基于FIGARCH-EVT模型的上海燃料油期貨市場風(fēng)險(xiǎn)度量實(shí)證研究*

朱恩文 李偲 李今平 朱安麒 譚薇

(1.長沙理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 長沙,410114；2.海南大學(xué) 理學(xué)院，海南 ?？?570228)

1 引言

我國期貨市場發(fā)展較晚，上海燃料油期貨市場21世紀(jì)初才出現(xiàn).然而，隨著改革開放和我國工業(yè)的迅速發(fā)展，對(duì)石油進(jìn)口的需求日益增加.從地域角度來看，世界兩大基準(zhǔn)油價(jià)不能體現(xiàn)亞太地區(qū)的需求變化，全球原油市場需要一個(gè)能夠代表亞洲的期貨基準(zhǔn)價(jià)來指導(dǎo)當(dāng)?shù)氐脑弯N售.此外，燃料油作為石油的一個(gè)下游產(chǎn)品，其期貨價(jià)格走勢預(yù)計(jì)會(huì)和石油期貨市場價(jià)格趨同，這也就意味著我們對(duì)燃料油期貨市場風(fēng)險(xiǎn)的計(jì)量，在某種程度上可以為石油期貨市場提供一個(gè)回避損失的金融工具以做參考.

國外主要石油期貨市場發(fā)展很成熟，石油波動(dòng)率擬合模型多種多樣，風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避工具也很多[1-11].而我國石油期貨品種很少，燃料油期貨市場推出較晚，缺少相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避工具.國內(nèi)學(xué)者在捕捉燃料油期貨波動(dòng)序列特征上，未考慮到燃料油的長記憶性.此外，在度量風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，他們假定尾部服從正態(tài)分布或者t分布或者廣義誤差分布來計(jì)算VaR，沒有考慮極端情況的發(fā)生，導(dǎo)致與實(shí)際情況不符[12-15].

因此，本文將考慮波動(dòng)率序列中存在的異方差性、尖峰厚尾效應(yīng)以及長記憶性，并結(jié)合極值理論模型，對(duì)上海燃料油期貨市場風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行度量實(shí)證研究.

2 相關(guān)理論知識(shí)

2.1 FIGARCH模型

在實(shí)踐中我們發(fā)現(xiàn)有些金融序列過去的觀測值對(duì)未來很長一段時(shí)間的觀測值仍具有相依性.雖然這種相依性很小，但仍不能忽略，而且觀察得到波動(dòng)率序列的自相關(guān)函數(shù)呈現(xiàn)雙曲線衰減.為了捕捉過去沖擊對(duì)于波動(dòng)序列長期的影響，Bollerslev和Baillie(1996)[16]提出將GARCH模型的差分階數(shù)由正整數(shù)發(fā)展到分?jǐn)?shù)階次的FIGARCH模型：

化簡后得

2.2 極值理論P(yáng)OT(peak-over-threshold)模型

極值理論方法只對(duì)收益序列尾部進(jìn)行建模，而風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的估計(jì)只與分布序列的尾部有關(guān).利用高于某個(gè)高閾值的極值行為進(jìn)行建模，檢驗(yàn)時(shí)間序列的極值通常利用POT模型.設(shè)X1,X2,…,Xn表示風(fēng)險(xiǎn)或損失的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列且具有未知累積分布函數(shù)F，令Mn=max{X1,X2,…,Xn}.對(duì)極端事件的自然量度是：設(shè)定一個(gè)閾值u，計(jì)算超過閾值u的超出量X-u的分布函數(shù)：

根據(jù)Pickands的極限定理[17]，對(duì)于足夠大的閾值u，存在一個(gè)正函數(shù)β(u)，使得上述超出量的分布可以很好地近似于如下的廣義帕累托分布GPD(generalized Pareto distribution)：

2.3 估計(jì)損失分布的尾部

對(duì)于足夠高的閾值u，F(xiàn)u(y)≈Gξ,β(u)(y).設(shè)x=u+y，當(dāng)x>u時(shí)，尾部的損失分布F(x)近似于如下形式：

F(x)=(1-F(u))Gξ,β(u)(y)+F(u).

F(u)的分布函數(shù)由經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的非參數(shù)方法估計(jì)：

其中k表示超過閾值u的超出次數(shù).整理得出下面的估計(jì)值：

2.4 風(fēng)險(xiǎn)度量模型

風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(VaR)是目前資本市場上最主流的風(fēng)險(xiǎn)測度方法，是在一定的概率水平下，測度某個(gè)金融資產(chǎn)組合在特定時(shí)間段內(nèi)最大可能的損失，其表達(dá)式為：

Pr(Δp>VaR)=1-α,

其中，Δp為持有期內(nèi)資產(chǎn)的實(shí)際損失，α為給定的置信水平，VaR為給定置信水平下相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值.

