廣義隨機(jī)仿射系統(tǒng)的線性二次控制

朱懷念, 張成科, 曹　銘, 賓　寧

(廣東工業(yè)大學(xué) 1.經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易學(xué)院; 2.管理學(xué)院，廣東 廣州 510520)

廣義隨機(jī)仿射系統(tǒng)的線性二次控制

朱懷念1, 張成科1, 曹銘2, 賓寧2

(廣東工業(yè)大學(xué) 1.經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易學(xué)院; 2.管理學(xué)院，廣東 廣州 510520)

摘要:研究了一類連續(xù)時(shí)間廣義隨機(jī)仿射系統(tǒng)的線性二次(Linear Quadratic, LQ)控制問(wèn)題.在定義了廣義隨機(jī)系統(tǒng)穩(wěn)定性的相關(guān)概念后，通過(guò)一個(gè)線性矩陣不等式(Linear Matrix Inequality, LMI)給出了系統(tǒng)穩(wěn)定性的條件.然后，利用Riccati方程法分別研究了有限時(shí)間廣義隨機(jī)仿射系統(tǒng)的LQ問(wèn)題和無(wú)限時(shí)間廣義隨機(jī)系統(tǒng)的LQ問(wèn)題，得到了有限時(shí)間最優(yōu)反饋控制的存在條件等價(jià)于一個(gè)推廣的微分Riccati方程和一個(gè)推廣的倒向微分方程存在解，而對(duì)應(yīng)的無(wú)限時(shí)間最優(yōu)反饋控制的存在條件等價(jià)于一個(gè)推廣的代數(shù)Riccati方程存在解，同時(shí)給出了最優(yōu)反饋控制的顯式表達(dá)及最優(yōu)性能指標(biāo)值.

關(guān)鍵詞:廣義隨機(jī)仿射系統(tǒng); 線性二次控制; 線性矩陣不等式; Riccati方程

廣義系統(tǒng)[1]是一類更一般化且具有廣泛應(yīng)用背景的動(dòng)力系統(tǒng)，大量出現(xiàn)在許多實(shí)際的系統(tǒng)模型中，如電力系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、受限機(jī)器人、電子網(wǎng)絡(luò)和宇航系統(tǒng)等[2]，所以對(duì)它的研究具有重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值，迄今為止已取得了豐碩成果[3-4].同時(shí)，現(xiàn)實(shí)世界中的許多系統(tǒng)都不可避免地存在不確定性，這些不確定性影響到人類為尋找最優(yōu)結(jié)果而付出的努力，因而隨機(jī)系統(tǒng)的研究也引起了學(xué)術(shù)界越來(lái)越多的關(guān)注[5-10].

近年來(lái)，將兩者結(jié)合起來(lái)的廣義隨機(jī)系統(tǒng)成為了控制領(lǐng)域的一大研究熱點(diǎn)[11-15].文獻(xiàn)[11-12]分別討論了連續(xù)時(shí)間廣義混雜系統(tǒng)的穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定性，文獻(xiàn)[13]基于廣義混雜系統(tǒng)的穩(wěn)定性結(jié)果，提出了廣義線性隨機(jī)混雜系統(tǒng)均方穩(wěn)定的判定定理，文獻(xiàn)[14]對(duì)文獻(xiàn)[13]的結(jié)果進(jìn)行了改進(jìn)，得到了連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間廣義線性It隨機(jī)系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件，文獻(xiàn)[15]研究了連續(xù)時(shí)間廣義線性It隨機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和LQ控制問(wèn)題.

縱觀以上文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，廣義隨機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析已經(jīng)取得到較豐富的成果，但關(guān)于廣義隨機(jī)仿射系統(tǒng)LQ控制的研究還比較少.而隨機(jī)仿射系統(tǒng)的LQ控制問(wèn)題有著強(qiáng)大的應(yīng)用背景，一個(gè)典型的例子就是基于隨機(jī)LQ框架的連續(xù)時(shí)間均值-方差型投資組合選擇問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造一個(gè)輔助問(wèn)題，可以將該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)隨機(jī)仿射系統(tǒng)的LQ控制問(wèn)題，詳細(xì)分析見(jiàn)文獻(xiàn)[8].另一個(gè)典型的應(yīng)用就是主-從隨機(jī)LQ微分博弈問(wèn)題，詳細(xì)分析見(jiàn)下一節(jié)的研究動(dòng)機(jī)部分.此外，當(dāng)利用隨機(jī)線性系統(tǒng)的LQ控制去逼近求解隨機(jī)非線性系統(tǒng)的最優(yōu)控制策略時(shí)，隨機(jī)仿射系統(tǒng)的LQ控制也發(fā)揮著重要的作用.

