非線性Black-Scholes模型下Bala期權(quán)定價

董艷

（陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，陜西渭南714000）

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非線性Black-Scholes模型下Bala期權(quán)定價

董艷

（陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，陜西渭南714000）

在非線性Black-Scholes模型下，研究了Bala期權(quán)定價問題.首先利用雙參數(shù)攝動方法，將Bala期權(quán)適合的偏微分方程分解成一系列常系數(shù)拋物方程.其次通過計算這些常系數(shù)拋物型方程的解，給出了Bala期權(quán)的近似定價公式.最后利用Green函數(shù)分析了近似結(jié)論的誤差估計.

Bala期權(quán)；非線性Black-Scholes模型；Green函數(shù)；誤差估計

§1　引　言

近些年來有關(guān)障礙期權(quán)的研究工作已有一些文獻，文獻［1］研究了分?jǐn)?shù)布朗運動環(huán)境下歐式障礙期權(quán)定價問題，利用偏微分方程方法給出了歐式障礙期權(quán)的顯示解，并給出了看張看跌之間的平價關(guān)系.文獻［2］和文獻［3］則是從數(shù)值模擬的角度出發(fā)，利用蒙特卡羅模擬研究了障礙期權(quán)定價問題.胡文偉和李湛在文獻［4］中采用二叉樹方法研究了障礙期權(quán)定價問題.文獻［5］則放棄了原生資產(chǎn)波動率和收益率的常數(shù)假設(shè)，在較為一般的模型基礎(chǔ)之上，研究了障礙期權(quán)定價問題，將障礙期權(quán)滿足的拋物初值問題做近似化處理，給出了障礙期權(quán)的一個近似解析表達式，并給出了相應(yīng)的誤差估計.

遺憾的是上述文獻均是研究普通障礙期權(quán)所得結(jié)論，近些年來，越來越多的學(xué)者發(fā)現(xiàn)了障礙期權(quán)存在的某些不足:對于敲出障礙期權(quán)的持有者而言，當(dāng)原生資產(chǎn)價格觸及到障礙值時會導(dǎo)致期權(quán)立刻失效，他就失去了全部的投資.為了克服這一不足，金融實踐家們衍生出了Bala期權(quán).

下降敲出類型的Bala期權(quán)設(shè)置了另一種緩沖措施，該期權(quán)合約設(shè)置了一個“期權(quán)失效計時器”.當(dāng)原生資產(chǎn)價格St在障礙值B的下方停留總時間達到規(guī)定的時長D后，期權(quán)全部失效，否則期權(quán)轉(zhuǎn)化為歐式看跌期權(quán).因此期權(quán)在到期日T時的收益為

（K - ST）+I｛τT＜D｝，

其中τt的定義見公式（2）.易得當(dāng)D→0時，下降敲出類型的Bala期權(quán)就轉(zhuǎn)化為下降敲出看跌障礙期權(quán)；當(dāng)時，該Bala期權(quán)則轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的歐式看跌期權(quán).除此Bala期權(quán)還有很多類型，本文只研究其中的一種情況，至于其他Bala期權(quán)的相關(guān)結(jié)論可類推本文證明.

目前近些年來有關(guān)Bala期權(quán)定價還沒有專門的文獻，姜禮尚在文獻［6］中給出了Bala期權(quán)適合的偏微分方程模型，并給出了相應(yīng)的優(yōu)先差分格式.由于Bala期權(quán)適合的偏微分方程結(jié)構(gòu)復(fù)雜（它甚至都不是拋物方程），以目前的研究手段尋找Bala期權(quán)的精確解析解是困難的.

既然對于Bala期權(quán)不能得到其精確解析定價公式，那么找到一個數(shù)學(xué)上一致性和嚴(yán)密的近似解也不失為一個很好的研究方向.基于此，本文在混合分?jǐn)?shù)布朗運動驅(qū)動的非線性Black-Scholes模型下研究階梯期權(quán)定價問題，其中原生資產(chǎn)價格St滿足非線性隨機微分方程

無風(fēng)險資產(chǎn)價格Mt滿足

其中S0＞0為原生資產(chǎn)的初始價格，wt為標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，μ（t，St）表示風(fēng)險資產(chǎn)的期望收益率，σ0（t，St；ε）表示風(fēng)險資產(chǎn)的波動率，ε（0＜ε＜1）為攝動參數(shù)，μ（t，St）和σ0（t，St；ε）為時間t和股票價格St的一般函數(shù).

