談芻議高中代數(shù)排列組合的解題策略

嚴(yán)偉

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）13-197-01

排列和組合是高中數(shù)學(xué)教與學(xué)的一個難點(diǎn)，雖然高考中所占比重不大，但試題具有一定的靈活性、機(jī)動性和綜合性，教學(xué)中又涉及到分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸、正難則反等多種思維方法，又是概率的基礎(chǔ)。排列組合作為高中代數(shù)課本的一個獨(dú)立分支，因?yàn)闃O具抽象性而成為“教”與“學(xué)”難點(diǎn)。有相當(dāng)一部分題目教者很難用比較清晰簡潔的語言講給學(xué)生聽，有的即使教者覺得講清楚了，但是由于學(xué)生的認(rèn)知水平，思維能力在一定程度上受到限制，還不太適應(yīng)。從而導(dǎo)致學(xué)生對題目—知半解，甚至覺得“云里霧里”。針對這一現(xiàn)象，筆者在日常教學(xué)過程中經(jīng)過嘗試總結(jié)出一些個人的想法跟各位同行交流一下。

一、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

"興趣和愛好是最好的老師。"因此數(shù)學(xué)學(xué)科要取得良好的效果，要求教師有淵博的知識，結(jié)合數(shù)學(xué)科的特點(diǎn)，精心設(shè)計(jì)每一節(jié)課，以情趣導(dǎo)學(xué)，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)認(rèn)為：教師應(yīng)該設(shè)法使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)前處于對知識的“饑餓狀態(tài)”，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，動機(jī)和熱情。

筆者認(rèn)為之所以學(xué)生"怕"學(xué)排列組合，主要還是因?yàn)榕帕薪M合的抽象性，那么解決問題的關(guān)鍵就是將抽象問題具體化，我們不妨將原題進(jìn)行一下轉(zhuǎn)換，讓學(xué)生走進(jìn)題目當(dāng)中，成為"演員"，成為解決問題的決策者。這樣做不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，活躍了課堂氣氛，還充分發(fā)揮學(xué)生的主體意識和主觀能動性，能讓學(xué)生從具體問題的分析過程中得到啟發(fā)，逐步適應(yīng)排列組合題的解題規(guī)律，從而做到以不變應(yīng)萬變。當(dāng)然，在具體的教學(xué)過程中一定要注意題目轉(zhuǎn)換的等價性，可操作性。

二、排列組合綜合問題的一般解題規(guī)律

使用“分類計(jì)數(shù)原理”還是“分步計(jì)數(shù)原理”要根據(jù)我們完成某件事時采取的方式而定，可以分類來完成這件事時用“分類計(jì)數(shù)原理”，需要分步來完成這件事時就用“分步計(jì)數(shù)原理”；那么，怎樣確定是分類，還是分步驟？“分類”表現(xiàn)為其中任何一類均可獨(dú)立完成所給的事件，而“分步”必須把各步驟均完成才能完成所給事件，所以準(zhǔn)確理解兩個原理強(qiáng)調(diào)完成一件事情的幾類辦法互不干擾，相互獨(dú)立，彼此間交集為空集，并集為全集，不論哪類辦法都能將事情單獨(dú)完成，分步計(jì)數(shù)原理強(qiáng)調(diào)各步驟缺一不可，需要依次完成所有步驟才能完成這件事，步與步之間互不影響，即前步用什么方法不影響后面的步驟采用的方法。

排列與組合定義相近，它們的區(qū)別在于是否與順序有關(guān)。復(fù)雜的排列問題常常通過試驗(yàn)、畫 “樹圖 ”、“框圖”等手段使問題直觀化，從而尋求解題途徑，由于結(jié)果的正確性難于檢驗(yàn)，因此常常需要用不同的方法求解來獲得檢驗(yàn)。處理排列、組合綜合問題，一般思想是先選元素（組合），后排列，按元素的性質(zhì)進(jìn)行“分類”和按事件的過程“分步”，始終是處理排列、組合問題的基本原理和方法，通過解題訓(xùn)練要注意積累和掌握分類和分步的基本技能，保證每步獨(dú)立，達(dá)到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。

