粘彈性人工邊界在地震工程中應用研究綜述

陳寶魁　王東升　成虎

摘要：介紹粘彈性人工邊界在結構一地基動力相互作用等問題中應用的研究現(xiàn)狀。重點敘述了粘彈性人工邊界在有限元計算中的實現(xiàn)方法及其在地震工程中的應用。粘彈性人工邊界方法具有方便實現(xiàn)、計算精度高、穩(wěn)定性強等優(yōu)點，是解決近場波動問題的一種重要手段。隨著粘彈性人工邊界理論及其在有限元軟件中的應用日漸成熟，其在工程抗震分析等方面將具有廣闊的應用前景。

關鍵詞：粘彈性人工邊界；地震工程；結構一地基動力相互作用；近場波動

中圖分類號：TU432 文獻標識碼：A 文章編號：1000-0666（2016）01-0137-06

0 引言

諸如大壩、核電站、跨海橋梁等大型工程的抗震分析，一般需要考慮地震波在無限域地基中的傳播（輻射阻尼）效應，通常稱為結構一地基動力相互作用或近場波動問題（廖振鵬，2002；杜修力，2009；Todorovska，2009；Kausel，2010；Lou et al，2011）。目前有限元方法是解決結構-地基動力相互作用問題的常用手段，如果地基范圍截取過大會導致計算量幾何級數(shù)增大，對于大型工程甚至無法完成運算。從無限域中截取近場有限區(qū)域，并在其邊界處施加人為處理的虛擬邊界條件（Wolf，Song，2002；邱流潮，金峰，2006；Hatzigeorgiou，Beskos，2010；Du，Zhao，2010；Ghandil，Behnamfar，2015）來模擬遠場無限地基的輻射阻尼效應，這是當前采用的主要方法。正確定義和設置人工邊界，使結構基礎或地表產(chǎn)生的散射波在人工邊界上被吸收或穿過邊界進入無限域，決定了計算是否準確與高效。

基于波動理論提出的人工邊界大致可分為時空耦聯(lián)的全局人工邊界和局部人工邊界兩類。局部人工邊界具有實現(xiàn)簡單、計算量小等優(yōu)點，因此被廣泛應用（杜修力等，2006），本文討論的粘彈性人工邊界屬于局部人工邊界中的一種。通常局部人工邊界亦可分為位移型人工邊界條件（Kausel，1988；Wolf，1986；Higdon，1987，1991；Liao，Wong，1984）與應力型人工邊界條件兩類。位移人工邊界條件用于時步積分時，可能會出現(xiàn)數(shù)值失穩(wěn)，并且此問題尚未得到根本解決；而應力人工邊界在有限元積分方法穩(wěn)定時，不存在人工邊界失穩(wěn)問題（杜修力等，2006）。因此，在近場波動有限元分析中應力型人工邊界具有重要的應用價值。應力型人工邊界包括粘性邊界（Jiao et al，2007）、粘彈性邊界（Liu，Lv，1998；劉晶波，呂彥東，1998；劉晶波等，2006a）等。粘彈性人工邊界因具有物理意義清晰，精度良好、穩(wěn)定性好等優(yōu)點，被眾多學者研究并應用于比較各類應力型人工邊界在數(shù)值分析中的效率與精度。

近年來，研究人員對粘彈性人工邊界的理論與應用進行了大量研究（劉晶波等，1998，2006a，b，c，2007；王振宇，劉晶波，2004），并且該方法已經(jīng)在多種有限元軟件中實現(xiàn)，并取得若干研究進展（杜修力，趙密，2006；谷音等，2007；張燎軍等，2008；蔣新新等，2013）。由于粘彈性人工邊界方法是21世紀初才提出并完善的，大量研究主要集中在近10年。目前在通用的商業(yè)有限元軟件中尚缺乏相應的獨立模塊以方便應用，這給設計人員在工程中應用粘彈性人工邊界帶來了困難，導致粘彈性人工邊界在實際工程中的應用與其理論研究進展很不對稱。本文綜述了粘彈性人工邊界方法的研究進展，總結了粘彈性人工邊界在多種動力有限元分析軟件中的應用成果，并在此基礎上提出了粘彈性人工邊界在有限元計算與工程應用上的不足與展望。

