考慮反饋時(shí)滯的建筑結(jié)構(gòu)H∞分散控制方法

曲春緒　霍林生　李宏男

摘要：土木工程結(jié)構(gòu)具有尺度大、結(jié)構(gòu)復(fù)雜的特點(diǎn)，在結(jié)構(gòu)主動(dòng)反饋控制中，結(jié)構(gòu)的大尺度會(huì)導(dǎo)致反饋的時(shí)滯大問(wèn)題，從而影響甚至惡化結(jié)構(gòu)的振動(dòng)反應(yīng)，對(duì)結(jié)構(gòu)安全不利。為了解決該問(wèn)題，針對(duì)大尺度土木結(jié)構(gòu)反饋過(guò)程的時(shí)滯問(wèn)題提出了H∞分散控制方法。由于分散控制器矩陣的塊對(duì)角形式，現(xiàn)階段還沒(méi)有一個(gè)具體的理論或現(xiàn)成的軟件來(lái)解決BMI這個(gè)問(wèn)題。在離散時(shí)域內(nèi)提出了雙同倫法將此BMI近似線(xiàn)性化為線(xiàn)性矩陣不等式，并將集中控制器逐步轉(zhuǎn)化為分散控制器。最后通過(guò)6層框架數(shù)值算例進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明該方法可以有效地減小結(jié)構(gòu)反饋控制中的時(shí)滯問(wèn)題，保證了控制效果。

關(guān)鍵詞：分散控制；雙線(xiàn)性矩陣不等式；雙同倫法；時(shí)滯；大尺度土木結(jié)構(gòu)

中圖分類(lèi)號(hào)：U311.3；TP13 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1000-0666（2016）01-0159-06

O 引言

結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制分為被動(dòng)控制、主動(dòng)控制、半主動(dòng)控制和混合控制。在主動(dòng)控制中，需要由傳感器、驅(qū)動(dòng)器、控制器和結(jié)構(gòu)組成閉合回路，從而實(shí)現(xiàn)反饋控制。反饋的實(shí)時(shí)性是主動(dòng)控制效果好壞的關(guān)鍵。然而，對(duì)于大尺度土木工程建筑物，反饋過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)大時(shí)滯問(wèn)題，從而影響控制效果，尤其對(duì)于無(wú)線(xiàn)傳感器的數(shù)據(jù)傳輸，結(jié)構(gòu)尺度大導(dǎo)致的長(zhǎng)距離傳輸會(huì)影響數(shù)據(jù)的實(shí)時(shí)性，數(shù)據(jù)量大也同樣會(huì)導(dǎo)致因計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)出現(xiàn)的時(shí)滯問(wèn)題。

分散控制是解決反饋時(shí)滯問(wèn)題的一種有效手段。分散控制不同于集中控制，是將反饋控制系統(tǒng)分為幾個(gè)子系統(tǒng)，每個(gè)子系統(tǒng)在反饋過(guò)程中僅接受部分傳感器反饋信息數(shù)據(jù)，從而減小傳輸距離與傳輸數(shù)據(jù)量（Sandell et al，1978；Siljak，1991）。雖然分散控制已經(jīng)應(yīng)用于輸電網(wǎng)絡(luò)、空間系統(tǒng)和經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)等眾多行業(yè)中（Siljak，1996），但土木工程結(jié)構(gòu)中的分散控制卻在最近幾年才逐漸被關(guān)注。Lynch和Law（2002）改進(jìn)了分散LQR控制方法，并提出了基于市場(chǎng)機(jī)制的分散控制，從而解決土木結(jié)構(gòu)大尺度的問(wèn)題。Xu等（2003）針對(duì)斜拉橋進(jìn)行減振控制，提出了分散錨索控制方法。Swartz和Lynch（2006）將冗余Kalman狀態(tài)估計(jì)器應(yīng)用于分散結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)中。Rofooei和Mona-jemi-Nezhad（2006）研究了不同反饋形式的控制。Lu等（2008）提出了分散滑?？刂疲?duì)帶有磁流變阻尼器的鋼框架進(jìn)行了振動(dòng)臺(tái)實(shí)驗(yàn)。Ma等（2008）進(jìn)行了分散魯棒控制研究。Loh和Chang（2008）比較了集中控制及各種形式的分散控制。最近，分散控制中考慮到了控制器計(jì)算和數(shù)據(jù)傳輸導(dǎo)致的時(shí)間延遲（Wang et al，2009，2011）。普遍來(lái)說(shuō)，控制器需要的傳感器數(shù)據(jù)越多，時(shí)間延遲就越大。時(shí)間延遲作為系統(tǒng)性能的一部分是可以被測(cè)量和計(jì)算得到的，例如無(wú)線(xiàn)反饋控制系統(tǒng)（Wang et al，2007）?？紤]到控制過(guò)程中的反饋時(shí)滯問(wèn)題，本文在離散時(shí)域中提出了一個(gè)新的H∞分散動(dòng)力反饋控制方法。