三、特殊元素（位置）的“優(yōu)先安排法”

對于特殊元素（位置）的排列組合問題，一般先考慮特殊，再考慮其他。

例1、用0，2，3，4，5，五個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（ ）。

A.24個 B.30個 C.40個 D.60個

[分析]由于該三位數(shù)為偶數(shù)，故末尾數(shù)字必為偶數(shù)，又因?yàn)?不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，應(yīng)該優(yōu)先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分兩類：1）0排末尾時，有A42個，2）0不排在末尾時，則有C21 A31A31個，由分?jǐn)?shù)計(jì)數(shù)原理，共有偶數(shù)A42 + C21 A31A31=30個，選B。

四、相鄰問題用捆綁法：在解決對于某幾個元素要求相鄰的問題時，先整體考慮，將相鄰的元素“捆綁”起來，看作一“大”元素與其余元素排列，然后再考慮大元素內(nèi)部各元素間順序的解題策略就是捆綁法

例2、有8本不同的書；其中數(shù)學(xué)書3本，外語書2本，其它學(xué)科書3本.若將這些書排成一列放在書架上，讓數(shù)學(xué)書排在一起，外語書也恰好排在一起的排法共有（ ）種.（結(jié)果用數(shù)值表示）

解：把3本數(shù)學(xué)書“捆綁”在一起看成一本大書，2本外語書也“捆綁”在一起看成一本大書，與其它3本書一起看作5個元素，共有A55種排法；又3本數(shù)學(xué)書有A33種排法，2本外語書有A22種排法；根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有排法A55 A33 A22=1440（種）。

注：運(yùn)用捆綁法解決排列組合問題時，一定要注意“捆綁”起來的大元素內(nèi)部的順序問題.

五、不相鄰問題用“插空法”：不相鄰問題是指要求某些元素不能相鄰，由其它元素將它們隔開.解決此類問題可以先將其它元素排好，再將所指定的不相鄰的元素插入到它們的間隙及兩端位置，故稱插空法

例3、用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1與2相鄰，2與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰。這樣的八位數(shù)共有（ ）個.（用數(shù)字作答）

解：由于要求1與2相鄰，2與4相鄰，可將1、2、4這三個數(shù)字捆綁在一起形成一個大元素，這個大元素的內(nèi)部中間只能排2，兩邊排1和4，因此大元素內(nèi)部共有A22種排法，再把5與6也捆綁成一個大元素，其內(nèi)部也有A22種排法，與數(shù)字3共計(jì)三個元素，先將這三個元素排好，共有A33種排法，再從前面排好的三個元素形成的間隙及兩端共四個位置中任選兩個，把要求不相鄰的數(shù)字7和8插入即可，共有A42種插法，所以符合條件的八位數(shù)共有A22 A22 A33 A42=288（種）。運(yùn)用“插空法”解決不相鄰問題時，要注意欲插入的位置是否包含兩端位置。

六、順序固定用“除法”

對于某幾個元素按一定的順序排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同進(jìn)行全排列，然后用總的排列數(shù)除于這幾個元素的全排列數(shù)。

例4、6個人排隊(duì)，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”順序排的排隊(duì)方法有多少種？

分析：不考慮附加條件，排隊(duì)方法有A66種，而其中甲、乙、丙的A33種排法中只有一種符合條件。故符合條件的排法有A66 ÷A33 =120種。（或A63種）

例5、4個男生和3個女生，高矮不相等，現(xiàn)在將他們排成一行，要求從左到右女生從矮到高排列，有多少種排法。

解：先在7個位置中任取4個給男生，有A74 種排法，余下的3個位置給女生，只有一種排法，故有A74 種排法。