本文把金融市場極端事件考慮其中，認(rèn)為燃料油期貨的日收益率序列建立GARCH族模型后的標(biāo)準(zhǔn)殘差序列服從極值理論中的廣義帕累托分布(GPD).我們計(jì)算得到殘差序列極值理論模型對(duì)應(yīng)的分位數(shù)Zα，再結(jié)合原始序列擬合GARCH族模型得到的條件標(biāo)準(zhǔn)差σt，可計(jì)算持有期內(nèi)相應(yīng)的VaR，如下公式所示：

VaR=Pt-1Zασt,

其中Pt-1是前一天期貨的收盤價(jià).

3 上海燃料油波動(dòng)序列實(shí)證分析

3.1 燃料油期貨市場日收益率走勢分析

本文選取2004年8月25日到2018年11月2日間中國上海燃料油期貨市場每日收盤價(jià)數(shù)據(jù)，對(duì)收集到的期貨市場日收盤價(jià)進(jìn)行處理，得到日對(duì)數(shù)收益率.令rt=100·ln(pt/pt-1)，其中pt為第t天的收盤價(jià)數(shù)據(jù)，pt-1為第t-1天的收盤價(jià)數(shù)據(jù)，則rt即為我們的研究對(duì)象日對(duì)數(shù)收益率.除去閉市期，交易天數(shù)共3264天，總共3263個(gè)數(shù)據(jù).我們選取2018年11月3日到2019年4月1日共100天的數(shù)據(jù)來做風(fēng)險(xiǎn)回溯檢驗(yàn).所有數(shù)據(jù)均來自東方財(cái)富金融choice終端.

我們先了解下期貨收盤價(jià)日對(duì)數(shù)收益率序列有何特征.

從燃料油日對(duì)數(shù)收益率的時(shí)序圖(圖1)可觀察到，日對(duì)數(shù)收益率序列在某一段時(shí)間內(nèi)波動(dòng)小(例如從第1300個(gè)觀測值到第2000個(gè)觀測值之間)，某段時(shí)間內(nèi)波動(dòng)大(例如從第2300個(gè)觀測值到第3000個(gè)觀測值之間)，具有明顯的波動(dòng)集群性.此外波動(dòng)序列還存在極端值現(xiàn)象.

圖1 燃料油日對(duì)數(shù)收益率時(shí)序圖

3.2 描述性統(tǒng)計(jì)分析

描述性統(tǒng)計(jì)分析是對(duì)所收集的數(shù)據(jù)分析其內(nèi)在規(guī)律的一種分析方法，主要包括數(shù)據(jù)集中趨勢分析、離散程度分析等.為了對(duì)數(shù)據(jù)特征有一個(gè)大致的了解，我們對(duì)其進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)分析.

根據(jù)數(shù)據(jù)描述性統(tǒng)計(jì)分析表(表1)可知，序列的均值、中位數(shù)、最大值、最小值分別為0.0136，0，18.897，-29.79，其中最大值和最小值差距較大，且都不接近均值和中位數(shù).從這幾個(gè)統(tǒng)計(jì)量的特征看來，序列可能有極端值出現(xiàn).偏度為-0.940，小于0，該序列是左偏分布.峰度值為26.108，遠(yuǎn)大于正態(tài)分布的峰度，比正態(tài)分布的峰更尖.從上述結(jié)果來看，燃料油日對(duì)數(shù)收益率序列存在極端值，且序列不服從高斯正態(tài)分布.

表1 描述性統(tǒng)計(jì)分析表

3.3 長記憶性檢驗(yàn)

長記憶性通俗來講就是今天發(fā)生的事會(huì)對(duì)將來一直產(chǎn)生影響.如果序列存在長期記憶性，那么認(rèn)為相距較遠(yuǎn)的觀測值對(duì)現(xiàn)在仍然產(chǎn)生作用，因此對(duì)金融市場收益率序列存在的長記憶性檢驗(yàn)具有重要意義.傳統(tǒng)的識(shí)別長記憶性方法有R/S檢驗(yàn)法.

從長記憶檢驗(yàn)結(jié)果來看(表2)，R/S檢驗(yàn)顯示原序列具有長記憶特征,因此我們認(rèn)為原序列存在長期記憶性，即相距很遠(yuǎn)的觀測值之間也會(huì)存在相關(guān)性.

