幾種重要FHE加密結(jié)構(gòu)的深入研究與分析*

馬　飛，李　娟

(1．北方民族大學(xué) 計算機科學(xué)與工程學(xué)院， 寧夏 銀川 750021;2．合肥工業(yè)大學(xué) 計算機與信息學(xué)院，安徽 合肥 230009)

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幾種重要FHE加密結(jié)構(gòu)的深入研究與分析*

馬飛1,2，李娟1

(1．北方民族大學(xué) 計算機科學(xué)與工程學(xué)院， 寧夏 銀川 750021;2．合肥工業(yè)大學(xué) 計算機與信息學(xué)院，安徽 合肥 230009)

摘要：對當(dāng)前幾種重要的全同態(tài)加密結(jié)構(gòu)的構(gòu)造原理及性質(zhì)進行了深入剖析，重點對FHE加解密算法、算法基于的難題假設(shè)、算法復(fù)雜度、密鑰特征、密文擴展性等特點進行了深入分析與詳細(xì)比較，并針對結(jié)構(gòu)中的不足之處提出了改進與優(yōu)化建議，為進一步對FHE結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供借鑒。最后對全同態(tài)加密的應(yīng)用前景進行了全面展望。

關(guān)鍵詞：全同態(tài)加密；結(jié)構(gòu)比較；云計算；LWE/RLWE

0引言

Rivest等人在上世紀(jì)70年代末引入了稱為“隱私同態(tài)”的概念[1]，在該加密結(jié)構(gòu)的構(gòu)想下，能允許在密文域中做任意操作，而無需進行解密。隨后的研究人員提出了一些操作受限的稱之為“半同態(tài)”的加密結(jié)構(gòu)，如RSA加密算法[2]與ElGamal加密算法[3-4]是具有任意次乘法運算的乘法同態(tài)性加密結(jié)構(gòu)，而其加法運算不具有同態(tài)性。Paillier算法[5]與Bresson 等人提出的加密算法具有加法同態(tài)性，不具有乘法同態(tài)性。而Boneh-Goh-Nissim加密算法[6]支持任意次數(shù)的加法運算，但只持一次乘法運算，該算法是最接近于全同態(tài)的加密結(jié)構(gòu)之一。直到2009年，IBM公司的Graig Gentry在歐密會上發(fā)表了一篇名為《基于理想格的全同態(tài)加密》的文章，這一被命名為“全同態(tài)加密”(Fully Homomorphic Encryption,FHE)的技術(shù)被冠以密碼學(xué)“圣杯”的稱號，成為了密碼學(xué)最新的研究熱點。之后，研究者又在Gentry基礎(chǔ)之上提出了一些各有特點的重要的全同態(tài)加密方案。本文就幾種重要的具有代表性的全同態(tài)加密結(jié)構(gòu)進行深入剖析，對它們的特點進行詳細(xì)比較，并且提出相應(yīng)的優(yōu)化建議，為設(shè)計新的FHE方案提供一定的借鑒。

1全同態(tài)加密及LWE/RLWE難題假設(shè)

1.1全同態(tài)加密

令P為明文空間，并定義其上有“+”和“×”兩種運算，令C為密文空間，在其上定義“⊕”和“?”兩種運算，E(p)為加密操作，D(c)為解密操作。當(dāng)公鑰加密系統(tǒng)具有全同態(tài)性，當(dāng)且僅當(dāng)：

?a,b∈P，D(E(a)⊕E(b))=a+b

(1)

D(E(a)?E(b))=a×b

(2)

對于同態(tài)評價函數(shù)f與g，g:Pn→P,和f:Cn→C，有下式成立：

D(f(c1,…,cn))=g(p1,…pn)，ci=E(pi)

(3)

式中，g由運算“+”和“×”構(gòu)成，而f由“⊕”和“?”兩種運算構(gòu)成。在全同態(tài)加密方案中要求在密文上可直接做任意多次相應(yīng)運算，然后對結(jié)果進行解密，其結(jié)果為在對應(yīng)的明文上進行相應(yīng)的操作而產(chǎn)生的結(jié)果。

