關(guān)于高中數(shù)學(xué)向量教學(xué)問題的探討

馮杰

【摘要】向量在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有較強(qiáng)的實(shí)用性，尤其是它獨(dú)特的數(shù)形結(jié)合特征，可以幫助我們解決許多數(shù)學(xué)難題.同時(shí)，向量還可以將高中數(shù)學(xué)的各部分知識有機(jī)組合在一起.因此，若要增強(qiáng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的系統(tǒng)性，就必須關(guān)注向量教學(xué).本文首先分析了向量在不等式證明、三角函數(shù)、平面幾何等方面的應(yīng)用.又在此基礎(chǔ)上提出了高中數(shù)學(xué)向量教學(xué)的建議，即關(guān)注向量的語言教學(xué)、強(qiáng)化向量概念教學(xué)、提倡向量的探究性教學(xué)、在向量教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想.希望以此促進(jìn)向量教學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；向量；建議

早在19世紀(jì)數(shù)學(xué)家與物理學(xué)家就已經(jīng)對向量進(jìn)行了深入研究，但直至20世紀(jì)，向量才被運(yùn)用到數(shù)學(xué)領(lǐng)域.到20世紀(jì)90年代，向量正式成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)重點(diǎn)，被納入高中教學(xué)體系.有效利用向量可以解決許多數(shù)學(xué)問題.向量將數(shù)和形有機(jī)結(jié)合在一起，具有數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn).它既可以表示物體的長度、面積等，也能夠反映物體的位置.此外，向量還可以將一些抽象問題具體化，轉(zhuǎn)換為更為直觀的模型，幫助我們分析和解決問題，提高數(shù)學(xué)教學(xué)效率.因此，深入研究向量問題不僅具有理論意義，還具有鮮明的現(xiàn)實(shí)意義.

一、向量在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1.向量在不等式證明中的應(yīng)用

高中階段，不等式證明是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，若我們合理運(yùn)用向量知識對不等式進(jìn)行適當(dāng)變形，就會簡化做題過程.例如：不等式（a2+b2）（c2+d2） ≥（ac+bd）2， c≠0，d≠0.證明：當(dāng)且僅當(dāng)a/c=b/d時(shí)，不等式等號成立.細(xì)致觀察此類不等式就不難發(fā)現(xiàn)，括號中的部分與向量的數(shù)量積類似.所以，我們可以設(shè)向量Q=（a，b），P=（c，d）.根據(jù)數(shù)量積定義，當(dāng)兩向量平行時(shí)等號成立，由平行向量的特點(diǎn)不難得出等式：ad-bc=0.轉(zhuǎn)換一下就可以得出題中所要的證明結(jié)果a/c=b/d.可見，在進(jìn)行不等式證明時(shí)，適當(dāng)?shù)倪\(yùn)用向量知識，將數(shù)字轉(zhuǎn)換為向量，就能夠?qū)⒊橄蟮膯栴}具體化，進(jìn)而簡化解題過程.需要注意的是，在運(yùn)用向量解決不等式問題時(shí)，教師要提醒學(xué)生應(yīng)認(rèn)真觀察不等式的特點(diǎn)，尋找合適的切入點(diǎn)，然后運(yùn)用向量逐步解答.

2.向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容，同時(shí)也是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重難點(diǎn).教師可以引導(dǎo)學(xué)生將一些三角函數(shù)問題與向量結(jié)合在一起，就可以做到有效解題.例如，在三角形ABC中，若cosA+cosB-cos（A+B）=3[]2，求角A，B的度數(shù).誠然化簡式子求解比較困難.換個(gè)角度看，首先，我們可以根據(jù)兩角差的余弦公式，將這個(gè)等式變換為（1-cosB）cosA+sinAsinB=3/2-cosB.顯然，變換后得到的等式左邊可以看成以下向量的數(shù)量積.設(shè)向量Q=（cosA，sinA）；P=（1-cosB，sinB）.利用數(shù)量積運(yùn)算并結(jié)合數(shù)量積定義、性質(zhì)加以分析就可以得到cosB=1/2.得出角B為600.代入原式即可得到A的度數(shù).通過以上例證可以看到，在三角函數(shù)的解答中引入向量，可以使三角函數(shù)的關(guān)系更加具體，并簡化變形步驟，加快解題速度.

3.向量在平面幾何中的應(yīng)用

在平面幾何解題中同樣可以引入向量，可拓展并優(yōu)化解題思路和方法.例如，三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（2，0），B（-3，1），C（0，-2），若D，E，F(xiàn)分別為線段AB，AC，BC的中點(diǎn)，求解直線DE，EF，DF的方程.可以設(shè)D坐標(biāo)（-0.5，0.5），E坐標(biāo)（1，-1），F(xiàn)坐標(biāo)（-1.5，-0.5）.G（x，y）為直線BC上的點(diǎn)，運(yùn)用BC與BG的平行關(guān)系就能夠求解關(guān)于直線BC的方程.在平面解析幾何中直線位置關(guān)系、線段長度問題等經(jīng)常轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積問題求解.可見，在平面幾何中巧妙運(yùn)用向量及其坐標(biāo)，可以輕松解決相關(guān)幾何問題.