有界實(shí)引理是求解H∞控制器矩陣的有效方法（Gahinet，Apkarian，1994）?？刂破骶仃囋谟薪鐚?shí)引理中被約束于雙線(xiàn)性矩陣不等式（Bilinear Ma-trix Inequalicy，簡(jiǎn)稱(chēng)BMI）中（VanAntwerp，Braatz，2000）。當(dāng)控制器矩陣不存在特殊結(jié)構(gòu)形式時(shí)，這個(gè)雙線(xiàn)性矩陣不等式約束是可以通過(guò)投影引理轉(zhuǎn)化為多個(gè)線(xiàn)性矩陣不等式（Linear MatrixInequlity，簡(jiǎn)稱(chēng)LMI）約束來(lái)進(jìn)行求解的。然而，分散控制要求控制器矩陣是具有分散塊對(duì)角結(jié)構(gòu)形式的，這種形式在有界實(shí)引理中是難以轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性矩陣不等式約束的，從而形成了非凸的優(yōu)化問(wèn)題。目前還沒(méi)有有效的解決方式來(lái)處理該問(wèn)題。雖然來(lái)自PENOPT公司的PENNON（PENalty meth-ods for NONlinear optimization）軟件包是用來(lái)解決此非凸優(yōu)化問(wèn)題的，但該方法仍然是不成熟的，需要進(jìn)一步改進(jìn)（Kocvara，Stingl，2003）。Wang（2011）將連續(xù)時(shí)域的同倫方法進(jìn)行一定修改應(yīng)用于離散時(shí)域中。Mehendale和Grigoriadis（2008）針對(duì)無(wú)時(shí)滯問(wèn)題的連續(xù)時(shí)域系統(tǒng)，提出了基于雙同倫方法的H∞分散控制方法。本文考慮了土木工程中反饋時(shí)滯問(wèn)題，提出了基于雙同倫方法的離散時(shí)域H∞分散控制方法。最后通過(guò)6層結(jié)構(gòu)算例對(duì)提出的方法進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 問(wèn)題描述

考慮帶有時(shí)滯的結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)如圖1所示。根據(jù)Wang（2011）的推導(dǎo)，在離散時(shí)域中連接結(jié)構(gòu)系統(tǒng)和帶有傳感器噪聲干擾的時(shí)滯系統(tǒng)得到離散時(shí)域下的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)如下：其中，系統(tǒng)輸入w=[w₁w₂]^T∈R^（n_w）×1，包含外界激勵(lì)w₁。和傳感器噪音w₂。R^（n_u）×1表示控制力向量。開(kāi)環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)向量x∈R^{（n_OL）×1}包含結(jié)構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)向量x_S∈R^2n×1，帶有傳感器噪音的時(shí)滯系統(tǒng)狀態(tài)向量x_TD∈R^{（n_TD）×1}。對(duì)于n層結(jié)構(gòu)集中質(zhì)量模型，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)向量x_S由相對(duì)于地面的位移q_i和相對(duì)于地面的速度q₁組成，q_i和q_i表示第i層的相對(duì)位移和相對(duì)速度，i=1，…n。式中，開(kāi)環(huán)系統(tǒng)矩陣A∈R^nOL×nOL，B¹∈R^nOL×nw和B²∈R^nOL×nu分別表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，激勵(lì)影響矩陣和控制影響矩陣。向量z∈R^nz×1表示系統(tǒng)反應(yīng)輸出向量，也是反饋控制的目標(biāo)，向量y∈R^ny×1表示帶有傳感器噪音干擾的開(kāi)環(huán)時(shí)滯系統(tǒng)的測(cè)量輸出向量。相應(yīng)地C¹，D¹¹和D¹²為目標(biāo)輸出矩陣，C²和D²¹為測(cè)量輸出矩陣?？紤]控制器計(jì)算的時(shí)間和數(shù)據(jù)傳輸時(shí)間的影響，傳感器測(cè)量的信號(hào)假定延遲一個(gè)采樣時(shí)間。