1 粘彈性人工邊界研究進展與實現(xiàn)方法

在早期發(fā)展的人工邊界理論（廖振鵬，2002；Kausel，1988；Wolf，1986；Higdon，1987，1991）中，相對簡單的局部人工邊界是Lysmer和Kuhlem-eyer（1969）提出的粘性人工邊界，其概念清晰、容易實現(xiàn)，得到了廣泛的應用。但粘性人工邊界僅考慮對散射波能量的吸收，忽略了半無限地基的彈性恢復能力，因此存在低頻穩(wěn)定性問題，即在低頻力作用下可能發(fā)生整體漂移。為克服以上問題，Deeks和Randolph（1994）、劉晶波和呂彥東（1998）基于柱面波的波動方程建立了二維粘彈性人工邊界。

1.1 粘彈性邊界單元實現(xiàn)

考慮介質(zhì)中輻射阻尼影響的近場波動問題可以采用數(shù)值和解析兩種計算方法。解析法著重于分析問題本質(zhì)，計算結果為精確解，但對于大型工程的動力分析，很難用解析的方法解決。相對而言引入粘彈性人工邊界的數(shù)值法具有很強的適用性和靈活性，方便應用于理論研究與實際工程。

1.1.1 集中粘彈性人工邊界

粘彈性人工邊界在有限元分析中一般可以等效為在截取的人工邊界節(jié)點上并聯(lián)彈簧（K）-阻尼（C）系統(tǒng)，這種處理方法簡稱為集中粘彈性人工邊界。

如果將基于全空間波動理論推導的二維粘彈性人工邊界應用于半空間問題，粘彈性人工邊界的剛度系數(shù)將偏大。因此引入人工邊界參數(shù)α_N與α_T對粘彈性人工邊界中的彈簧剛度系數(shù)進行調(diào)整。圖1為二維與三維粘彈性人工邊界模型，其中彈簧與阻尼系統(tǒng)物理參數(shù)的公式為（劉晶波等，2005，2006a；Liu et al，2006）式中，K_N、K_T為法向與切向剛度系數(shù)，C_N、C_T為阻尼器的法向與切向阻尼系數(shù)，G為介質(zhì)剪切模量，c_S和c_P為S波與P波波速，ρ為密度，r為波源至人工邊界的距離，α_N、α_T為法向與切向粘彈性人工邊界的修正系數(shù)；在二維問題中，α_N的經(jīng)驗取值范圍是0.8～1.2，_T為0.35～0.65，谷音等（2007）推薦取α_N=1.0，α_T=0.5；在三維問題中α_N的經(jīng)驗取值范圍是1.0～2.0，α_T取為0.5～1.0，谷音等（2007）、尹廣斌等（2012）推薦α_N=1.33，α_T=0.67；A表示的是單元節(jié)點的控制面積。對于直接在邊界單元節(jié)點施加物理系統(tǒng)的集中粘彈性人工邊界，在二維或三維模型中需考慮邊界單元節(jié)點所控制的邊長或面積。王振宇和劉晶波（2004）進一步提出了成層地基中每層介質(zhì)邊界彈簧-阻尼系統(tǒng)的參數(shù)；趙密（2004）提出了基于衰減平面散射波的粘彈性人工邊界條件。

1.1.2 等效一致粘彈性人工邊界

劉晶波等（2006a）在二維集中粘彈性人工邊界基礎上，提出等效一致粘彈性人工邊界及其邊界單元的計算方法。假定（分布式）粘彈性人工邊界的內(nèi)部自由度可類似單元一樣由差值函數(shù)和節(jié)點處自由度確定，進而通過與平面固體有限元剛度矩陣對比，可以得到一致粘彈性人工邊界單元的相關等效物理參數(shù)（劉晶波等，2006a；谷音等，2007）：式中，G、E和μ分別為等效一致粘彈性邊界單元的等效剪切模量和等效彈性模量和等效泊松比；α_N與α_T為法向與切向粘彈性人工邊界的修正系數(shù)，其取值參見式（1）；h為邊界單元的厚度。如果采用各向同性材料本構關系建立等效一致粘彈性人工邊界單元，μ和E并不能獨立地按式（2）中的E取值，μ也應同時滿足劉晶波等（2006a）推導的式（17）的要求。

