基于“同課異構”對數(shù)學課堂提問的研究
——以“橢圓的簡單幾何性質”為例

張春飛

山西師范大學教育科學研究院，山西　臨汾　041000

基于“同課異構”對數(shù)學課堂提問的研究

——以“橢圓的簡單幾何性質”為例

張春飛* 1

山西師范大學教育科學研究院，山西臨汾041000

摘要：解析幾何的一個基本問題是由曲線方程研究曲線幾何性質，“橢圓的簡單幾何性質”是學生第一次較為系統(tǒng)地學習在解析幾何中如何用代數(shù)方法研究曲線性質。本文將以“橢圓的簡單幾何性質”為載體，就教師課堂提問特點，對三所中學的三位教師的課堂教學進行分析比較。

關鍵詞：解析幾何；橢圓；幾何性質；課堂提問

2015年11月在山西省原平一中進行了“同課異構整體說課”教研活動。其中，自主課、展示課的講課內容是人教A版普通高中課程標準實驗教科書高中數(shù)學選修2-1第二章圓錐曲線第二節(jié)《橢圓的簡單幾何性質》?，F(xiàn)對其中三所學校的課堂教學過程進行展現(xiàn)并分析。

一、自主課的呈現(xiàn)

(一)動手畫，溫舊知

上課前老師與班級學生對接，安排自主學習。在自習課上老師了解學生學情，讓學生體會畫橢圓的過程，回顧知識發(fā)生發(fā)展過程，為探究橢圓幾何性質作鋪墊，使學生經(jīng)歷數(shù)學知識的抽象過程。

(二)重知識生成，尋新舊聯(lián)系

在自習過程中，老師及時指導學生要注重知識生成的過程，不能只注重結果。前面的知識是后面知識的基礎，后面知識是前面知識的延續(xù)、深化與發(fā)展，引導學生學習新知識時尋找新舊知識的聯(lián)系，將橢圓的幾何性質與函數(shù)、三角函數(shù)聯(lián)系起來，為學生架起由舊知通向新知的橋梁。

(三)拓知識，做準備

老師在自習課上拓展有關離心率的知識，學生通過PPT對新知識有一個初步感知。自習課結束時，每個小組都有任務，為明天的展示課做準備，最后老師將學生遺留的問題收回，對教案進行及時調整。

二、展示課的呈現(xiàn)

(一)A中學

第一組：講解橢圓的幾種作圖方法

第二組：講解橢圓方程中x、y的取值范圍(從數(shù)、形兩個角度考慮)

第三組：長軸長、短軸長、頂點坐標、長半軸長、短半軸長

老師提問：什么叫軸對稱？什么叫中心對稱？

老師矯正頂點的定義：橢圓與對稱軸的交點

第七組：歸納焦點在x軸上的橢圓的簡單幾何性質，探索焦點在y軸上的橢圓，說說它有怎樣的結合性質？結合圖形列表歸納小結。

最后，老師和學生一起總結出a,b,c的關系、焦距、離心率、半軸長是橢圓的特有性質。整堂課通過7個問題的研究及小組展示老師總結，解決了互動卡上學生提出的共性問題。

(二)B中學類比深入，開始問動模式

問題1：若P為橢圓上的任一點，則P點橫縱坐標的范圍是____________。

通過小組同學觀察、討論，展示做題方法及結果，老師總結出同學們解決這道題通過圖形的角度和數(shù)量的角度分析，都能很好的完成這道題。在全班交流的過程中，使大家了解到彼此思考問題的角度和做題思路，調動學生上課積極性。

問題2：O為坐標原點，P為橢圓上任意一點，|OP|的取值范圍是____________。

小組代表展示，這道題有兩種考慮角度：

第一種，從數(shù)的角度分析(函數(shù)的角度)

∴z∈[4,16]∴|OP|∈[2,4]

第二種，從圖形的角度分析

以原點為圓心，半長軸、半短軸分別為半徑作圓，觀察分析圖形即可得出結論。

老師對同學們的表現(xiàn)夸獎并進行歸納：

問題3：若P(x,y)點在橢圓上，還有哪些點在橢圓上？

問題4：任務一中A,B,C,D四點特殊嗎？是橢圓的____________。

學生答：特殊，是橢圓的頂點。

老師問：那么橢圓頂點的定義是什么？

學生答：橢圓與對稱軸的交點。

老師問：為什么說是橢圓與對稱軸的交點？而不是橢圓與坐標軸的交點呢？

學生答：橢圓的對稱軸會隨橢圓的中心變化，當橢圓的中心是坐標原點時，它的對稱軸才是坐標軸，所以必須考慮橢圓的中心在哪里。

問題5：在任務三中發(fā)現(xiàn)了什么？

離心率的概念：橢圓焦距與長軸長之比

考察橢圓形狀與e的關系：

當e→1,c→0,橢圓變圓，直至成為極限位置圓，此時可以認為圓為橢圓在e=0時的特例；

當e→1,c→a,橢圓變扁，直至成為極限位置線段F1F2,此時可認為線段為橢圓在e=1時的特例。

(三)C中學

問題3：如何求橢圓的頂點坐標，長軸、長軸長、短軸、短軸長分別是什么？

1.橢圓的離心率e的表達公式是什么？e的取值范圍是多少？e的取值變化時橢圓的圓扁程度有什么變化？

總結提升

用坐標法研究橢圓幾何性質將復雜幾何關系的研究轉化為對曲線方程特點的考察，引導學生通過探究得到以下結論：

三、課堂教學提問分析

三位教師在教學過程中各類問題運用比例不盡相同，但從平均使用情況分析來看，教師最多運用的是“提示性問題”，“提示性問題”的使用說明教師善于根據(jù)學生回答問題的情況，來進一步提出相應的問題，啟發(fā)學生進一步思考；同時教師較多運用的是“評價性問題”，“評價性問題”的使用說明教師很注重學生的判斷思維，培養(yǎng)學生獨立思考的能力；而老師使用相對較少的是“管理性提問”和“轉換性提問”。一方面說明了學生在數(shù)學課中的課堂紀律比較好，另一方面，教師沒有很好的將“數(shù)形結合思想”貫穿其中，數(shù)學符號與語言之間的轉換不是很熟練，有待繼續(xù)提升。

[參考文獻]

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[2]陸學政,劉清堯.人教A版“橢圓的簡單幾何性質”教材研讀[J].中學數(shù)學教學,2013(3).

[3]陳淼君,沈文選.數(shù)學課堂中的提問[J].中學數(shù)學研究,2005.

*作者簡介：張春飛(1995-)，女，漢族，山西大同人，山西師范大學教育科學研究院學科數(shù)學專業(yè)碩士研究生。

中圖分類號：G633.6;G635.1

文獻標識碼：A

文章編號：1006-0049-(2016)11-0087-02