陳小伍：國內代數(shù)學界的新星

嚴永紅

專家簡介：

陳小伍，中國科學技術大學特任教授、博士生導師。2012年入選教育部新世紀優(yōu)秀人才支持計劃，2014年入選中科院卓越青年科學家項目，并獲得意大利國際理論物理中心ICTP的Junior Associate訪問資助，2015年獲得國家自然科學基金的優(yōu)秀青年基金項目。目前的研究領域為代數(shù)學，研究課題為三角范疇及其應用。

已在國內外權威期刊Adv. Math.，IMRN，Doc. Math.，Math. Z.以及 J. Algebra 等上發(fā)表30多篇論文，其中6篇論文被列入相應雜志當期Top 25 Hottest論文。2010年在意大利國際理論物理中ICTP舉辦的表示理論高級研討班以及在會議上做大會邀請報告，多次受邀參加德國Oberwolfach以及加拿大Banff舉辦的學術會議并做學術報告，任德國Gruyter Open出版社SCI雜志Open Math. 編委，受邀成為第十四屆全國代數(shù)學學術會議組織委員會成員。

法國哲學家笛卡兒曾說，數(shù)學是知識的工具，亦是其它知識工具的泉源。所有研究順序和度量的科學均與數(shù)學有關。在陳小伍看來，數(shù)學雖然是個十分抽象的學科，跟實驗學科有很大差別，沒有高科技設備儀器的輔助，做研究僅憑自己的頭腦思考問題，但卻并不枯燥，“若能發(fā)現(xiàn)不同知識間的聯(lián)系，那更是再興奮不過的事情了！”話語間的他面帶笑容。

從踏足代數(shù)學領域至今，陳小伍不僅證明了Gorenstein投射模的Auslander型定理：有限維Gorenstein代數(shù)僅具有有限多個不可分解Gorenstein投射模當且僅當其任意Gorenstein投射模均分解成有限維模的直和。他還得到了Frobenius范疇的Gabriel-Quillen型嵌入定理：任一Frobenius范疇均正合等價于某個范疇上的Gorenstein投射模范疇的容許子范疇。這些學術創(chuàng)新點無疑使陳小伍成為國內代數(shù)學界冉冉升起的一顆新星。

選擇“代數(shù)表示論”這塊年輕的土地

代數(shù)的奇點范疇，同Serre對偶問題和三角范疇的中心成為當前最熱門的研究課題，它們與代數(shù)的同調理論，Auslader-Reiten理論以及數(shù)學物理中的D-膜理論都有深刻的聯(lián)系。在此領域，陳小伍最大的成就莫過于發(fā)現(xiàn)了根方零代數(shù)的奇點范疇與Leavitt路代數(shù)的表示理論之間的聯(lián)系，具體構造了Leavitt路代數(shù)的不可約表示。

若為成功歸因，除了陳小伍極具悟性，還與興趣相關。對數(shù)學的熱愛貫穿于他求學、研究的全部歷程中，這是促使他成功的真正源動力。最初對數(shù)學的好奇源自于他上學時便顯露出的超出同齡人的計算能力，而且逐漸激發(fā)出強烈的熱愛，并貫穿于他嗣后的人生道路。

1998年，那年陳小伍17歲，經歷高考的拼搏，他以優(yōu)異的成績考入了中國科學技術大學數(shù)學系，攻讀基礎數(shù)學。4年青蔥歲月，陳小伍廣泛學習了各類課程，習得了不少專業(yè)知識。然而，他更鐘情于代數(shù)，也更為擅長。畢業(yè)之際，他便師從知名代數(shù)學家章璞教授專注代數(shù)研究。

陳小伍的研究領域為“代數(shù)表示論”，一個較年輕的學科分支，起源于上世紀六七十年代。我國的起步還要稍晚些，是被稱為國內代數(shù)表示論奠基人的劉紹學在蘇聯(lián)莫斯科大學學成歸來的同時把國外的教授請到國內授課，中國學生也被輸送到德國學習，隨著一批批學子回國才慢慢建立起我國的代數(shù)表示論學科。2008～2010年，陳小伍也獲得德國洪堡基金會資助，在Paderborn大學做博士后研究，合作導師為著名代數(shù)學家Henning Krause教授。

“代數(shù)表示論”旨在將代數(shù)結構中的元素“表示”成向量空間上的線性變換，藉以研究代數(shù)的性質。它主要關注代數(shù)的表示組合性質以及同調性質。陳小伍的關注點則更多傾向于后者。具體來說，他研究了代數(shù)的奇點范疇。

在“代數(shù)表示論”這塊年輕的土地上，陳小伍無疑是個開拓者。既然選擇，他只有孤注一擲。其代價是注定要付出更多的艱辛、揮灑更多的汗水。興趣使然，陳小伍沉浸在這片未墾之地辛勤勞作卻也甘之如飴。盡管孤獨，但心中有夢，他等待著深埋下的種子開出美麗的果實。