劉晶波等（2006a）、谷音等（2007）推導得出另一個重要的單元材料參數(shù)，等效粘彈性邊界單元的材料阻尼比例系數(shù)為

在三維模型中，一致粘彈性人工邊界等效單元參數(shù)G、E和μ的計算公式與上述提到的二維模型完全相同，但邊界單元的材料阻尼比例系數(shù)η的求解公式略有不同，為

在二維或三維有限元模型中，比較集中粘彈性人工邊界與等效一致粘彈性人工邊界的動力分析結果（程恒等，2009），發(fā)現(xiàn)兩種粘彈性人工邊界具有相同的計算精度，且與解析解的結果十分接近；并且兩種粘彈性人工邊界計算結果的準確性明顯好于固定邊界與粘性人工邊界的計算結果（杜修力等，2006；劉晶波，呂彥東，1998；劉晶波等，2006a，b；谷音等，2007；張燎軍等，2008；盧華喜等，2008）。

1.2 粘彈性人工邊界的地震動輸入方法

粘彈性人工邊界有限元模型的波動輸入方法主要分為內(nèi)源問題和外源（波源）問題。內(nèi)源問題即在人工邊界內(nèi)的模型中考慮波動輸入，在人工邊界范圍內(nèi)直接輸入動力荷載，而產(chǎn)生的散射波可由粘彈性人工邊界吸收。內(nèi)源輸入方法相對簡單，已在地震工程領域廣泛應用（杜修力等，2006；谷音等，2007；劉晶波等，2002，2006a）。

外源問題是指在人工邊界外施加波動輸入，即在人工邊界節(jié)點處輸入地震動來計算模型的地震響應。Joyner和Chen（1975）最早提出并改進了將波動輸入轉(zhuǎn)化為等效荷載輸入到粘性人工邊界的方法。隨后，劉晶波等（1998，2004，2006b）提出了適合粘彈性人工邊界的波源輸入方法，在邊界節(jié)點處采用力學中脫離體概念，經(jīng)推導得到施加于粘彈性人工邊界的等效荷載F（t）的公式：

F（t）=τ₀（x，y，t）+C_h·ω₀（x，y，t）+K_b·ω₀（x，y，t）. （5）式中，τ₀（x，y，t）為人工邊界上的節(jié)點應力；C_h和K_0h分別為粘彈性人工邊界的剛度與阻尼系數(shù)，可由式（1）確定；ω₀（x，y，t）為已知入射位移場，而ω₀（x，y，t）與應力τ₀（x，y，t）均可由ω₀（x，y，t）得到。

2 粘彈性人工邊界方法在通用有限元軟件中的應用

由于粘彈性人工邊界方法在有限元軟件中易于實現(xiàn)，因此已經(jīng)得到相關研究人員的關注，其在SAP、Nastran、ANSYS、LS-DYNA、ADINA、ABAQUS等通用有限元軟件中均已實現(xiàn)，且被廣泛應用于研究與工程問題。

劉晶波和呂彥東（1998）首先通過編制外掛程序，將粘彈性人工邊界分析方法并入Super SAP中。在給定了邊界單元參數(shù)以及波源輸入方法的基礎上，分析了二維半圓山谷在平面波入射時的反應，將SAP中的有限元解與解析解對比，發(fā)現(xiàn)兩種解具有很好的一致性。劉晶波等（2002）同樣利用Super SAP對高壓聚乙烯裝置壓縮機基礎的動力反應進行分析，結果表明引入粘彈性人工邊界對大型動力機器基礎進行有限元分析是必要的，并可以給出更合理的基礎設計與地基處理方法。