本文在文獻(xiàn)[12]和[14]有關(guān)廣義隨機(jī)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的基礎(chǔ)上，研究廣義隨機(jī)仿射系統(tǒng)的LQ控制問(wèn)題.一方面將文獻(xiàn)[6]中正常線性It隨機(jī)系統(tǒng)的LQ控制問(wèn)題拓展到廣義隨機(jī)仿射系統(tǒng)的LQ控制中；另一方面將文獻(xiàn)[15]中廣義線性It隨機(jī)系統(tǒng)LQ控制的相關(guān)結(jié)果推廣至廣義隨機(jī)仿射系統(tǒng)中，同時(shí)也指出了文獻(xiàn)[15]中有待改進(jìn)的地方并給出了解釋，因而本文的工作有著較好的理論意義和現(xiàn)實(shí)應(yīng)用價(jià)值.

1預(yù)備知識(shí)

1.1研究動(dòng)機(jī)

考慮有限時(shí)間廣義主-從(leader-follower)隨機(jī)LQ微分博弈問(wèn)題，博弈系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為

(1)

其中E是rank(E)=r≤n的n-階常數(shù)矩陣；A(·)、B1(·)、B2(·)、C(·)、D1(·)和D2(·)是具有適當(dāng)維數(shù)的有界矩陣；x(·)∈n為狀態(tài)過(guò)程；u1(·)和u2(·)是兩個(gè)容許控制過(guò)程，表示博弈人1(記為從者，follower)和2(記為主者，leader)的控制策略，其允許策略集合分別記為U1[0,T]m1)和U2[0,T]m2)；W(·)是定義在完備概率空間(Ω,F,{Ft}t≥0,P)上的一維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).博弈人的性能指標(biāo)定義為

(2)

其中Qi(·)∈j.

在廣義主-從隨機(jī)LQ微分博弈問(wèn)題中，博弈人i的目標(biāo)是通過(guò)選取控制策略u(píng)i(·)∈Ui[0,T]使性能指標(biāo)Ji(x0;ui(·),uj(·))最小化.進(jìn)一步，為了得到該博弈問(wèn)題的均衡解，可將該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解下述兩個(gè)隨機(jī)LQ問(wèn)題來(lái)實(shí)現(xiàn).

LQ問(wèn)題1：給定博弈人2的控制策略u(píng)2(·)∈U2[0,T]，對(duì)于固定的x0∈n，博弈人1選擇u1(·)∈U1[0,T]，使得).LQ問(wèn)題2：當(dāng)博弈人1選擇了其最優(yōu)策略后，博弈人2選擇u2(·)∈U2[0,T]，使得

其中f(·)=B2(·)u2(·)，g(·)=D2(·)u2(·)，這是一個(gè)典型的廣義隨機(jī)仿射系統(tǒng)的LQ問(wèn)題.當(dāng)從者得到其最優(yōu)控制策略后，將最優(yōu)控制策略代回博弈系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程(1)，求解主者最優(yōu)控制策略的LQ問(wèn)題2也是一個(gè)廣義隨機(jī)仿射系統(tǒng)的LQ問(wèn)題.當(dāng)E=I時(shí)正常系統(tǒng)的主-從隨機(jī)LQ微分博弈問(wèn)題，詳細(xì)分析見(jiàn)文獻(xiàn)[16]，而一般系統(tǒng)的主-從隨機(jī)微分博弈問(wèn)題，見(jiàn)文獻(xiàn)[17]的詳細(xì)論述.