1.2LWE與RLWE難題假設(shè)

本文所分析的五種全同態(tài)加密結(jié)構(gòu)都是基于著名的LWE[7]或RLWE難題假設(shè)[8]。

LWE難題假設(shè)是機器學(xué)習(xí)中“奇偶性學(xué)習(xí)問題”的一般化，由Regev首次提出的，并將它應(yīng)用到公鑰加密方案構(gòu)造中。

1.2.1LWE(Learning With Errors)

LWEn,q,x問題：從分布χ中取出一些樣本，不能近似估計出S的值。

Regev使用量子歸約算法證明在一般情況下，只要選擇正確的參數(shù)n、q和χ，LWEn,q,x問題和最壞情況下任意n維格上的SVP(Shortest Vector Problem)問題和SIVP(Shortest Independent Vector Problem)問題的困難性等價[7]。

1.2.2RLWE(Ring Learning with Errors)

設(shè)λ為安全參數(shù)，并且f(x)=xd+1且，d=d(λ)，冪為2。令q=q(λ)≥2是一整數(shù)。并且滿足q≡1modd。令R=[x]/(f(x))和Rq=R/qR。最后令χ=χ(λ)為環(huán)R上的誤差分布。RLWEd,q,x難題假設(shè)可以區(qū)分以下兩個分布：

1.2.3LWE與RLWE

2重要全同態(tài)加密結(jié)構(gòu)剖析

2.1基于理想格的Gentry結(jié)構(gòu)

Gentry方案[9]是構(gòu)建在環(huán)的“理想”概念上。

假設(shè)環(huán)為R，該環(huán)上的一個“理想”為I。運算過程中產(chǎn)生的噪聲被定義在I上，即：e=rI，其中r∈R，對m加密：C=m+rI，而解密過程是去掉噪音rI理想的過程。而該結(jié)構(gòu)具有的同態(tài)性質(zhì)：

其中，c1=m1+r1I，c2=m2+r2I。

c1+c2=(m1+m2)+(r1+r2)I

(4)

c1c2=(m1+r1I)(m2+r1I)=

(m1m2)+(m1r2+m2r1+r1r2I)I

(5)

由式(4)和式(5)可知，當(dāng)進行加法運算時，噪聲為(r1+r2)I，乘法運算時，噪聲主要由r1r2I產(chǎn)生。做加法運算時噪音是倍加，做乘法運算時，噪音以平方的形式增加，隨著運算次數(shù)不斷增加，噪音將變的很大時將產(chǎn)生譯碼錯誤。而Gentry結(jié)構(gòu)中是采用叫做“評價同態(tài)解密函數(shù)”來處理，該函數(shù)是以具有噪音的密文作為輸入，而其輸出是一個具有小噪音的一個密文，而對噪音不超過閥值的密文可以正確解密。

Gentry結(jié)構(gòu)依賴于基于理想格的困難性假設(shè)，而其不足之處在于現(xiàn)在對于理想格域的研究還不是非常完善，并且該結(jié)構(gòu)需要十分有效的壓縮步驟去減小譯碼的復(fù)雜度。除了基于理想格的困難假設(shè)外，該結(jié)構(gòu)還需要一個基于“松散子集和”的假設(shè)。雖然Gentry結(jié)構(gòu)只是一種理論化的模型，但由于它是第一個被證明為全同態(tài)的加密結(jié)構(gòu)，所以具有很重要的現(xiàn)實意義，在其基礎(chǔ)上出現(xiàn)了一些結(jié)構(gòu)更加優(yōu)化并且也具有全同態(tài)性的加密結(jié)構(gòu)。

2.2Brakerski和Vaikuntanathan結(jié)構(gòu)