如果用常數(shù)r表示無風(fēng)險資產(chǎn)的利率，P（t，τ，S）表示下降敲出類型的看跌Bala期權(quán)的價格，用C（t，τ，S）表示相應(yīng)的看漲Bala期權(quán)的價格，由文獻［6］易得P（t，τ，S）和C（t，τ，S）為如下兩個偏微分方程初值問題的解

其中算子L為

接下來，將采用多尺度方法給出兩種階梯期權(quán)的定價公式，并采用Feymann-Kac公式給出結(jié)論的誤差估計.本文提供的方法同樣適合其他期權(quán)，例如歐式期權(quán)、亞式期權(quán)以及回望期權(quán).

§2　多尺度方法

為方便敘述，首先定義如下的符號

其中

容易看出公式（5）提供了一個由P（t，τ，S）到V（t，τ，x）的變換，并且在該變換下偏微分方程問題（1）變?yōu)?/p>

假定當(dāng)ε= 0時f（t，x；ε）為與t和x無關(guān)的常數(shù)，即f（t，x；0）= f0（0，0），并且f（t，x；ε）可以根據(jù)泰勒公式在ε= 0附近展成如下形式的冪級數(shù)

fn（t，x）表示f（t，x；ε）對ε的n階導(dǎo)數(shù)在ε= 0處的值.由于f（t，x；ε）=σ2（t，ex；ε）＞0，所以這里假設(shè)f0（0，0）＞0.

下面以公式（6）為研究對象采用多尺度方法（雙參數(shù)攝動展開方法）去處理Bala期權(quán)定價問題.根據(jù)多尺度方法的中心思想［7-8］，將V（t，τ，x）在（ε，η）=（0，0）附近展開成冪級數(shù)

并將上述級數(shù)代入偏微分方程初值問題（6）的主方程，有

比較ε和η同次冪的系數(shù)，可以得到

由x和t的任意性，可令ε和η的相同次冪項的系數(shù)為零，從而

其中

易見，當(dāng)（n，m）=（0，0）時，gn，m（t，τ，x）= 0，同時經(jīng)過整理gn，m（t，τ，x）也可以寫成如下形式

最后根據(jù)公式（8）將偏微分方程初值問題（6）的初值條件進行分解，則拋物型方程（6）的求解問題轉(zhuǎn)化為一系列常系數(shù)拋物方程初值問題，并且這些常系數(shù)拋物初值問題是可解的，其中V0，0（t，τ，x）為拋物方程初值問題

的解，Vn，m（t，τ，x）是如下拋物方程初值問題的解

下面依次計算Vn，m，n = 0，1，2，···，m = 0，1，2，···.另一方面，觀察拋物初值問題（12）和（13）可以看出，主方程中不含變量τ，它只作為參量出現(xiàn)在初值條件中，所以在以后的證明過程中將其視為常數(shù).此外，公式（11）中g(shù)n，m（t，τ，x）不包含Vi，j（i＜n，j＜m）這樣的項，這是最后一節(jié)能進行誤差分析的關(guān)鍵.

§3　期權(quán)定價公式

引理1若V0，0（t，τ，x）是常系數(shù)拋物方程初值問題（12）的解，則它可表示為

其中N（x）表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率累積函數(shù)，

證對于首項V0，0（t，τ，x），首先考慮如下的變換

其中

若將τ視為常數(shù)，則常系數(shù)拋物初值問題（12）在變換（14）下可以寫為

從而利用Poisson公式可知，拋物初值問題（15）的解為

其中

將初值條件帶入并進行積分運算，可得

利用變換（14）回到可得定理結(jié)論.