二、高中數(shù)學(xué)向量教學(xué)建議

通過以上分析不難發(fā)現(xiàn)，向量在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用廣泛，學(xué)生在解答三角函數(shù)、平面幾何等問題時(shí)，若能合理運(yùn)用向量就可以優(yōu)化和簡化做題步驟，從而提高做題效率.但目前，仍有大部分學(xué)生無法靈活運(yùn)用向量，這說明在向量教學(xué)中依然存在較多問題，需要我們繼續(xù)深入研究和解決，因此，本文在調(diào)查探究的基礎(chǔ)上，提出以下教學(xué)建議：

1.關(guān)注向量的語言教學(xué)

語言作為人類表達(dá)情意的重要符號，對人們的溝通交流起著重要作用.數(shù)學(xué)語言則屬于特殊的形式化符號，將人們的數(shù)學(xué)思維具體化，使抽象的思維形式以可見的形式展示出來.整體來看，數(shù)學(xué)語言主要包括圖形語言、文字語言和符號語言.作為一門實(shí)用性課程，數(shù)學(xué)往往將現(xiàn)實(shí)問題理論化、抽象化，然后在參照現(xiàn)實(shí)的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而形成特定的數(shù)學(xué)語言，根據(jù)基本數(shù)學(xué)原理和公式加以解決.向量則是數(shù)與形的結(jié)合.因此，若要加強(qiáng)學(xué)生對向量的理解和認(rèn)識，就必須指導(dǎo)學(xué)生掌握圖形語言、文字語言和符號語言，并加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練.向量語言是向量教學(xué)的基礎(chǔ)，并貫穿始終.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師首先要明白學(xué)生對向量語言的積累是一個(gè)緩慢的過程.因此，在初始階段，學(xué)生對向量認(rèn)識不夠深入，所以不能要求學(xué)生立馬準(zhǔn)確的完成向量語言的轉(zhuǎn)換.在實(shí)際教學(xué)過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)向量語言的具體內(nèi)容進(jìn)行模仿、口頭表達(dá)和書面表達(dá)，循序漸進(jìn)的掌握向量語言.需要強(qiáng)調(diào)的是，在這個(gè)積累和學(xué)習(xí)的過程中，教師必須及時(shí)給予學(xué)生正確的指導(dǎo)和規(guī)范的示范.這就要求教師本人首先要準(zhǔn)確掌握向量的定義、概念和定理，并不斷地精煉和規(guī)范自己的表述.其次，為了增加學(xué)生對向量語言的學(xué)習(xí)興趣，教師可以搜集、整理一些關(guān)于向量符號語言、文字語言、圖形語言的習(xí)題，讓學(xué)生在實(shí)踐中分析向量語言，并在具體的題目中加以檢驗(yàn)和鞏固.同時(shí)，教師還可以要求學(xué)生會運(yùn)用、會表述、會翻譯向量的這三種語言，并準(zhǔn)確掌握其定理、概念和定義，明確使用向量的條件.在準(zhǔn)確、熟練掌握向量語言的基礎(chǔ)上，更好地發(fā)揮向量的工具性作用.

2.強(qiáng)化向量概念教學(xué)

首先，要運(yùn)用數(shù)學(xué)模型和實(shí)際例子引出向量概念.其實(shí)學(xué)生通過物理學(xué)習(xí)已經(jīng)掌握了位移、力、速度等有方向和大小的矢量，這就為向量概念學(xué)習(xí)提供了基礎(chǔ).因此，在高中向量教學(xué)中教師可以采取措施，將學(xué)生已經(jīng)掌握的這些知識與向量概念聯(lián)系起來，讓學(xué)生通過相關(guān)的物理模型對向量概念產(chǎn)生感性認(rèn)知.進(jìn)而以此為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識向量概念的本質(zhì).“位移”不僅是物理學(xué)概念，還是重要的幾何研究對象，在高中幾何教學(xué)中常用位移明確兩點(diǎn)之間的關(guān)系.因此，在向量教學(xué)中可以用位移作為了解向量概念的重要物理模型.同時(shí)，物理學(xué)中常見的拉力、壓力和浮力等都是有方向和大小的量.因此，教師可以讓學(xué)生在課堂上列舉物理學(xué)中關(guān)于力的例子，進(jìn)而啟發(fā)學(xué)生探究向量概念與矢量概念的關(guān)系，從而自然過渡到向量概念的講解中.