動(dòng)態(tài)反饋控制器可根據(jù)開(kāi)環(huán)測(cè)量輸出y[k]作為控制力的輸入信號(hào)來(lái)設(shè)計(jì)控制器出力的大小u[k]，其狀態(tài)方程為其中，x^G為控制系統(tǒng)的狀態(tài)向量；A^G，B^G，C^G，D^G為需要設(shè)計(jì)的控制器參數(shù)。

2 離散時(shí)域中的分散H∞控制器設(shè)計(jì)

2.1 分散控制器

針對(duì)分散控制器，反饋信號(hào)y[k]和控制力u[k]可被分散為N組，如：分組后的反饋信號(hào)與控制力分別組成多個(gè)子系統(tǒng)，從而系統(tǒng)式（3）被分為了Ⅳ個(gè)子控制器系統(tǒng)，表示為其中，A^Gi，B^Gi，C^Gi，D^Gi為第i個(gè)子控制系統(tǒng)。這樣控制矩陣參數(shù)A^G，B^G，C^G，D^G便具有塊對(duì)角的形式：這里假設(shè)式（1）中的Dz2為零矩陣（Gahinet，Ap-karian，1994），令動(dòng)態(tài)控制器維數(shù)與結(jié)構(gòu)系統(tǒng)維數(shù)相同，即A^G∈R^n_G×n_G，n_G=n_OL。將式（3）代入到式（1）中，得到閉環(huán)系統(tǒng)：

根據(jù)有界實(shí)引理，若H∞控制器存在并使得閉環(huán)系統(tǒng)式（7）穩(wěn)定，系統(tǒng)的H∞范數(shù)小于給定的γ值，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)正定對(duì)稱(chēng)矩陣P使得以下矩陣不等式成立：將式（9）代入到式（10）當(dāng)中，可得到矩陣不等式：式中，存在矩陣變量P和G相乘的形式，若控制器矩陣A_G，B_G，C_G，D_G沒(méi)有塊對(duì)角結(jié)構(gòu)形式限定時(shí)，通過(guò)投影引理（Gahinet，Apkarian，1994）可以將此矩陣相乘形式的BMI轉(zhuǎn)化為多個(gè)LMI來(lái)進(jìn)行求解。然而，分散控制器的矩陣是具有塊對(duì)角形式的，難以等價(jià)轉(zhuǎn)換為L(zhǎng)MI，因此是非凸優(yōu)化問(wèn)題，難以求解。

2.2 雙同倫法

為解決雙線(xiàn)性?xún)?yōu)化問(wèn)題，Mehendale和Grigori-adis（2008）提出了雙同倫的方法在連續(xù)時(shí)域中求解Hoo分散控制器。本文基于雙同倫法的思想，在離散時(shí)域中提出的H∞分散控制器求解方法。