接下來求解Vn，m（t，τ，x）（n，m = 0，1，2，···）.觀察公式（11）可知，gn，m（t，τ，x）僅僅與

有關(guān)，而與?xxVn，m-?xVn，m，0＜η＜1無關(guān)，這啟發(fā)采用遞推法完成如下結(jié)論的證明.

引理2線性拋物方程（13）的解可表示為

其中

證注意到計算Vn，m（t，τ，x）時，gn，m（t，τ，x）是已知的，因此將τ視為常數(shù)，并作變換

則拋物方程初值問題（30）可以轉(zhuǎn)化為如下形式

注意到gn，m（t，τ，x）是解析的以及?gn，m（s，τ，x）= exp｛-αx-βs｝gn，m（T -s，τ，x），根據(jù)文獻［9-10］，拋物初值問題（18）的解可表示為

對變換（17）進行逆變換可完成定理證明.

觀察引理1，引理2以及公式（11），易得

這里δ（·）為狄利克雷函數(shù)，將上式代入gn，m（t，τ，x）的表達式有如下結(jié)論成立.

定理3若P（t，S）表示下降敲出類型的Bala看跌期權(quán)的價格，則它可以表示為

其中

Vn，m（t，τ，x）見引理2.

定理4若C（t，τ，S）表示下降敲出類型的Bala看漲期權(quán)的價格，則它可以表示為

其中

Vn，m（t，τ，x）的表示方法與定理3相同.

觀察定理3和定理4容易驗證，當(dāng)τ＞D時，

從而當(dāng)τ＞D時，有C（t，τ，S）= P（t，τ，S）= 0，這恰與文獻［6］描述的事實相符.

§4　誤差估計

本節(jié)，將在如下假設(shè)的基礎(chǔ)之上進一步考慮近似結(jié)論的誤差估計問題:

（2）假設(shè)fn（t，x）在［0，T］×R+上一致有界，即對任意的（t，x）∈［0，T］×R+以及任意正整數(shù)n，存在正常數(shù)M0，使得

并假定對任意的（t，x）∈［0，T］×R+有

上面的假設(shè)也意味著f（t，x；ε）和f（t，x；ε）均滿足Lipschtiz條件和線性增長條件.事實上，由公式（7）和公式（23）可知對任意的（t，x）∈［0，T］×R有

顯然f（t，x；ε）和f（t，x；ε）在（t，x）∈［0，T］×R上關(guān)于x滿足線性增長條件.由公式（43）可得

因此f（t，x；ε）也關(guān)于變量x滿足一致Lipschtiz條件.

為了方便證明，還需要兩個有關(guān)Rn，m（t，τ，x）=?xxVn，m-?xVn，m的引理，在以后的證明中經(jīng)常用到它們.

引理5對任意的（t，τ，x）∈［0，T］×［0，T］×R，存在不依賴t，τ和x的正常數(shù)M1使得

證由引理1直接計算容易得到

進一步，利用公式（27）和公式（28）以及引理1有

將公式（29）和公式（30）代入R0，0（t，τ，x）可得

容易驗證對任意的（t，τ，x）∈［0，T］×［0，T］×R都有

因此exp｛x｝N′（a2）在［0，T］×R上有界，即存在正常數(shù)M3使得

進一步，由文獻［10］第四章第十六節(jié)可知，存在正常數(shù)M4和M5，使得

將公式（32）代入公式（31）得到

因此公式（26）中第二個不等式成立.

引理6當(dāng)T足夠小時，對任意的非負(fù)整數(shù)n和m（n2+ m2＞0），存在不依賴x和t的非負(fù)常數(shù)M6和M7，使得

證明可類推文獻［11］之引理2.6，只需用引理3代替文獻［11］之引理2.4.

值得注意的是，上述證明得以進行是因為構(gòu)造的多尺度方法使得gn，m（t，τ，x）的表達式可以寫成Vn，j（t，τ，x）和Vi，m（t，τ，x）的組合，其表達式并不包含Vi，j（t，τ，x）這樣的項，0≤i＜n，0≤j＜m.