其次，還可以通過類比方法學(xué)習(xí)向量的概念.教師可以先啟發(fā)學(xué)生思考路程、時(shí)間、速度、功、加速度是不是向量.引導(dǎo)學(xué)生將這些概念進(jìn)行多方位比較，在比較中了解向量概念的相關(guān)知識.當(dāng)然，除了這些課本教材中的例子，教師還可以讓學(xué)生在生活中尋找“只有大小，沒有方向”，以及“大小、方向都有”的量，并鼓勵學(xué)生積極說出自己的發(fā)現(xiàn)，這一方面可以活躍課堂氣氛，激發(fā)學(xué)生在向量學(xué)習(xí)中的積極性，另一方面也可以通過形象的例子，加深學(xué)生對向量概念的理解和掌握.

再次，要充分調(diào)動原有知識學(xué)習(xí)向量概念.在必修四中學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了有關(guān)平面向量的知識，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考平面向量與空間向量的關(guān)系，進(jìn)而掌握空間向量的概念.平面向量到空間向量的推廣是二維到三維的擴(kuò)充，例如在坐標(biāo)系中，平面向量研究的對象范圍是（x，y），空間向量所屬范圍則是（x，y，z）.因此，在學(xué)習(xí)空間向量的概念時(shí)，由于學(xué)生已經(jīng)有了關(guān)于平面向量坐標(biāo)的印象，所以很容易就能想到空間向量坐標(biāo)也是由有序?qū)崝?shù)組成的.同時(shí)，空間向量數(shù)量積概念和基本定理概念，及其坐標(biāo)都能夠在平面向量的基礎(chǔ)上取得.總之，概念的部分意義往往已經(jīng)被屬概念的定義揭示了，因此，教師在講解新概念時(shí)，要緊緊圍繞種概念的本質(zhì)，將新的概念知識融入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中.這其實(shí)也是一種知識的同化過程.向量概念是學(xué)生學(xué)習(xí)向量的基礎(chǔ)，同時(shí)，向量又是學(xué)生學(xué)習(xí)幾何、代數(shù)的有效工具.因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)關(guān)注向量概念的講授，讓學(xué)生在扎實(shí)掌握向量概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行習(xí)題訓(xùn)練，只有這樣才能避免向量知識的混亂.

3.提倡向量的探究性教學(xué)

探究式學(xué)習(xí)是新課改的重要理念，在這種理念的影響下，高中數(shù)學(xué)教材也做了相應(yīng)調(diào)整.例如，關(guān)于平面向量的教學(xué)安排了五個(gè)章節(jié)，并設(shè)置了十個(gè)探究性問題.調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，目前仍有部分教師未能完全適應(yīng)這種探究式教學(xué)，對教材中的探究性問題不予理睬，很少留給學(xué)生時(shí)間讓他們進(jìn)行探討、思辨.這主要是因?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)課程緊張，而課堂容量有限，許多教師擔(dān)心探究性問題耽誤時(shí)間，無法令其完成教學(xué)任務(wù).但若真正掌握了探究性學(xué)習(xí)的要義，就能夠運(yùn)用這種學(xué)習(xí)方法不斷開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新性思維，挖掘?qū)W生的數(shù)學(xué)潛力.當(dāng)然，探究性學(xué)習(xí)要注意方式的多樣化.教師可以讓學(xué)生運(yùn)用向量知識解決一些生活中常見的難題，一方面可以增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，另一方面也可以增添學(xué)生的成就感.此外，教師還可以與物理學(xué)知識聯(lián)系起來，為學(xué)生設(shè)置相關(guān)的向量探究問題，加強(qiáng)學(xué)科融合，增強(qiáng)學(xué)生知識的系統(tǒng)性.

4.在向量教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想

首先，向量教學(xué)中可以滲透平移轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)思想，這種思想方法不僅可以簡化復(fù)雜的函數(shù)解析式，還可以明確幾何圖形中的一些隱藏關(guān)系.例如，在引入空間向量這一概念時(shí)可以采用平行四邊形的平移法.教師可以指導(dǎo)學(xué)生在紙上畫出一個(gè)平行四邊形，然后將圖形剪下來，并在空間中多角度平移，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)平移的軌跡思考空間向量.教師還可以讓學(xué)生做一些大小不同的向量模型，以及有刻度的空間直角坐標(biāo)系，并讓不同的向量在坐標(biāo)系內(nèi)平移，然后讓學(xué)生根據(jù)觀察、分析結(jié)果，得出（x，y，z）表示向量a的結(jié)論.其次，還可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，因?yàn)橄蛄勘旧砭途哂袔缀闻c代數(shù)的雙重特性，因此，在向量教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)數(shù)形信息，由數(shù)思形，以形助數(shù)，提高學(xué)生的空間想象能力.此外，還可以運(yùn)用化歸轉(zhuǎn)化的思想.在向量教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用這種數(shù)學(xué)思想，以便準(zhǔn)確、迅速的解答題目.例如，關(guān)于向量的平行問題、夾角問題都可以轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的向量坐標(biāo)運(yùn)算.三角形形狀的判定，同樣可以運(yùn)用這種思想，將其轉(zhuǎn)化為判斷向量數(shù)量積的問題.

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