代數(shù)的奇點范疇

上世紀70年代，偉大的數(shù)學家A. Grothendieck引入了代數(shù)簇上的完備復形，其反映了代數(shù)簇的光滑性——代數(shù)簇是光滑的當且僅當其上的凝聚層均是完備的。這一想法被之后的數(shù)學家不斷發(fā)展。具體來說，代數(shù)的奇點范疇是由代數(shù)學家R.O. Buchweitz在1987年引入的，他指出奇點范疇與經典的奇點理論以及Gorenstein同調代數(shù)之間的緊密聯(lián)系。奇點范疇反映了代數(shù)的同調奇異性以及穩(wěn)定同調性質，它為整體維數(shù)無限的代數(shù)提供了新的不變量。同時，ICM 邀請報告人J. Rickard和B. Keller以及挪威皇家科學院院士D. Happel等人也做了相關研究。

對于仿射代數(shù)簇，其坐標環(huán)的奇點范疇反映了代數(shù)簇的奇異性?；谕陚鋸托蔚母拍睿鷶?shù)幾何學家D. Orlov于2003年引入了（非仿射）代數(shù)簇的奇點范疇，并將之應用到數(shù)學物理中的同調鏡像猜想；他還研究了分次奇點范疇，并將之應用到非交換射影幾何。

“近幾年的研究表明，奇點范疇與加權射影直線、非交換射影幾何以及非交換奇點解消等前沿課題均有著密切的聯(lián)系?！标愋∥橹赋?。

現(xiàn)有奇點范疇的結果主要集中在 Gorenstein代數(shù)上，對于非Gorenstein代數(shù)的奇點范疇人們知之甚少。根方零代數(shù)是一類重要的非Gorenstein代數(shù)。基于Keller-Vossieck的基本定理，陳小伍證明了根方零代數(shù)的奇點范疇三角等價于某個Von Neumann正則環(huán)的有限生成投射模范疇。利用箭圖的無限長度道路，他構造了Leavitt路代數(shù)的不可約表示；并證明這是由branching系統(tǒng)所能得到的所有不可約表示。相應的表示被國際知名代數(shù)學家稱為“陳（單）模”。endprint

隨后，陳小伍對根方零代數(shù)奇點范疇的緊致完備化范疇進行了研究，利用代數(shù)的分次泛局部化理論以及Koszul對偶理論，證明了該完備化范疇三角等價于Leavitt路代數(shù)的導出范疇，也三角等價于某個平凡擴張代數(shù)的Gorenstein投射模穩(wěn)定范疇。于是，他建立了根方零代數(shù)的奇點范疇與Leavitt路代數(shù)這類無限維代數(shù)之間的聯(lián)系。該聯(lián)系揭示了非Gorenstein代數(shù)奇點范疇的高度復雜性。相關論文發(fā)表在綜合性數(shù)學雜志Doc.Math.（2011），IMRN（2015）和Forum Math.（2015）。

陳小伍證明了根方零代數(shù)上存在非平凡的Gorenstein投射模當且僅當該代數(shù)為自內射代數(shù)。該結論揭示了一個新現(xiàn)象，即某些代數(shù)上的Gorenstein投射?？偸瞧椒驳?。利用代數(shù)retraction以及奇點等價，他和合作者完全刻畫了Nakayama代數(shù)的奇點范疇，并完全分類了低維Nakayama代數(shù)上的不可分解Gorenstein投射模。

加權射影直線是代數(shù)表示論中一類自然出現(xiàn)的非交換曲線，由德國著名代數(shù)學家H. Lenzing提出，它導出等價于C.M. Ringel意義下的典范代數(shù)?；贒. Orlov的三分律定理以及H. Lenzing等人的近期工作，可看出加權射影直線向量叢范疇與Frobenius范疇、分次奇點范疇、分次Gorenstein投射模范疇等均密切相關。正合范疇的Gabriel-Quillen型嵌入定理是同調代數(shù)中的基本定理。陳小伍證明了Frobenius范疇的Gabriel-Quillen型嵌入定理：任一Frobenius范疇均正合等價于某個范疇上的Gorenstein投射模范疇的容許子范疇。

緊接著，他又研究了Frobenius范疇的商范疇，并將之應用到加權射影直線的向量叢范疇，同時還研究了 Frobenius范疇的單態(tài)射范疇以及其上的傾斜對象，顯式地得到向量叢穩(wěn)定范疇的recollement。相關論文發(fā)表在綜合性數(shù)學雜志MRL（2011），Math. Z.（2012）和Bull. London Math. Soc.（2012）。這些論文啟發(fā)了國內外學者的相關后續(xù)工作。

沿著數(shù)學大家的路徑前行

基礎夯實，便可厚積薄發(fā)。在前期探索的基礎上，陳小伍繼續(xù)做進一步研究，于是他順利申請到國家自然基金項目“代數(shù)表示論與同調代數(shù)”。在新項目中，他將開展對以下研究：利用群等變范疇，研究tubular型加權射影直線的向量叢穩(wěn)定范疇和分次奇點范疇。