1.2記號(hào)和一些有用的引理

令(Ω,F,{Ft}t≥0,P)是一個(gè)完備概率空間，其上定義了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng){W(t)}t≥0，{Ft}t≥0為{W(t)}t≥0生成的自然信息流.對(duì)固定的T>0，定義下面的空間：

此外，為了表述的方便，在全文中引入下面記號(hào)：

MT：矩陣或向量M的轉(zhuǎn)置；Tr(M)：矩陣M的跡；det(M)：矩陣M的行列式；deg(f)：多項(xiàng)式f的次數(shù)；n×m：n×m階矩陣的全體；Sn：n×n階對(duì)稱矩陣的全體；：n×n階非負(fù)定對(duì)稱矩陣的全體；階正定對(duì)稱矩陣的全體；(0,T;X)：Banach空間上定義在[0,T]上X-值連續(xù)函數(shù)的全體.

考慮下式描述的廣義隨機(jī)系統(tǒng)

(4)

為了保證系統(tǒng)(4)解的存在唯一性，引入下面的引理.

引理1[14]如果存在一對(duì)非奇異矩陣M∈n×n和N∈n×n，使得對(duì)三元組(E,A,F)，下述至少一個(gè)條件成立時(shí)，則式(4)存在唯一解.

其中A1,F1∈r×r，F(xiàn)2∈r×(n-r)，F(xiàn)3∈(n-r)×(n-r).

在控制理論中，系統(tǒng)的穩(wěn)定性是一個(gè)非常重要的概念，它是系統(tǒng)能否正常工作的最基本條件，因而在研究廣義隨機(jī)仿射系統(tǒng)LQ控制問(wèn)題之前，我們先給出有關(guān)系統(tǒng)穩(wěn)定性的一些定義和引理.

定義1[14]對(duì)于系統(tǒng)(4)

(i) 如果存在常數(shù)s，使得det(sE-A)≠0，則稱系統(tǒng)(4)是正則的；

(ii) 如果deg(det(sE-A))=rank(E)，則稱系統(tǒng)(4)是無(wú)脈沖的；

(iii) 如果對(duì)于任意的允許初態(tài)x0∈n，系統(tǒng)(4)的解x(t)滿足‖x(t)‖2=0，則稱系統(tǒng)(4)是漸近均方穩(wěn)定的；

(iv) 系統(tǒng)(4)是漸近均方容許的，如果它是正則、無(wú)脈沖且漸近均方穩(wěn)定的.

引理2[18]設(shè)一個(gè)n-維過(guò)程x(·)滿足隨機(jī)微分方程

dx(t)=f(t,x(t))dt+g(t,x(t))dW(t).

給定V(t,x(t))∈2([0,T]×n)，則有

dV(t,x(t))=ΓV(t,x(t))dt+

下述引理給出了系統(tǒng)(4)穩(wěn)定的條件，同時(shí)修正了文獻(xiàn)[15]中的定理 3.1.

引理3如果存在一個(gè)非奇異對(duì)稱矩陣P，使得下述LMI成立

ATPE+ETPA+FTPF<0,

(5)

則系統(tǒng)(4)是漸近均方容許的.

證明 首先選取形如

V(x(t))=xT(t)ETPEx(t)

的Lyapunov函數(shù)V，然后采取文獻(xiàn)[19]中的分析方法，不難得到系統(tǒng)(4)滿足正則、無(wú)脈沖和漸近均方穩(wěn)定的條件，即系統(tǒng)(4)是漸近均方容許的.引理1證畢.

d(xT(t)ETP(t)x(t))=d(xT(t)ET)P(t)x(t)+xT(t)PT(t)d(Ex(t))+d(xT(t)ET)P(t)d(x(t)).此時(shí)取而代之的V應(yīng)該是

V(x(t))=xT(t)ETPEx(t).

2有限時(shí)間隨機(jī)LQ問(wèn)題

2.1問(wèn)題描述

考慮如下的廣義受控系統(tǒng)：

(6)

其中E是rank(E)=r≤n的n-階常數(shù)矩陣；x0∈n是給定的初始狀態(tài)；m)是一個(gè)容許控制過(guò)程，其允許策略空間記為Uad.