在迭代過(guò)程開(kāi)始時(shí)，即第0步（k=0），設(shè)初始變量G和P為集中控制器設(shè)計(jì)得到的矩陣G_C和相對(duì)應(yīng)的矩陣P_C：其中，矩陣G_C，diag是由集中控制器設(shè)計(jì)得到的矩陣G_C中對(duì)角塊位置所對(duì)應(yīng)的元素組成的；G_C，off表示G_C中剔除了矩陣G_{C，diag}包含的元素后所剩余的矩陣，滿(mǎn)足式（13）。當(dāng)?shù)趉步時(shí)（k=1，2，…，K），G_k和P_k有如下形式：其中，K是總的迭代步數(shù)；增量△G_k與G_C，diag結(jié)構(gòu)形式相同；增量△P_k同Pk一樣是對(duì)稱(chēng)的。隨著k逐漸增大到K步，控制器矩陣G_k中非對(duì)角塊元素逐漸變?yōu)?，對(duì)角塊元素通過(guò)增量△G_k逐漸地改變。當(dāng)△G_k和△P_k足夠小時(shí)，兩者之間的乘積可以忽略不計(jì)，因此，式（11）可以被近似線(xiàn)性化為

這樣，式（11）不再有△G_k和△P_k相乘的形式，從而B(niǎo)MI約束被近似為L(zhǎng)MI約束。式（13）二式代入到式（8）可得：最后可得到線(xiàn)性化的式（11）<0，定義是以△G_k和△P_k為變量的函數(shù)y（△G_k，△P_k）如下：

通過(guò)以上可知BMI約束優(yōu)化問(wèn)題近似為了LMI約束優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)求解帶有式（17）的約束優(yōu)化問(wèn)題便可得到理想分散控制器。

3 數(shù)值算例

為了說(shuō)明本文提出的分散控制器設(shè)計(jì)方法的有效性，對(duì)一個(gè)六層框架進(jìn)行數(shù)值模，其結(jié)構(gòu)如圖2a所示，結(jié)構(gòu)參數(shù)可參考Lu等（2008）所設(shè)定的。結(jié)構(gòu)的1層、3層和5層分別安裝了一個(gè)驅(qū)動(dòng)器，給相鄰兩層提供控制力。

這里的測(cè)量輸出m[k]為結(jié)構(gòu)的層間位移，如式（18a）。反應(yīng)輸出z[k]為加權(quán)后的層間位移與控制力的組合，如式（18b）。

圖2b描述了子系統(tǒng)的集中和分散程度，用DC表示（degrees of centralization，DC）。

假設(shè)延遲時(shí)間等于一個(gè)采樣周期。根據(jù)傳感器傳輸信息多少與距離長(zhǎng)短，可定義延遲時(shí)間如表1所示。

地震激勵(lì)采用1940年的El Centro NS地震記錄。加速度峰值調(diào)整為1m·s^-2。通過(guò)計(jì)算得到層間唯一峰值，并做比較。圖3a為結(jié)構(gòu)層間位移最大值的對(duì)比，從圖中看到，DC①和DC②呈現(xiàn)了不穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)反應(yīng)，這是由于積分過(guò)程中出現(xiàn)了數(shù)值不穩(wěn)定的情況，正是由于時(shí)滯大導(dǎo)致的。

為進(jìn)一步說(shuō)明分散控制方法的效果，需對(duì)穩(wěn)定的情況進(jìn)行對(duì)比，即DC②、DC③和無(wú)控狀態(tài)，如圖3b所示。在無(wú)控狀態(tài)下，第二層的層間位移峰值達(dá)到最大。DC②、DC③可明顯減小結(jié)構(gòu)的層間位移的最大峰值。另外發(fā)現(xiàn)，DC③的減振效果由于DC②的作用，這是因?yàn)闀r(shí)滯都不長(zhǎng)的情況下，反饋信息多有助于減振控制。

4 結(jié)論

本文考慮大尺度結(jié)構(gòu)反饋控制中的時(shí)滯問(wèn)題，在離散時(shí)域中提出了基于雙同倫的方法分散H∞控制器的求解方法。該方法將雙線(xiàn)性矩陣不等式近似化為線(xiàn)性矩陣不等式，通過(guò)迭代搜索求解控制器。從而解決了矩陣不等式非凸優(yōu)化問(wèn)題求解過(guò)程中帶有特殊結(jié)構(gòu)形式的矩陣的問(wèn)題。并通過(guò)六層數(shù)值算例進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明在延遲時(shí)間不大時(shí)，反饋的信息越多，控制效果越好；而延遲過(guò)大或信息過(guò)少都會(huì)導(dǎo)致控制性能變差的情況。