帶齊次權(quán)的Hardy型不等式

應(yīng)雪海，蔡光輝

（浙江工商大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，浙江杭州310018）

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帶齊次權(quán)的Hardy型不等式

應(yīng)雪海，蔡光輝

（浙江工商大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，浙江杭州310018）

在采用Hoffmann-Ostenhof和Laptev構(gòu)造權(quán)函數(shù)的思想，進(jìn)行加權(quán)推廣，給出了一類帶齊次權(quán)的Hardy型不等式.利用Avkhadiev和Wirths得到的一維Hardy型不等式，運(yùn)用放縮法，得到一類帶余項(xiàng)的加權(quán)Hardy型不等式.獲得的結(jié)論將Hoffmann-Ostenhof和Laptev中的相關(guān)結(jié)論推廣至加權(quán)與帶余項(xiàng)的情形.

Hardy型不等式；齊次權(quán)；余項(xiàng)

§1引　言

1920年Hardy得到積分型的Hardy不等式［1］：

其中等號當(dāng)且僅當(dāng)f（x）≡0時(shí)成立，（p/（p - 1））p是最佳常數(shù).

有關(guān)Hardy不等式推廣和改進(jìn)的研究工作可以參考文獻(xiàn)［2-6］.

Hoffmann-Ostenhof和Laptev［7］證明得到如下Hardy型不等式：存在τ＞0，使得對所有u∈下式成立

其中Φ是一類定義于Sd-1上的可測函數(shù)，滿足即

本文的主要目的是采用Hoffmann-Ostenhof和Laptev構(gòu)造權(quán)函數(shù)的思想，進(jìn)行加權(quán)推廣，給出了一類帶齊次權(quán)的Hardy型不等式.利用Avkhadiev和Wirths得到的一維Hardy型不等式，運(yùn)用放縮法，得到一類帶余項(xiàng)的加權(quán)Hardy型不等式.獲得的結(jié)論將Hoffmann-Ostenhof和Laptev中的相關(guān)結(jié)論推廣至加權(quán)與帶余項(xiàng)的情形.

§2　引理

首先，引用文獻(xiàn)［8］中關(guān)于在Lp（Sd-1）上薛定諤算子-△?-Φ，Φ≥0的第一負(fù)特征值λ1的精確估計(jì)，其中-△?是Sd-1中的拉普拉斯-貝爾特拉米算子，注意均需滿足條件d≥3.

引理1［8］設(shè)d≥3，且0≤Φ∈Lp（Sd-1），其中p∈（（d - 1）/2，+∞）.則存在一個(gè)遞增函

數(shù)β: R+→R+，當(dāng)μ∈［0（p - 1）］時(shí)，

成立.

對任意非負(fù)、非平凡的函數(shù)Φ，可知λ1（-△?-Φ）始終為負(fù)，再由變分原理及（4）式，可得

引理2設(shè)d≥3，0≤α≤d - 1，對于任意函數(shù)u（x）∈C0∞（Rd），則有如下加權(quán)Hardy型不

等式成立：

證運(yùn)用散度定理，有

由（7）式和柯西-施瓦茨不等式，可以得到

由（8）式，可得（6）式.至此引理2的證明完畢.

引理3設(shè)τ＞0，d≥3，且0≤α≤d - 1.則

證令x =（r，?）∈Rd，同時(shí)對積分進(jìn)行極坐標(biāo)變換，可得

對上式進(jìn)行加權(quán)，可得

由引理2，有

由引理1，可得

由（10）式，（11）式和（12）式，可得（9）式.至此引理3的證明完畢.

引理4設(shè)τ＞0，d≥3，0≤α≤d - 1且0≤Φ∈Lp（S）d-1，其中

則

其中

證對λ1（-△?-τΦ）這一項(xiàng)運(yùn)用（5）式進(jìn)行放縮，可得

再將此與（9）式聯(lián)列，有

令

可得（13）式.至此引理4的證明完畢.

引理5設(shè)0≤α≤d - 1，對于任意函數(shù)f（x）∈H10（a，b），有

其中當(dāng)且僅當(dāng)f（x）≡0時(shí)等號成立，1/4和λ20/γ2均為最佳常數(shù)，λ0是Bessel函數(shù)中Lamb型等式

的第一正根，γ= R/2.

證令f（x）∈H10（a，b），γ:=（a + b）/2∈（0，+∞），由文獻(xiàn)［9］的性質(zhì)3，有

其中當(dāng)且僅當(dāng)f（x）≡0時(shí)等號成立，1/4和λ20/γ2均為最佳常數(shù)，λ0是Bessel函數(shù)中Lamb型等式

的第一正根，且λ0= 0.0940...

