注意參變量變化范圍的寫(xiě)法與對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分不同.

三、兩類曲線積分的比較

1.對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分與方向無(wú)關(guān)，變量范圍為從小到大；而對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與方向有關(guān)，變量范圍為從起點(diǎn)到終點(diǎn).

2.關(guān)于對(duì)稱性

對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分與方向無(wú)關(guān)，可以利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算.設(shè)L關(guān)于x（或y）軸對(duì)稱，若f（x，y）關(guān)于y（或x）是奇函數(shù)，則∫Lf（x，y）ds=0；若f（x，y）關(guān)于y（或x）是偶函數(shù)，則∫Lf（x，y）ds=2∫L1f（x，y）ds，其中L1是位于對(duì)稱軸一側(cè)的部分.對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與方向有關(guān)，所以在考慮對(duì)稱性時(shí)既要考慮被積函數(shù)與曲線的對(duì)稱性，還要考慮曲線的方向，因此直接應(yīng)用比較困難，一般是先轉(zhuǎn)化為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分，然后再考慮使用對(duì)稱性.

【參考文獻(xiàn)】

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