表2 長記憶性檢驗(yàn)

3.4 閾值選取

通過對(duì)原始序列建立FIGARCH模型，我們過濾出近似獨(dú)立同分布的殘差序列，然后應(yīng)用極值理論知識(shí)對(duì)提取的殘差序列擬合POT模型，對(duì)其進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)測度.

上述均值超越函數(shù)圖(圖2)斜率正負(fù)符號(hào)發(fā)生改變的點(diǎn)是我們所關(guān)注的地方.圖形有向上傾斜表明序列存在厚尾現(xiàn)象,尤其是超過u0并且有正斜率的直線是尾部帕累托行為的標(biāo)志.

圖2 均值超越函數(shù)圖

從圖3可知，當(dāng)閾值在2以下時(shí)，選取不同的閾值對(duì)分位數(shù)的計(jì)算沒有很大影響，在一定范圍內(nèi)，閾值的選取與分位數(shù)的值具有較好的穩(wěn)定性.而傳統(tǒng)的極值理論BMM模型，其分位數(shù)值的計(jì)算與樣本子區(qū)間的劃分有很大關(guān)系，這也進(jìn)一步說明了POT模型的優(yōu)勢.

圖3 閾值與分位數(shù)關(guān)系圖

3.5 參數(shù)估計(jì)結(jié)果

本小節(jié)選取FIGARCH和GARCH模型來擬合燃料油波動(dòng)序列，并提取擬合模型的殘差序列，對(duì)其進(jìn)行極值理論分析，得到相應(yīng)擬合參數(shù)估計(jì)結(jié)果.

上小節(jié)我們知道極值理論P(yáng)OT模型在一定區(qū)間范圍內(nèi)，選取不同閾值對(duì)分位數(shù)影響不太大.這里我們對(duì)兩個(gè)模型選取一樣的閾值.

表3 參數(shù)估計(jì)結(jié)果

運(yùn)用極值理論計(jì)算分位數(shù)時(shí)，是用經(jīng)驗(yàn)分布去估計(jì)總體分布，從而不需要對(duì)總體分布做出任何假設(shè)，這也是極值理論的一大優(yōu)勢.如果假定的總體分布有誤，會(huì)影響模型擬合精度.在這一小節(jié)我們將基于給定模型來預(yù)測樣本外100天的VaR值，將計(jì)算得到的樣本外100個(gè)觀測值的每日VaR值與實(shí)際損益進(jìn)行比較，然后通過Kupiec(1995)風(fēng)險(xiǎn)回溯檢驗(yàn)方法[18]，來對(duì)各模型預(yù)測風(fēng)險(xiǎn)的準(zhǔn)確性做一個(gè)評(píng)估，看哪一個(gè)模型在度量燃料油期貨市場的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值方面表現(xiàn)更好.

3.6 回溯檢驗(yàn)

Kupiec回溯檢驗(yàn)的主要思想是估計(jì)觀測到的損失大于VaR值的概率, 這可用來檢驗(yàn)基于模型的VaR估計(jì)的準(zhǔn)確性.我們對(duì)以下兩種模型進(jìn)行失敗率回溯檢驗(yàn).

從Kupiec回溯檢驗(yàn)結(jié)果可知，F(xiàn)IGARCH-EVT比GARCH-EVT模型在5%，1%的置信水平更接近于實(shí)際失敗天數(shù)，且失敗天數(shù)更少.故能捕捉長記憶性的FIGARCH-EVT模型在度量上海然燃料油期貨市場的風(fēng)險(xiǎn)上表現(xiàn)更佳.

表4 失敗率檢驗(yàn)

4 結(jié)論

本文就上海燃料油期貨市場的價(jià)格波動(dòng)進(jìn)行研究，考慮了價(jià)格波動(dòng)對(duì)我國燃料油期貨市場帶來的風(fēng)險(xiǎn)，并通過將時(shí)間序列模型與極值理論分析相結(jié)合的規(guī)范方法對(duì)價(jià)格波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行度量.金融序列常用GARCH模型捕捉序列波動(dòng)，本文通過對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行長記憶性檢驗(yàn)得知，燃料油期貨市場具有長記憶性.對(duì)比結(jié)果發(fā)現(xiàn)，引入能捕捉長記憶性的FIGARCH模型后能更好地度量風(fēng)險(xiǎn).此外，本文結(jié)合了能考慮極端情況發(fā)生的極值理論模型，與傳統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)度量模型不同的是，極值理論不需要對(duì)原始序列分布做出任何假設(shè).實(shí)證結(jié)果表明本文選取的模型有效，能很好地規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，這可為那些金融市場參與者提供一種規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的工具，以便更好地辨識(shí)和預(yù)防損失的發(fā)生.