對（15）式進(jìn)行放縮，可得

（a）當(dāng)x∈（0，（a + b）/2）時(shí)，則x - a＜b - x，因此可得

（b）當(dāng)x∈（（a + b）/2，b）時(shí)，則

因此可得

由（a），（b）和（15）式，可得

令α= 0，b = R，則可得γ= R/2，

對（17）式進(jìn)行加權(quán)推廣，根據(jù)文獻(xiàn)［9］中性質(zhì)1和2的證明，可得

而（18）式即為要證明的（13）式.至此引理5的證明完畢.

§3　主要結(jié)果

定理1設(shè)d≥3，0≤α≤d - 1且0≤Φ∈Lp（Sd-1），其中

則

其中

證由（19）式可得

由（22）式，引理1及引理4，可得

移項(xiàng)后得

至此定理1的證明完畢.

注1令α= 0，則由定理1，可得文獻(xiàn)［7］中的定理1.1.

定理2設(shè)d≥3，0≤α≤d - 1且0≤Φ∈Lp（Sd-1），其中

則有

其中

證由（23）式及引理1，可得

由引理4，可得

由（23），（26）及引理4，則有

因此，有

至此定理2的證明完畢.

注2若取

則由（24）式，可得（20）式.即由定理2，可得定理1.因此，定理2較定理1將文獻(xiàn)［7］中的定理1.1推廣至更加一般的情形.

定理3設(shè)d≥3，0≤α≤d - 1且0≤Φ∈Lp（Sd-1），其中

令?為Rd上有界閉區(qū)域，則

其中λ0是Bessel函數(shù)中Lamb型等式J0（λ0）+ 2λ0J′0（λ0）= 0的第一正根，γ= R/2，

證由（28）式，可得

由（30）式，（10）式及（12）式，可得

（31）式在球域

上成立，若取Rd上有界閉區(qū)域?，且??BR（BR為包含?的最小球域），對于?外球域內(nèi)進(jìn)行零延拓

由（32）式，引理1及引理4，可得

移項(xiàng)后，可得

至此定理3的證明完畢.

注3定理3將Hoffmann-Ostenhof和Laptev中的定理1.1推廣至加權(quán)與帶余項(xiàng)的情形.

［1］Hardy G H. Note on a theorem of Hilbert［J］. Math Zeit，1920，6（3-4）: 314-317.

［2］孫保炬.關(guān)于有限和形式的Hardy-Hilbert不等式［J］.科技通報(bào)，2014，30（9）: 6-8.

［3］金永陽，韓亞洲. Heisenberg群上的一類帶余項(xiàng)的Hardy型不等式［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2011，31（6）: 1592-1600.

［4］何曉紅.關(guān)于Hardy平均的一個(gè)不等式及其應(yīng)用［J］.浙江大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版），2015，42（2）: 133-141.

［5］Lewis R T，Li Junfang，Li Yanyan. A geometric characterization of a sharp Hardy inequality［J］. J Func Anal，2012，262（7）: 3159-3185.

［6］韓亞洲，金永陽，張書陶.各向異性Heisenberg群上一類Hardy-Sobolev型不等式［J］.高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2010，25（4）: 440-446.

［7］Hoffmann-Ostenhof T，Laptev A. Hardy inequalities with homogeneous weights［J］. J Func Anal，2015，268（11）: 3278-3289.

［8］Doulbeault J，Esteban M，Laptev A. Spectral estimates on the sphere［J］. Anal PDE，2014，7（2）: 435-460.

［9］Avkhadiev F G，Wirths K J. Unified Poincare and Hardy inequalities with sharp constants for convex domains［J］. ZAMM-Z Angew Math Mech，2007，87（8-9）: 632-642.

MR Subject Classification: 42B

Hardy inequality with homogeneous weight

YING Xue-hai，CAI Guang-hui
（College of Statistics and Mathematics，Zhejiang Gongshang University，Hangzhou 310018，China）

Inspired by the ideas of Hoffmann-Ostenhof and Laptev，a class of Hardy-type inequalities with homogeneous weight are given. Using the one-dimensional Hardy-type inequality which has been obtained by Avkhadiev and Wirths，a class of weighted Hardy-type inequalities with remainder term are proved. The results obtained generalize the results of Hoffmann-Ostenhof and Laptev to the weighted and with the remainder term case.

Hardy type inequality；homogeneous weight function；remainder term

O178

A

1000-4424（2016）01-0109-07

2015-12-10

2016-01-18

蔡光輝，Email：cghzju@163.com

國家自然科學(xué)基金（11101364）；浙江省高校人文社科重點(diǎn)研究基地（統(tǒng)計(jì)學(xué)）