有限群等變范疇是由菲爾茨獎得主P. Deligne引入，之后兩次被ICM邀請報告人I. Reiten等應用到代數(shù)表示論。基于菲爾茨獎得主V. Drinfeld等人的工作，群等變范疇在張量范疇的分類中扮演著重要的角色；基于H. Lenzing等人的工作，加權射影直線的凝聚層范疇與某種群等變范疇是等價的。陳小伍主要關注tubular型的加權射影直線。這類非交換曲線導出等價于C.M. Ringel意義下的tubular代數(shù)。事實上，H. Lenzing等人的工作預示著這類加權射影直線的凝聚層范疇等價于橢圓曲線上的某種群等變凝聚層范疇。陳小伍則與同行合作研究了相關群等變范疇以及相應的分次代數(shù)，并給出范疇等價函子。相關論文發(fā)表在IMRN（2015）。

正如H. Lenzing在文中指出的，相關工作將挪威皇家科學院院士C.M. Ringel關于tubular代數(shù)的工作與菲爾茨獎得主M. Atiyah關于橢圓曲線的經典工作聯(lián)系起來。據(jù)陳小伍介紹，項目將采取理論探索與研討相結合的研究方式?！拔覀償M研究加權射影直線上向量叢范疇的同調性質，這與我們前期工作緊密相關”，他擬利用群等變范疇的理論研究不可分解向量叢的分類問題以及傾斜對象的分類問題，并擬研究齊次坐標環(huán)上的分次Gorenstein投射模的分類問題，同時研究分次奇點范疇的同調性質。

牛頓曾說過，如果說我比別人看得更遠些，那是因為我站在了巨人的肩膀上。的確，科學的金字塔就是這樣一代一代壘起來的。陳小伍游走在代數(shù)的神秘世界中，沿著數(shù)學大家的路徑前行，一步一個腳印地將數(shù)學的歷史長軸又向前再推進了一步。老一輩終將退居幕后，新一代時刻緊隨而上，傳承的力量在無形中迸發(fā)，散落出的星星之火照亮整個數(shù)學王國。

堅持與著迷

流連在數(shù)學王國樂而忘返，數(shù)學慢慢成為了陳小伍的理想國。而這片理想國的邊界早已躍出了學校的課堂，早已掙脫他速算能力超越同齡人的沾沾自喜，他目極八荒地馳騁在這數(shù)學王國里，推敲、琢磨每一道題，翻看、咀嚼每一頁書……如饑似渴地閱讀、演算。這里，不做實驗，沒有數(shù)據(jù)分析，陪伴他們的就只有一篇篇經典論文。

哲人曰：“孤獨不是一種狀態(tài)，而是一種選擇?！标愋∥榫褪沁@少數(shù)選擇孤獨的人。他選擇孤獨，并不是他憤世嫉俗，也不是在象牙塔里自我感動，只因為他愿意并且只愿意在思考和理性的平臺上和永恒無限的上蒼對話。

博士后出站后，陳小伍有幸赴德國Paderborn大學訪學。那段時間，他最大的感受是國外做學問的純粹，所謂的“純粹”就是與報酬沒有絲毫關系。報告講座幾乎周周都有，沒有大張旗鼓的歡迎儀式，來訪教授往往都是在講臺上酣暢淋漓交流一番后，喝過一杯咖啡就離開了。

星辰不光綻放自身光芒，更因能其照亮前路而彌足珍貴。如今在中國科學技術大學特任教授、博士生導師的陳小伍是一名執(zhí)教者。他把這一身份擺在與科研者同樣重要的地位。他提到，自己很愿意作為數(shù)學愛好者的啟蒙者、導師、引路人，當然這些都需要在實踐中慢慢摸索經驗。不論是研究還是教學，陳小伍都非?？粗嘏c同行交流的機會，因為交流而激發(fā)靈感，因為碰撞迸發(fā)創(chuàng)新。但是，交流需要平臺。目前由于各種政策的限制，想要創(chuàng)建一個國內外同行見面交流的機會，無疑還有些困難?？蒲姓咝枰枷牖ネǖ穆窂?，所以包括陳小伍在內的數(shù)學科研者們都在急切呼吁國家能提供相關機會。

數(shù)學家常常被人們稱為天才，因為他們能做常人所不及的提疑答惑。但陳小伍經常對自己的博士生們說，“聰明沒用，重要的是堅持，年復一年地看一篇文章，年復一年地想一個問題”。也許正如努瓦列斯所表達的“數(shù)學家本質上是個著迷者，不迷就沒有數(shù)學”。陳小伍正是抱著這份對數(shù)學的執(zhí)著和熱愛，在數(shù)學的星空留下串串閃光。endprint