指數(shù)和Weibull串聯(lián)系統(tǒng)環(huán)境因子的統(tǒng)計(jì)推斷

周君興，俞列紅，王炳興*

（1.浙江財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，浙江杭州310018；2.浙江工商大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，浙江杭州310018）

?

指數(shù)和Weibull串聯(lián)系統(tǒng)環(huán)境因子的統(tǒng)計(jì)推斷

周君興1，俞列紅2，王炳興*2

（1.浙江財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，浙江杭州310018；
2.浙江工商大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，浙江杭州310018）

給出了Weibull串聯(lián)系統(tǒng)環(huán)境因子的定義，且研究了元件壽命服從指數(shù)分布和Weibull分布時串聯(lián)系統(tǒng)環(huán)境因子的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)，并利用模擬方法研究了所給點(diǎn)估計(jì)的精度和廣義置信區(qū)間的覆蓋率.模擬結(jié)果表明所給方法是令人滿意的.

串聯(lián)系統(tǒng)；環(huán)境因子；指數(shù)分布；Weibull分布；廣義區(qū)間估計(jì)

§1　引　言

在可靠性評估中經(jīng)常會遇到不同環(huán)境下的壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)，為節(jié)約試驗(yàn)時間和試驗(yàn)成本以及增加統(tǒng)計(jì)分析的精度，實(shí)際應(yīng)用中需要綜合不同環(huán)境下的壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)，而這涉及到不同環(huán)境之間壽命數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)化和折算問題.在可靠性統(tǒng)計(jì)中，把一個環(huán)境下的壽命數(shù)據(jù)等效折算為另一環(huán)境下的壽命數(shù)據(jù)的因子稱為環(huán)境因子.從這個意義上可以說環(huán)境因子是一種折算因子.

早在1965年，錢學(xué)森教授就提出了天地折合問題，即產(chǎn)品的地面信息與飛行實(shí)驗(yàn)信息如何折算即綜合的問題，顯然其中包括了環(huán)境因子問題（［1］）.已有許多文獻(xiàn)對環(huán)境因子的定義及其值的確定進(jìn)行了大量的研究.文獻(xiàn)［2］討論了環(huán)境因子的定義及其統(tǒng)計(jì)推斷，給出了幾個常見分布環(huán)境因子的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì).文獻(xiàn)［3］討論了利用經(jīng)驗(yàn)Bayes估計(jì)Rayleigh分布的環(huán)境因子的值.文獻(xiàn)［4］也通過Bayes方法來估計(jì)兩參數(shù)Weibull分布環(huán)境因子.文獻(xiàn)［5］導(dǎo)出了基于定數(shù)截尾樣本W(wǎng)eibull分布環(huán)境因子的近似無偏估計(jì)和近似置信區(qū)間，并用模擬方法研究了所給的近似無偏估計(jì)和近似區(qū)間估計(jì)的精度.文獻(xiàn)［6］利用廣義置信區(qū)間方法得到了Weibull分布尺度參數(shù)比（即Weibull壽命分布的環(huán)境因子）基于完全樣本的廣義置信區(qū)間.文獻(xiàn)［7］提出了服從單參數(shù)指數(shù)分布的兩個獨(dú)立產(chǎn)品的平均壽命比率（即指數(shù)分布的環(huán)境因子）的兩個估計(jì)量并研究了它們的均值、方差、方差的估計(jì)等問題.文獻(xiàn)［8-10］給出了環(huán)境因子在可靠性數(shù)據(jù)分析中的一些應(yīng)用.

但是現(xiàn)有文獻(xiàn)對串聯(lián)系統(tǒng)的環(huán)境因子的討論很少.文獻(xiàn)［1］分析了指數(shù)型串聯(lián)系統(tǒng)環(huán)境因子的近似限.在本文中，根據(jù)環(huán)境因子的折算原理得到了Weibull分布串聯(lián)系統(tǒng)的環(huán)境因子.導(dǎo)出了基于定數(shù)逐次截尾樣本指數(shù)串聯(lián)系統(tǒng)和Weibull串聯(lián)系統(tǒng)環(huán)境因子的點(diǎn)估計(jì)和廣義置信區(qū)間，并利用模擬方法研究了所給的點(diǎn)估計(jì)和廣義置信區(qū)間的有限樣本性質(zhì).

§2　Weibull串聯(lián)系統(tǒng)環(huán)境因子的定義

設(shè)系統(tǒng)有m個相互獨(dú)立的不同元件串聯(lián)而成.假設(shè)在環(huán)境i（i = 1，2）下第j個元件的壽命Xi，j服從Weibull分布，其分布函數(shù)為

注意到在環(huán)境i下這個串聯(lián)系統(tǒng)的壽命為

所以Xi也服從Weibull分布，其分布函數(shù)為

設(shè)環(huán)境1下系統(tǒng)工作x1單位時間相當(dāng)于環(huán)境2下系統(tǒng)工作x2單位時間，則由文獻(xiàn)［2］知，系統(tǒng)的環(huán)境因子由下面式子確定:

由（1）式得

式中

（3）式即為Weibull串聯(lián)系統(tǒng)環(huán)境因子的計(jì)算公式.利用這個因子和（2）式可以把環(huán)境1下壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)折算成環(huán)境2下的壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)，其中x1是環(huán)境1下真實(shí)的壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)，x2是環(huán)境2下折算得到壽命數(shù)據(jù).特別地，當(dāng)β= 1時由（3）式得到指數(shù)分布串聯(lián)系統(tǒng)的環(huán)境因子為

由（4）式知其和文獻(xiàn)［1］的定義相同.