對(duì)每一個(gè)(x0,u(·))∈n×Uad，引入經(jīng)典的二次型性能指標(biāo)：

(7)

方程(6)的解x(·)稱為控制u(·)∈Uad的響應(yīng)，(x(·),u(·))稱為一個(gè)容許對(duì).最優(yōu)控制問(wèn)題的目標(biāo)是對(duì)任意給定的x0∈n，通過(guò)尋找容許控制u(·)∈Uad，最小化性能指標(biāo)JT(x0;u(·)).

2.2主要結(jié)果

首先引入一個(gè)關(guān)于P(·)的推廣的微分Riccati方程

(8)

和一個(gè)關(guān)于φ(·)的推廣的倒向微分方程

(9)

下述定理給出了有限時(shí)間隨機(jī)LQ問(wèn)題的主要結(jié)果.

u*(t,x)=-K-1(t)[L(t)x(t)+h(t)].

(10)其中L(t)=BT(t)P(t)E+DT(t)P(t)C(t)，h(t)=BT(t)φ(t)+DT(t)P(t)g(t)，最優(yōu)性能指標(biāo)為

(11)

證明使用配方法證明，取

V(t,x(t))=xT(t)ETP(t)Ex(t)+2xT(t)ETφ(t)，

對(duì)xT(t)ETP(t)Ex(t)和2xT(t)ETφ(t)分別使用It公式，得

(12)

(13)

將式(12)和式(13)相加，得

(14)

式(14)在[0,T]上積分，取數(shù)學(xué)期望，并結(jié)合式(7)得

(15)

K(t)=R(t)+DT(t)P(t)D(t)>0，

ETP(T)E=H，ETφ(T)=0，

則最優(yōu)反饋控制和最優(yōu)性能指標(biāo)分別為

u*(t,x)=-K-1(t)[L(t)x(t)+h(t)].

將最優(yōu)反饋控制u*(t,x)代入式(6)中得

定理1得證.

注2若E=I，隨機(jī)LQ問(wèn)題(6)～(7)退化為一般意義下的線性It系統(tǒng)的隨機(jī)LQ問(wèn)題，該問(wèn)題首次被Chen和Zhou[6]討論，因而定理1是文獻(xiàn)[6]中Theorem 3.1的拓展.

注3定理1是在假設(shè)式(6)-(7)中各系數(shù)不包含ω時(shí)得到的，當(dāng)它們包含ω時(shí)，即A(·)=A(·,ω)，…，定理1則不再成立.理由如下：當(dāng)A(·)=A(·,ω)，…時(shí)，我們對(duì)V(t,x(t))需作下述形式的假設(shè)：

V(t,x(t))=xT(t)ETP(t)Ex(t)+2xT(t)ETφ(t),

其中的ETP(t)E和ETφ(t)滿足下述隨機(jī)微分方程

dETP(t)E=Z(t)dt+Λ(t)dW(t),dETφ(t)=Θdt+ΨdW(t),t∈[0,T].

此時(shí)僅對(duì)xT(t)ETP(t)Ex(t)進(jìn)行It微分，就可發(fā)現(xiàn)式(16)最后兩項(xiàng)中的dx(t)無(wú)法計(jì)算，

d(xT(t)ETP(t)Ex(t))=

d(xT(t)ET)P(t)Ex(t)+

xT(t)d(ETP(t)E)x(t)+

xT(t)ETP(t)d(Ex(t))+

d(xT(t))ETP(t)Ed(x(t))+

d(xT(t))d(ETP(t)E)x(t)+

xT(t)d(ETP(t)E)d(x(t)).

(16)

因而定理1不再成立.

3無(wú)限時(shí)間隨機(jī)LQ問(wèn)題

3.1問(wèn)題描述

無(wú)限時(shí)間情形下廣義系統(tǒng)的隨機(jī)LQ問(wèn)題在文獻(xiàn)[15]的第4.2部分已經(jīng)被討論過(guò)，考慮到該文中的部分結(jié)果有表述不準(zhǔn)確的地方(詳見(jiàn)下文的分析)，在本部分仍考慮文獻(xiàn)[15]描述的受控系統(tǒng)：

對(duì)系統(tǒng)(17)，考慮下述形式的狀態(tài)反饋控制

(18)

將式(18)代回式(17)，得到相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)

(19)

定義2系統(tǒng)(17)稱為漸近均方穩(wěn)定的，如果存在一個(gè)形如式(17)的狀態(tài)反饋控制，使得閉環(huán)系統(tǒng)(19)是漸近均方穩(wěn)定的.