簡稱為BV結(jié)構(gòu)，BV結(jié)構(gòu)[10]比之于Gentry結(jié)構(gòu)的一個顯著不同之處在于使用了著名的DLWE安全假設(shè)，并且引入了“再線性化”和“模轉(zhuǎn)換”技術(shù)[9]，而模轉(zhuǎn)換技術(shù)的出現(xiàn)可去掉在Gentry結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)的復(fù)雜的壓縮過程并且可以有效的對噪聲進行控制。結(jié)構(gòu)的“自舉性”使其很容易構(gòu)造成全同態(tài)結(jié)構(gòu)。該方案基于LWE假設(shè)，其結(jié)構(gòu)如下：

假設(shè)要加密比特m∈{0,1}，首先隨機選擇r∈{0,1}k，然后計算:

a=ATr，b=vTr+m

(6)

最后輸出(a,b)。為解密密文(a,b)，先計算：

b′=b-〈a,s〉=2e+m∈q

(7)

式中，e為噪聲，〈a,s〉為內(nèi)積計算，最后輸出：

m=b′ mod 2

(8)

2.3Brakerski和Gentry, Vaikuntanatuhan結(jié)構(gòu)

該結(jié)構(gòu)簡稱為BGV結(jié)構(gòu)[11]，BGV結(jié)構(gòu)是基于環(huán)[x]/(f(x))，f(x)為次n的不可約多項式，且Rq=R/qR，q為一個素數(shù)模。另外一個參數(shù)是基于環(huán)R的錯誤分布χ。BGV結(jié)構(gòu)與BV結(jié)構(gòu)相比，其顯著的擴展是使用了RLWE假設(shè)，而該假設(shè)對提高同態(tài)加密結(jié)構(gòu)的加密效率做出了很大的貢獻，而且由于仔細(xì)使用了 “模轉(zhuǎn)換”技術(shù)使得可以去掉在Gentry方案中提出的“自舉”過程而獲得“全同態(tài)”性質(zhì)，從而提高了該結(jié)構(gòu)的工作效率。

在該結(jié)構(gòu)中既可以使用LWE假設(shè)，也可以使用RLWE假設(shè)，本文分析的是效率更高的基于RLWE難題假設(shè)的結(jié)構(gòu)方案。該結(jié)構(gòu)可描述如下：

選擇λ作為安全參數(shù)，另一個參數(shù)為μ，首先選擇一個μ比特去計算modq。然后選擇d=d(λ,μ)，χ=χ(λ,μ)，n=「3logq?。令Rq=q[x]/(f(x))。為獲得私鑰，從分布χ中均勻取出S′，私鑰則為：

(9)

(10)

(11)

根據(jù)RLWEd,q,x問題假設(shè)(此處的χ為基于Rq的均勻分布)，在此結(jié)構(gòu)下，攻擊者在多項式時間里猜測出的S的概率可以忽略為0。對于解密而言，只需計算b′=[〈c,s〉]q，然后輸出m=[b′]2。

2.4Brakerski結(jié)構(gòu)

Brakerski結(jié)構(gòu)[12](Bra結(jié)構(gòu))使用了與Regevs相似的基于LWE的公鑰加密結(jié)構(gòu)。其加密結(jié)構(gòu)可描述為：

給定一個安全參數(shù)n，令q=q(n)為一個整數(shù)。而χ=χ(n)是基于整數(shù)集的一個分布。令私鑰為。

為取得公鑰，令：N=(n+1)·(logq+ο(1))并且A←N×n，e←χN。計算b=[A·s+e]q，而公鑰為：P=[b|-A]∈N×(n+1)。假設(shè)要加密密文：m∈{0,1}，可首先隨機選擇一個r∈{0,1}N，設(shè)m=(m,0,…,0)∈{0,1}n+1，最后輸出的密文為。而解密c，可先計算c0=[〈c,(1,s)〉]q，則明文為m=[「2·c0/q」]2。

2.5Fan和Vercauteren結(jié)構(gòu)