引理7對任意的（t，τ，x）∈［0，T］×［0，T］×R有

證由引理6可知

進一步聯(lián)立公式（39）可以得到

因此利用文獻［12］中定理11.1，可得

引理7表明: V（t，τ，x）對變量τ的偏導(dǎo)數(shù)與V（t，τ，x）成線性關(guān)系，這意味著Lε，ηV（t，τ，x）具有拋物算子性質(zhì)，即

這說明算子Lε，η為拋物算子，因此本文可以根據(jù)拋物方程的Feyman-Kac公式研究V（t，τ，x）的近似解的誤差估計問題，下面給出本節(jié)的兩個主要結(jié)論.

定理8當(dāng)T足夠小時，存在不依賴τ，x和t的正常數(shù)，使得

證考慮C（t，τ，S）和V（t，τ，x）的對應(yīng)關(guān)系，這里只需證明

成立.令x = ln S，E0，0（t，τ，x）= V0，0（t，τ，x）- V（t，τ，x），顯然

又因為Lε，ηV（t，τ，x）= 0，L0V0，0（t，τ，x）= 0，所以

故聯(lián)立公式（34）和公式（35），E0（t，x）為偏微分方程初值問題

的解，其中

利用公式（33），上述偏微分方程初值問題可以被重新寫為

一方面，由引理5可得

又由公式（22），對任意的（t，x）∈［0，T］×R+，

注意到0＜η＜1，由中值定理可知，存在θ∈（0，η）使得

因此將公式（26）和公式（40）代入公式（37），對任意的（t，x）∈［0，T］×R+，h0，0（t，x）滿足

另一方面，運用Feymann-Kac公式可知［13］，拋物初值問題（38）的解可以表示為如下形式的條件概率問題

其中Xt適合隨機微分方程

t≤s≤T，Xt= x.因為公式（23）-公式（25）已經(jīng)證明f（t，x；ε）和f（t，x；ε）關(guān)于變量x滿足線性增長條件和一致Lipschtiz條件，所以由文獻［13］可知，隨機微分方程（44）的解是存在且唯一的.最后，將公式（42）代入公式（43）可得E（t，x）的一個估計

定理9假定T足夠小并且存在正整數(shù)ω0使得

證類似定理7，這里只需證明

其中

顯然En（t，τ，x）滿足如下的初值條件

又因為Lε，ηV（t，τ，x）= 0，

所以有

其中

故聯(lián)立公式（46）和公式（47），En（t，x）為如下拋物初值問題的解

為估計hn（t，x），利用公式（22），可得對任意的（t，τ，x）∈［0，T］×［0，T］×R有

又因為0＜η＜1，利用帶有Lagrange余項的泰勒公式

將公式（50）和公式（51）代入公式（48），hn（x，t）滿足如下形式的估計

進一步將引理5和引理6中的結(jié)論代入公式（52）可得

由Feynman-Kac公式可知，拋物初值問題（49）的解可表示為如下形式的條件概率問題

其中Xτ滿足隨機微分方程（66）.將公式（53）代入公式（54）可知，En（t，x）滿足估計式

［1］霍海峰，溫鮮，鄧國和.分?jǐn)?shù)次布朗運動的歐式障礙期權(quán)定價［J］.經(jīng)濟數(shù)學(xué)，2009，26（4）: 97-103.

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MR Subject Classification: 60H10；90A06

The pricing of Bala options under the nonlinear Black-Scholes model

DONG Yan
（Department of Basic，Shaanxi Railway Institute，Weinan 714000，China）

In this paper，the pricing problems of Bala options are studied under the nonlinear Black-Scholes model. Firstly，the partial differential equations for the Bala options are transformed into a series of parabolic equations with constant coefficients by the perturbation method of doubleparameter. Secondly，the approximate pricing formulae of the Bala options are given by solving those parabolic equations with constant coefficients. Finally，the error estimates of the approximate solutions are given by using Green function.

Bala options；nonlinear Black-Scholes model；Green function；error estimates

O211.6；F830.9

A

1000-4424（2016）01-0009-12

2015-03-22

2015-10-25

陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院基金（2015-08）