對(duì)每一個(gè)(x0,u(·))∈n×U(x0)，相應(yīng)的二次型性能指標(biāo)為

(20)

其中Q∈Sn，R∈Sm為已知的常數(shù)矩陣.再次強(qiáng)調(diào)，我們對(duì)式(20)中的狀態(tài)權(quán)矩陣Q和控制權(quán)矩陣R未做任何限定，即R是不定的.

注意到系統(tǒng)(17)中的C≠0，D≠0，此時(shí)系統(tǒng)的擴(kuò)散項(xiàng)中同時(shí)包含狀態(tài)和控制，即噪聲依賴于狀態(tài)和控制，這在數(shù)理金融學(xué)中是常見(jiàn)的，尤其是基于隨機(jī)LQ框架下的連續(xù)時(shí)間均值-方差型投資組合選擇問(wèn)題，見(jiàn)Zhou和Li[8].而當(dāng)C=D=0時(shí)，系統(tǒng)(17)退化為一個(gè)確定性線性系統(tǒng).我們知道，對(duì)于確定性系統(tǒng)的LQ問(wèn)題，為了保證所研究問(wèn)題的適定性，需要限定性能指標(biāo)中的控制權(quán)矩陣R正定，狀態(tài)權(quán)矩陣Q非負(fù)定，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述即為：

(21)

利用配方法，取V(t,x(t))=xT(t)ETPx(t)，其中P∈n×n，滿足ETP=PTE.V(t,x(t))對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)得

2uT(t)BTPx(t).

上式先在[0,∞)上積分，然后加到式(21)的二次型指標(biāo)中，經(jīng)過(guò)運(yùn)算得到下述受限的代數(shù)Riccati方程

(22)

注4在推導(dǎo)式(22)時(shí)，構(gòu)造的V(t,x(t))與文獻(xiàn)[12]研究連續(xù)時(shí)間混雜系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí)構(gòu)造的Lyapunov函數(shù)形式是一致的，且與文獻(xiàn)[15]的式(25)不同，在文獻(xiàn)[15]中，V(t,x(t))=xT(t)ETPEx(t)，進(jìn)而使得式(25)和最優(yōu)反饋控制均與奇異矩陣E有關(guān)，這也在一定程度上反映了隨機(jī)系統(tǒng)和確定性系統(tǒng)之間的差別.

本部分考慮的最優(yōu)控制問(wèn)題是對(duì)任意給定的初始值x0∈n，通過(guò)尋找容許控制u(·)∈U(x0)，最小化性能指標(biāo)J∞(x0;u(·)).

在給出主要結(jié)果之前，給出無(wú)限時(shí)間LQ問(wèn)題的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)假設(shè)[9]：

假設(shè)1系統(tǒng)(17)是均方能穩(wěn)的.

3.2主要結(jié)果

類似于上一節(jié)得到的有限時(shí)間隨機(jī)LQ問(wèn)題的相關(guān)結(jié)果，我們得到無(wú)限時(shí)間隨機(jī)LQ問(wèn)題的主要結(jié)果如下定理2所示.

定理2在假設(shè)1成立的條件下，若下述推廣的代數(shù)Riccati方程存在解P∈Sn，

(23)

則無(wú)限時(shí)間隨機(jī)LQ問(wèn)題(17)-(20)的最優(yōu)反饋控制和最優(yōu)性能指標(biāo)分別為

(24)

(25)

證明 假設(shè)存在P∈Sn滿足式(23)，取V(t)=xT(t)ETPEx(t)，對(duì)V(t)使用It公式得

dV(t)=d(xT(t)ET)PEx(t)+

xT(t)ETPd(Ex(t))+d(xT(t)ET)Pd(Ex(t))=

{uT(t)DTPDu(t)+xT(t)(-Q+LTK-1L)x(t)+

2uT(t)Lx(t)}dt+{…}dW(t),

(26)

其中L=BTPE+DTPC.