Fan和Vercauteren結(jié)構(gòu)[13](FV結(jié)構(gòu))，該結(jié)構(gòu)使用了經(jīng)過修改后的基于RLWE問題的LPR結(jié)構(gòu)，在效率上比之于使用LWE假設(shè)的Bra結(jié)構(gòu)有了進一步的提高，由于它包含了一個經(jīng)過修改后的LPR結(jié)構(gòu)，使得結(jié)構(gòu)更容易優(yōu)化與分析。

(12)

a取自于Rq。假設(shè)對m∈Rt進行加密，從分布χ中取出r，e1，e2。然后計算：

u=a·r+e1+Δ·mmodq

(13)

v=b·r+e2modq

(14)

返回(u,v)。而解密時，首先計算下式：

u+v·s=(r·e-s·e1+e2)+Δ·mmodq

(15)

然后去乘t/q，然后把結(jié)果值取整再與t取模。

3FHE結(jié)構(gòu)特征與性能比較和分析

3.1FHE結(jié)構(gòu)性能比較

(1)對于“BV結(jié)構(gòu)”，按其構(gòu)造原理分析得到：其公鑰尺寸為O(n2log2q)，私鑰尺寸為nlogq，密文尺寸為(n+1)logq，基于的數(shù)學(xué)難題為LWE。

(2)對于“FV結(jié)構(gòu)”，按其構(gòu)造原理分析得到：其公鑰尺寸為2dlogq，而私鑰尺寸為d，密文尺寸為2dlogq，基于的難題假設(shè)為RLWE。

(3)對于“Bra結(jié)構(gòu)”，按其構(gòu)造原理分析得到：其公鑰尺寸為O(n2log2q)，私鑰尺寸為nlogq，密文尺寸(n+1)logq，基于的難題假設(shè)為LWE。

(4)對于“BGV結(jié)構(gòu)”，按其構(gòu)造原理分析得到：其公鑰尺寸為2dnlogq，私鑰尺寸為2dlogq，密文尺寸2dlogq，基于的難題假設(shè)為LWE或RLWE。

根據(jù)這幾種FHE結(jié)構(gòu)的公鑰尺寸、私鑰尺寸、密文尺寸以及基于的難題假設(shè)這幾個特征可以看到，當(dāng)加密方案采用相同的難題假設(shè)時，結(jié)構(gòu)間的性能，比如密鑰的長度和輸出密文尺寸都具有一定的相似性。而由于FV結(jié)構(gòu)和BGV結(jié)構(gòu)都采用了RLWE難題假設(shè)，所以它們的密鑰尺寸和輸出的密文尺寸都要小于基于LWE難題假設(shè)的BV結(jié)構(gòu)和Bra結(jié)構(gòu)。綜合比較，這四種方案中FV的密鑰尺寸最小，究其原因在于其對密鑰尺寸進行了優(yōu)化，并且沒有采用其它方案經(jīng)常采用的矩陣形式作為公鑰，從而進一步降低了公鑰的尺寸。

3.2FHE結(jié)構(gòu)分析

(1)BV結(jié)構(gòu)對Gentry結(jié)構(gòu)的改進主要是針對安全性這一方面而言的，BV結(jié)構(gòu)是基于LWE問題，其安全性要優(yōu)于基于理想格的Gentry結(jié)構(gòu)。并且，它所采用的“再線性化”技術(shù)使其能夠保持密文長度基本恒定，并且易于建立“類全同態(tài)”結(jié)構(gòu)。而“模轉(zhuǎn)換”技術(shù)能對執(zhí)行同態(tài)操作時產(chǎn)生的噪聲進行有效的控制，從而不必采用Gentry結(jié)構(gòu)中復(fù)雜的壓縮步驟。