劉晶波等（2006b）結合粘彈性人工邊界與振型疊加法對結構一地基相互作用問題進行分析，并將其在有限元軟件Nastran中實現(xiàn)，證明了該計算方法準確、高效。另外，劉晶波（2006a）、谷音等（2007）提出等效一致粘彈性人工邊界的計算方法，利用Nastran軟件將該邊界計算方法在二維與三維模型中實現(xiàn)。

劉晶波等（2007）同樣將等效一致粘彈性人工邊界及其波動輸入法在ANSYS軟件中實現(xiàn)。徐靜等（2009）采用粘彈性人工邊界模擬遠場無限介質(zhì)的波動輻射效應，利用ANSYS分析樁-土-輸電塔體系相互作用問題。郜新軍等（2010，2011）利用多源粘彈性人工邊界方法，在ANSYS中實現(xiàn)了考慮斜入射波與局部地形等情況下的結構一地基動力相互作用分析。蔣新新等（2013）通過在ANSYS中構建虛擬對稱結構體系，解決了邊坡場地條件下粘彈性人工邊界模型計算土-結構相互作用分析中，由于外邊界輸入荷載不一致而導致的結構響應發(fā)散或位移漂移問題。宋貞霞和丁海平（2007）研究了粘彈性人工邊界在LS-DYNA中的實現(xiàn)。

張燎軍等（2008）、尹廣斌（2012）、程恒等（2009）實現(xiàn)了粘彈性人工邊界在ADINA中的應用，并將結果與粘性邊界、固定邊界以及擴展邊界（精確解）的結果進行比較，驗證了粘彈性人工邊界計算結構-地基動力相互作用問題的精確性與穩(wěn)定性。并利用粘彈性人工邊界在ADINA中計算了三向地震荷載作用下壩體-地基-庫水，以及泵站-地基-水體的動力相互作用算例。張小玲等（2008）采用飽和孔隙介質(zhì)的Biot動力固結理論，利用粘彈性人工邊界在ADINA中建立海床一管線相互作用的計算模型，結果表明粘彈性人工邊界在求解瞬態(tài)動力問題上比固定邊界更優(yōu)越、更接近于數(shù)值解。

梅魁和孟凡深（2010）探討了粘彈性人工邊界在ABAQUS中的實現(xiàn)，并應用其對混凝土重力壩二維橫截面模型進行動力分析。陳震和徐遠杰（2012）基于波動理論及ABAQUS用戶程序?qū)崿F(xiàn)了粘彈性人工邊界單元在ABAQUS中的應用并驗證了外源波動輸入的準確性。

綜上，圖2總結了粘彈性人工邊界在有限元軟件中實現(xiàn)的流程；表1統(tǒng)計了粘彈性人工邊界在不同軟件中的應用要點與相關成果。

3 結論

粘彈性人工邊界的理論在有限元軟件中的應用趨于成熟，隨著大型工程在抗震分析中對結構一地基動力相互作用的關注日漸增多，其在諸如大壩、核電站、跨海橋梁等重大工程的抗震分析中，將具有廣闊的應用前景。

（1）粘彈性人工邊界具有物理概念清晰，計算精度高及穩(wěn)定性強的優(yōu)點，是考慮地基輻射阻尼及近場波動問題的一種有效計算方法。

（2）粘彈性人工邊界目前已在多種通用有限元軟件中實現(xiàn)，包括SAP、Nastran、ANSYS、LS-DYNA、ADINA、ABAQUS等。其在諸如大型機器對結構基礎動力反應的內(nèi)源輸入問題中，具有方便實現(xiàn)、計算精確等優(yōu)點，已經(jīng)在實際工程中廣泛應用。

（3）粘彈性人工邊界提出的時間相對較短，工程人員對其理論與實現(xiàn)方法尚缺乏足夠理解。對于外源輸入問題，其在通用有限元軟件中一般需要做適當變換或二次開發(fā)才能方便應用，這一定程度上影響了粘彈性人工邊界在工程問題中的應用。