由假設(shè)1知Ε[V(∞)]=0，將式(26)在[0,∞)上積分，取數(shù)學(xué)期望，再結(jié)合式(20)得

(27)

由式(27)容易得到最優(yōu)反饋控制和最優(yōu)性能指標(biāo)分別為

定理2得證.

注5定理2中的式(23)與文獻(xiàn)[15]中的式(26)是不同的，之所以這樣是因?yàn)樵诮Y(jié)合式(17)對(duì)V(t)使用It公式時(shí)，用的是[Cx(t)+Du(t)]TP×[Cx(t)+Du(t)]，而文獻(xiàn)[15]使用的是[Cx(t)+Du(t)]TETPE[Cx(t)+Du(t)]，因而得到的代數(shù)Riccati方程和最優(yōu)反饋控制均存在差別.

注6根據(jù)LMI理論，式(23)的解可通過(guò)求解一個(gè)等價(jià)的LMIs來(lái)得到

(28)

根據(jù)文獻(xiàn)[7]的定理 13，式(28)等價(jià)于求解下述半定規(guī)劃問(wèn)題

(29)

而上述半定規(guī)劃問(wèn)題在Matlab中已有現(xiàn)成的工具包可供使用，因而式(23)是容易求解的.

4結(jié)論

本文針對(duì)一類連續(xù)時(shí)間廣義隨機(jī)仿射系統(tǒng)討論了其線性二次控制問(wèn)題，在引入廣義隨機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)定性概念后，通過(guò)一個(gè)LMI給出了廣義隨機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件.然后，借助Riccati方程法得到了有限時(shí)間廣義隨機(jī)仿射系統(tǒng)LQ問(wèn)題最優(yōu)反饋控制的存在條件等價(jià)于一個(gè)推廣的微分Riccati方程和一個(gè)倒向微分方程存在解，而對(duì)應(yīng)的無(wú)限時(shí)間廣義隨機(jī)系統(tǒng)LQ問(wèn)題最優(yōu)反饋控制的存在條件等價(jià)于一個(gè)推廣的代數(shù)Riccati方程存在解，并給出了最優(yōu)反饋控制的顯式表達(dá)及最優(yōu)性能指標(biāo)值.值得提出的是，本文一方面推廣了文獻(xiàn)[6]的相關(guān)結(jié)果，另一方面也通過(guò)幾個(gè)注解指出了文獻(xiàn)[15]研究中有待改善的地方并給出了解釋.在接下來(lái)的研究中，希望能夠利用本文得到的相關(guān)結(jié)果研究廣義主-從隨機(jī)LQ微分博弈問(wèn)題，這也將充實(shí)隨機(jī)微分博弈的相關(guān)研究.

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Linear Quadratic Control of Continuous-time Singular Stochastic Affine Systems

Zhu Huai-nian1, Zhang Cheng-ke1, Cao Ming2, Bin Ning2

(1.School of Economics & Commence; 2.School of Management, Guangdong University of Technology, Guangzhou 510520, China)

Abstract:Linear quadratic control of a class of continuous-time singular stochastic affine systems is investigated. After establishing some concepts of the stability for stochastic singular systems, the condition of the stability is presented by means of a linear matrix inequality. Then, by utilizing Riccati equation approach, the existent conditions of optimal feedback control in finite horizon and infinite horizon are respectively obtained by means of a generalized differential Riccati equation or a generalized algebraic Riccati equation. And explicit expressions of the optimal feedback controls and optimal cost function are given.

Key words:singular stochastic affine systems; linear quadratic control; linear matrix inequality; Riccati equation

收稿日期:2015-09-17

基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71771061， 11501129， 71571053);廣東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2015A030310218, 2014A030310366)

作者簡(jiǎn)介:朱懷念(1985-)，男，講師，博士，主要研究方向?yàn)閯?dòng)態(tài)博弈理論及其應(yīng)用.

doi:10.3969/j.issn.1007-7162.2016.02.005

中圖分類號(hào):F224.32

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):1007-7162(2016)02-0024-07