(2)對于BGV結(jié)構(gòu)而言，它既可以采用LWE難題假設(shè)，也可采用RLWE難題假設(shè)。在通常情況下，采用的RLWE難題的結(jié)構(gòu)效率要優(yōu)于BV結(jié)構(gòu)。而同樣采用的“模數(shù)轉(zhuǎn)換”技術(shù)可以比較好的減少噪音，所以該結(jié)構(gòu)也不需要Gentry結(jié)構(gòu)中的“自舉”技術(shù)，而且比之于BV結(jié)構(gòu)更易于對噪音進行分析。

(3)Bra結(jié)構(gòu)中用到的LWE問題與經(jīng)典問題GapSVP的困難性一致。在該方案中，噪音不是以乘法平方的形式增大，而只是以固定多項式倍乘的形式增大。該方案中也使用了BGV結(jié)構(gòu)中的密鑰轉(zhuǎn)換技術(shù)。

(4)在FV結(jié)構(gòu)中把Bra方案中的RLWE應(yīng)用到了結(jié)構(gòu)設(shè)計中，這個結(jié)構(gòu)是本文所討論的全同態(tài)方案中最有效率的，而解密電路也是這幾個方案中最簡單的。該結(jié)構(gòu)中使用了兩種“再線性化”技術(shù)來使其具有“類同態(tài)”性質(zhì)。第一種“再線性化”技術(shù)和BGV結(jié)構(gòu)中的密鑰轉(zhuǎn)換技術(shù)類似，而第二種“再線性化”技術(shù)與“模轉(zhuǎn)換”技術(shù)相似。幾種全同態(tài)加密結(jié)構(gòu)的主要思想見表1。

表1　幾種全同態(tài)加密結(jié)構(gòu)的主要思想

3.3改進建議

(1)在BGV結(jié)構(gòu)，一些性能都與擴展因子有關(guān)，而通過試驗研究，這個擴展因子的值會小于一個特定值，若能找到這個特定值或其上界，則可以進一步改善與該擴展因子相關(guān)的一些性能界限。

(2)在基于RLWE的BGV結(jié)構(gòu)中，當(dāng)并行計算評價多個功能函數(shù)時，可嘗試?yán)谩爸袊Ｓ喽ɡ怼?，只用一個比較大的模數(shù)來評價一個單獨的功能函數(shù)，來替代對多個功能函數(shù)進行的評估。

以上是針對這幾種FHE方案所采取的結(jié)構(gòu)、參數(shù)特征、基于的難題假設(shè)等方面進行的深入對比與分析。這幾個方案都有各自的特點，但它們都有一個共同的問題：效率比較低。因為它們都具有高的算法復(fù)雜度，龐大的密鑰尺寸等問題，使得目前的這些全同態(tài)加密結(jié)構(gòu)在實用性方面還不盡如人意。所以研究者在不斷優(yōu)化FHE加密結(jié)構(gòu)的同時，也提出了一些所謂有限全同態(tài)加密結(jié)構(gòu)，即“類同態(tài)”結(jié)構(gòu)。該結(jié)構(gòu)可支持多次加法，一定量次的乘法運算，而這些“類同態(tài)”結(jié)構(gòu)相對于全同態(tài)加密結(jié)構(gòu)而言具有算法復(fù)雜度小的特點，在不要求全同態(tài)的應(yīng)用領(lǐng)域有更多的實踐意義，這也是全同態(tài)結(jié)構(gòu)在完全實用化之前可選的一種折衷方案。所以，全同態(tài)加密下一步的研究工作就是實用化，而這要求研究者繼續(xù)尋找更加優(yōu)良的加密結(jié)構(gòu)。

4FHE應(yīng)用展望

(1)全同態(tài)加密領(lǐng)域的突破性進展為云計算和物聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展帶來了新的契機，而云計算中數(shù)據(jù)安全和隱私保護是云計算發(fā)展的關(guān)鍵，將直接影響人們對云計算的接受程度。全同態(tài)加密有助于推動云計算和物聯(lián)網(wǎng)的普及和應(yīng)用，使其為更多的企業(yè)、用戶認(rèn)知和接納。

