基于新課程論函數(shù)思想在數(shù)列中的重要性

陳芝熹

摘 要：高中新課標(biāo)對“雙基”提出明確要求，學(xué)習(xí)數(shù)列不僅要學(xué)基本知識概念，還要學(xué)會建立數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，用函數(shù)思想觀點去研究數(shù)列的相關(guān)問題。但在實際教學(xué)中，一些教師并沒有函數(shù)思想滲透進(jìn)數(shù)列教學(xué)中，一些學(xué)生也沒有用函數(shù)思想解數(shù)列題的意識。本文將從教材與應(yīng)用出發(fā)，對數(shù)列與函數(shù)聯(lián)系以及函數(shù)在數(shù)列中的體現(xiàn)進(jìn)行分析，從而說明函數(shù)思想對數(shù)列內(nèi)容學(xué)習(xí)的重要性。

關(guān)鍵詞：新課程；數(shù)列；函數(shù)思想；重要性

中圖分類號：G633文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號：2095-9214（2016）07-0041-01

一、問題提出

新課程對“雙基”的要求越來越明確，其中對于數(shù)列內(nèi)容的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生不僅掌握數(shù)列的概念以及基本知識、理解這些概念及其本質(zhì)，還要體會其中所蘊含的數(shù)學(xué)思想，對數(shù)列內(nèi)容的處理突出函數(shù)思想、數(shù)學(xué)模型思想以及離散與連續(xù)的關(guān)系，能夠?qū)W以致用。但在有些教學(xué)課堂中常?？吹竭@樣的現(xiàn)象：僅僅單純講數(shù)列知識，很少將函數(shù)思想融入。而函數(shù)與數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的兩大模塊，有著舉足若輕的位置，更有著密不可分的關(guān)系。

二、在人教版教材數(shù)列一章中函數(shù)思想的體現(xiàn)

1.教學(xué)目標(biāo)中對函數(shù)的要求

新課程教學(xué)目標(biāo)要求學(xué)生不僅要對基礎(chǔ)知識的掌握，還要認(rèn)識現(xiàn)實世界和實際生活的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。數(shù)列作為一種離散函數(shù)，是一種重要的數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生能用函數(shù)的背景和研究方法來認(rèn)識、研究數(shù)列，從而能解決一些實際問題。

2.教材內(nèi)容的編排上函數(shù)思想的體現(xiàn)

從教材編排上，函數(shù)內(nèi)容幾乎是必修1中所有內(nèi)容，而數(shù)列在必修5第二章以一個獨立章節(jié)出現(xiàn)，約占12個課時，說明這兩個模塊在高中數(shù)學(xué)上都處于相當(dāng)重要地位。而函數(shù)知識幾乎貫穿高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始末，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起著決定性作用。數(shù)列一章中學(xué)習(xí)，與函數(shù)的聯(lián)系大部分是在概念和例題中直接體現(xiàn)出來，幾乎每一節(jié)都能可看到函數(shù)的身影。

人教版高中數(shù)學(xué)必修5中2.1數(shù)列的概念和簡單表示法一節(jié)中，解釋數(shù)列的概念時將數(shù)列看成是：以正整數(shù)集N為定義域的函數(shù)an=fn當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應(yīng)的一對函數(shù)值。利用了函數(shù)的概念解釋數(shù)列的概念，以及接下來在數(shù)列的簡單表示法中介紹了通項公式、列表法、圖像法、簡單的遞推公式四種表示法，其中的通項公式可看成數(shù)列的函數(shù)解析式，列表法和圖像法也正是函數(shù)的表示法，這恰恰呼應(yīng)了數(shù)列是一種特殊函數(shù)。有了前面數(shù)列是一種特殊函數(shù)做鋪墊，在后面等差數(shù)列和等比數(shù)列的學(xué)習(xí)中更加明確突出了與函數(shù)的聯(lián)系。

如2.2等差數(shù)列例3，已知數(shù)列an的通項公式為an=pn+q，其中p，q為常數(shù)，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？此題通過利用等差數(shù)列的定義判定an是不是等差數(shù)列，最終得到an-an-1=d（n≥2）是一個與n無關(guān)的常數(shù)，證明這個數(shù)列是等差數(shù)列。此題把等差數(shù)列通項公式和一次函數(shù)聯(lián)系起來，揭示了等差數(shù)列通項公式的結(jié)構(gòu)特征：對于通項公式是形如an=pn+q的數(shù)列，一定是等差數(shù)列，一次項系數(shù)p就是這個等差數(shù)列的公差，首項是p+q。

同樣地，我們能從等差數(shù)列前n項和的公式的結(jié)構(gòu)特征上認(rèn)識到一個數(shù)列的前n項和是常數(shù)項為0的關(guān)于n的二次型函數(shù)，這是一個等差數(shù)列。既然等差數(shù)列前項和的公式是一個二次型函數(shù)，那就可以利用二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求解，如例4中已知等差數(shù)列的前項和Sn，求使得Sn最大的序號n的值。

在2.4 和2.5節(jié)等比數(shù)列及其前n項和這兩節(jié)中探究將等比數(shù)列看作是指數(shù)型函數(shù)利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)特征總結(jié)等比數(shù)列的單調(diào)性。從新課程教材內(nèi)容看到，函數(shù)思想貫穿數(shù)列這章節(jié)的始末，每一部分的內(nèi)容都強調(diào)將數(shù)列與函數(shù)聯(lián)系，達(dá)到進(jìn)一步認(rèn)識掌握數(shù)列、鞏固函數(shù)知識的目的，可見函數(shù)思想在數(shù)列的教學(xué)與學(xué)習(xí)中的重要性。所以在數(shù)列的整個學(xué)習(xí)過程中，強調(diào)用函數(shù)的思想和研究方法去認(rèn)識研究數(shù)列，實現(xiàn)數(shù)列與函數(shù)的融合。

三、函數(shù)思想在數(shù)列高考題中的應(yīng)用

從課本中講到數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，與函數(shù)思想有著密切的聯(lián)系.事實上在高考的數(shù)列題中也可以利用函數(shù)的性質(zhì)解答。例如：

四、總結(jié)

新課程下函數(shù)思想在數(shù)列中的重要性不僅在教材、教學(xué)、學(xué)習(xí)上有充分體現(xiàn)，在應(yīng)用上如高考題中也有涉及。所以這就要求了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列時要時刻用函數(shù)的觀點去探究數(shù)列知識，更要求了教師在教學(xué)中將函數(shù)思想融入到數(shù)列教學(xué)中，循序漸進(jìn)地幫助學(xué)生建立數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系，這不僅幫助學(xué)生更深層次地理解數(shù)列概念本質(zhì)，也提高了他們對函數(shù)的進(jìn)一步把握與應(yīng)用，建立了知識間的聯(lián)系，幫助培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題化歸與轉(zhuǎn)化的能力。

（作者單位：西華師范大學(xué)）

參考文獻(xiàn)：

[1]數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）解讀[M].南京：江蘇教育出版社，2004.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）必修5[M].北京：人民教育出版社，2007.

[3]張翠.函數(shù)思想在高中數(shù)列中的滲透與應(yīng)用[D].西安：西北大學(xué)，2015.

[4]白曉潔.新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)數(shù)列問題的研究[D].河南：河南師范大學(xué)，2013.