函數(shù)概念的呈現(xiàn)方式

周月

【摘要】代數(shù)是數(shù)學學習的重要內容，而函數(shù)是代數(shù)的核心知識，也是代數(shù)的難點.教材編寫應當遵循學生認知規(guī)律，關注學生個性差異，提倡多樣化的學習方式，努力為學生創(chuàng)造自主探究、合作交流的空間，為教師營造教學創(chuàng)新的環(huán)境，為師生互動式教學提供民主的氛圍和豐富的資源.而要達到這一目的，教材編寫應遵循螺旋上升的原則.通過螺旋上升的教材編排形式，函數(shù)概念的影子從小學、初中、高中越來越清晰.

【關鍵詞】函數(shù)概念；呈現(xiàn)方式；螺旋式上升

M·克萊茵說過，一般受教育者在課堂上應該學會的重要事情是用變量和函數(shù)來思考.函數(shù)是中學數(shù)學的核心內容，也是高中數(shù)學的一條主線.因此，函數(shù)的學習必須強調連續(xù)性與整體性，必須多次接觸，反復體會，螺旋式上升，逐步加深理解，才能真正掌握，靈活運用.在當前的基礎教育新課程中，“螺旋式上升”的課程設計和教材編排得到普遍認同.《數(shù)學課程標準》中明確提出“重要的數(shù)學概念與數(shù)學思想方法宜體現(xiàn)‘螺旋式上升的原則”.本文就人教版數(shù)學小學、初中、高中在函數(shù)這一知識體系的呈現(xiàn)上如何體現(xiàn)“螺旋式上升”的.

1.小學——函數(shù)是對應

小學階段在認識數(shù)的過程中，我們經常會遇到這樣的問題： + =5，這是我們接觸到函數(shù)的最早模型，方框中可以填寫1、4；2、3，但每組數(shù)必須對應.到了五年級，我們在“量一量找規(guī)律”這一節(jié)，探究彈簧伸長長度和拉力大小有什么關系，“函數(shù)”概念逐漸體現(xiàn)，并且學生們開始接觸可以將一組一組對應的數(shù)通過表格、折線圖表示.在這一階段，沒有函數(shù)的概念，僅僅有一些對應的數(shù)的概念.但這些對應的數(shù)他們不陌生，在已有的認知結構中，他們知道照片上的人和他的名字是一種對應；商店中文具與價錢也是一種對應，這些都是對應的現(xiàn)實模型.史寧中教授認為，整個基礎教育階段的數(shù)學教育，應當從課程設計的角度統(tǒng)籌考慮.我們應當清楚每個年齡段的學生適于學習什么，怎樣學.如果把小學分為兩個學段，第一學段不要過多地學習數(shù)學，因為那時的孩子還不能很好地理解數(shù)學所表達的意義；第二階段不要過多地涉及邏輯，因為學生還沒有建立起足夠的可以理解邏輯的概念.所以，在這個階段我們沒有提出函數(shù)的概念.

2.初中——函數(shù)是變量

認知心理學認為影響學習最重要的一個因素就是學習者已經知道的是什么.開始接觸函數(shù)概念之前，學生所學的大多數(shù)是靜態(tài)的代數(shù)內容：代數(shù)式與方程.函數(shù)作為新的學習內容，認知結構中找不到有關觀念與之聯(lián)系.所以教材在提出函數(shù)概念之前先舉出4個例子：①汽車勻速行駛過程中，行駛路程s隨行駛時間t的變化；②電影票房收入y隨售出電影票的張數(shù)x的變化；③圓的面積s橢圓半徑r的變化；④周長固定，矩形一邊長y隨另一邊長x的變化.通過分析這些例子的共同屬性引入常量和變量.在此基礎上，引入“函數(shù)”與“自變量”的概念，即“設在一個變化過程中有兩個變量x和y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，那么就說x是自變量，y是x的函數(shù)”.在這一階段，學生對函數(shù)認知的螺旋式上升體現(xiàn)在：①實現(xiàn)了靜態(tài)向過程的轉變.函數(shù)概念的學習，使學生產生應用單個“變量”刻畫“變化過程”的意識，學會借助作為“變化過程”的函數(shù)，進行在靜止與運動、離散與連續(xù)之間思維方式的變化，這是認知能力的飛躍.②實現(xiàn)由算式向函數(shù)的轉變.初中函數(shù)概念比較宏觀，是動態(tài)的定義，但在初中階段研究的對象卻不都是“運動”的，而是我們用“運動”的觀點去看待，這是思維方式的巨大改變.πr2也是變量，因此，每個代數(shù)式都是這個字母的函數(shù).這樣，從函數(shù)學習的觀點重新認識代數(shù)式，找出了代數(shù)式與函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系.從而，既訓練了學生思維的活躍性，也促進了思維結構的迅速改組.并且，在學習“函數(shù)與圖像”后，明確算式只是函數(shù)的一種表示，表格、圖像都可表示函數(shù)，求方程的根可以看作是求已知函數(shù)的值為零時自變量的值，逐步讓學生認識到可將很多問題統(tǒng)一到函數(shù)范疇，用函數(shù)表征變量之間的關系.

3.高中——函數(shù)是關系

根據(jù)初中生的認知能力，初中教材只是讓學生初步了解函數(shù)概念，只要求學生知道兩個變量對應，而沒有揭示函數(shù)中的兩個變量應按怎樣的法則進行對應這一實質.到了高中，從集合、對應關系的觀點出發(fā)定義函數(shù)，突出“對應關系”.即設A，B是非空數(shù)集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記y=f（x），x∈A.這種定義，是對初中函數(shù)定義進行的抽象化，精確化，是一種微觀表現(xiàn)形式.在這一階段，學生對函數(shù)認知的螺旋式上升體現(xiàn)在：①實現(xiàn)函數(shù)宏觀到微觀的轉變.初中函數(shù)概念刻畫了函數(shù)外部特征，認為“函數(shù)是變量”.然而，對函數(shù)的進一步研究，需要在宏觀的基礎上，微觀的研究.所以用“對應關系”來理解函數(shù)是很有必要的.這一轉變，使學生對函數(shù)的認知得到進一步提升.②實現(xiàn)函數(shù)“具體化”到“形式化”的轉變.從變量到函數(shù)的抽象符號表示過程來看，學生可能產生理解障礙，思維受阻.為了突破抽象的函數(shù)語言帶來的思維障礙，教材在函數(shù)的性質與應用的學習中，讓學生通過多種訓練方式，引導學生學習“形式化”的表征，認識到“形式化”函數(shù)語言的本質.

所以，學生對函數(shù)概念的理解，需要一個循序漸進、螺旋式上升的過程.提高學生對函數(shù)的理解能力、應用能力的關鍵，是要引導學生經歷認識變量、突出關系、區(qū)別函數(shù)與算式、掌握“對應”、把握“形式化”描述、形成函數(shù)對象等螺旋式上升的認知過程.