(2)全同態(tài)加密為云計算和物聯(lián)網(wǎng)的數(shù)據(jù)安全和隱私保護提供了全新的思路，使得對存儲在云端服務(wù)器中的加密數(shù)據(jù)進行運算和操作成為可能，不僅極大地減少了云端服務(wù)器和用戶的通信及計算開銷，也保證了數(shù)據(jù)處理過程中的安全性。

(3)利用全同態(tài)加密技術(shù)，在保護用戶數(shù)據(jù)隱私性的同時，為分析和挖掘云服務(wù)商CSP(Cloud Service Provider) 所存儲的海量數(shù)據(jù)開辟了無限的商機。目前的全同態(tài)加密方案計算量巨大，難以在現(xiàn)有計算技術(shù)條件下實現(xiàn)。如何提高全同態(tài)加密方案的加解密效率、降低密鑰存儲空間，都是當(dāng)前的研究難點。

5結(jié)語

本文重點對當(dāng)前幾種重要的全同態(tài)加密結(jié)構(gòu)：Gentry結(jié)構(gòu)、BV結(jié)構(gòu)、BGV結(jié)構(gòu)、Bra結(jié)構(gòu)和FV結(jié)構(gòu)的構(gòu)造過程及各自具有的特性進行了深入的剖析。著重從幾種方案的加解密算法結(jié)構(gòu)、算法基于的難題假設(shè)、算法的復(fù)雜度、密鑰特征、密文擴展性等特點進行了深入分析與詳細(xì)比較。從分析與比較結(jié)果看，在安全性方面，基于理想格的Gentry結(jié)構(gòu)弱于基于LWE或RLWE的其它幾種結(jié)構(gòu)。在結(jié)構(gòu)的性能比較上，F(xiàn)V結(jié)構(gòu)的靈活性及方案效率是優(yōu)于其它幾種結(jié)構(gòu)。文章最后還針對幾種結(jié)構(gòu)中的不足之處提出了改進與優(yōu)化建議，為FHE進一步進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供了一定的借鑒。

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Research and Analysis of Several Key FHE Structures

MA Fei1,2, LI Juan1

(1.School of Computer Science and Engineering, Beifang University of Nationalities,Yinchuan Ningxia 750021,China;2.School of Computer and Information, Hefei University of Technology, Hefei Anhui 230009,China)

Abstract：In-depth study on principles and properties of the current most important FHE (Fully Homomorphic Encryption) structures is done,with focus on analysis and comparison of FHE encryption and decryption, algorithm based on hard problem, algorithm complexity, key characteristics and ciphertext expansion. In light of the deficiencies, some modified and optimized solutions are presented, and these could serve as a reference for further optimization of FHE structure. Finally, application prospects of FHE are forecasted.

Key words：FHE; structure comparison; cloud computing; LWE/RLWE

doi:10.3969/j.issn.1002-0802.2016.04.019

*收稿日期：2015-11-17；修回日期：2016-03-05Received date:2015-11-17；Revised date：2016-03-05

基金項目：獲得寧夏回族自治區(qū)‘計算機應(yīng)用技術(shù)’重點學(xué)科項目資助；寧夏教育廳“十三五”自治區(qū)重點專業(yè)——網(wǎng)絡(luò)工程專業(yè)重點建設(shè)項目資助

Foundation Item:Key Discipline Project (Computer Application Technology) of Ningxia;Foundation Project( Priority Majors of Network Engineering ) of the Education Department of Ningxia in the 13th Five-Year Plan

中圖分類號：TN918.4

文獻標(biāo)志碼：A

文章編號：1002-0802(2016)04-0481-05

作者簡介：

馬飛(1976—),男，副教授，博士，主要研究方向為網(wǎng)絡(luò)安全、云計算，全同態(tài)加密，社交網(wǎng)絡(luò)與隱私保護;

李娟(1975—)，女，副教授，碩士，主要研究方向為云計算、社會計算、社交網(wǎng)絡(luò)與隱私保護。