§3　定數(shù)逐次截尾壽命試驗(yàn)

定數(shù)逐次截尾壽命試驗(yàn)是常見定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)的一般化，它允許在每一個失效時刻從尚未失效產(chǎn)品中隨機(jī)選取部分產(chǎn)品退出壽命試驗(yàn).這種壽命試驗(yàn)的優(yōu)點(diǎn)是既能從已失效產(chǎn)品了解產(chǎn)品的失效信息，也能從退出試驗(yàn)的產(chǎn)品中了解產(chǎn)品在試驗(yàn)過程中的退化信息，后者有時對改進(jìn)產(chǎn)品的質(zhì)量是極其重要的.假定在環(huán)境i下第j個元件有ni，j個產(chǎn)品進(jìn)行定數(shù)逐次截尾壽命試驗(yàn)，當(dāng)觀察到第一個失效時刻Xi，j，1時，從尚未失效的ni，j- 1個產(chǎn)品中隨機(jī)地選取Ri，j，1個退出試驗(yàn)，留下ni，j-Ri，j，1-1個產(chǎn)品繼續(xù)試驗(yàn)；如此進(jìn)行下去，直到觀察到第ri，j個產(chǎn)品失效時刻Xi，j，ri，j時停止試驗(yàn)，此時尚未失效產(chǎn)品全部退出試驗(yàn).記ri，j個觀察到的失效時間為

其中Ri，j，k，ri，j，ni，j是預(yù)先確定的非負(fù)整數(shù)，此時有

稱這種壽命試驗(yàn)為定數(shù)逐次截尾壽命試驗(yàn)，觀察到的樣本為定數(shù)逐次截尾樣本.特別地，當(dāng)Ri，j，1= ... = Ri，j，ri，j-1= 0時Ri，j，ri，j= ni，j- ri，j，此時對應(yīng)的樣本即為常見的定數(shù)截尾樣本.

§4　指數(shù)串聯(lián)系統(tǒng)環(huán)境因子的參數(shù)估計(jì)

設(shè)Xi，j，1，Xi，j，2，···，Xi，j，ri，j，i = 1，2，j = 1，2，···，m是在環(huán)境i下串聯(lián)系統(tǒng)的第j個元件的服從指數(shù)分布時的定數(shù)逐次截尾樣本，Ri，j，1，Ri，j，2，···，Ri，j，ri，j是試驗(yàn)中相應(yīng)退出試驗(yàn)的元件數(shù).記在環(huán)境i下系統(tǒng)的第j個元件的總試驗(yàn)時間為（Ri，j，k+ 1）Xi，j，k.易見，在定數(shù)截尾樣本下，系統(tǒng)的第j個元件在環(huán)境i下的總試驗(yàn)時間為

4.1點(diǎn)估計(jì)

為得到相關(guān)結(jié)果，需要下面引理.引理的證明類似于文獻(xiàn)［7］的定理的證明.

引理設(shè)T1，T2，···，Tr是來自均值為1/λ的指數(shù)分布的樣本容量為n的定數(shù)逐次截尾樣本.記，則（1）S是充分統(tǒng)計(jì)量；（2）?λ=（r - 1）/S是λ的一致最小方差無偏估計(jì)；（3）2λS～χ2（2r）.

由引理可知，?λi，j=（ri，j- 1）/Si，j是參數(shù)λi，j的一致最小方差無偏估計(jì)，且2λi，jSi，j～χ2（2ri，j）.從而KE的一個估計(jì)為，其中n =

注意到?λi，j，i = 1，2，j = 1，2，···，m之間是相互獨(dú)立的，所以

因?yàn)?λ2，j，j = 1，2，···，m之間是相互獨(dú)立的，且2λ2，j（r2，j- 1）/?λ2，j～χ2（2r2，j），所以

式中fj（x）是χ2（2r2，j）的密度函數(shù).注意到上式是參數(shù)λ2，1，···，λ2，m函數(shù)，記

則從（6）式可得KE的另一個估計(jì)為

當(dāng)m較大時，利用上述積分方法計(jì)算g（λ2，1，···，λ2，m）是很麻煩的.令Ui，j= 2λi，jSi，j.注意到

及Ui，j～χ2（2ri，j），所以g（?λ2，1，···，?λ2，m）可以用Monte Carlo方法得到.具體為

（1）對給定的?λ2，1，···，?λ2，m，計(jì)算mj=1?λ2，j；

（2）產(chǎn)生m個隨機(jī)數(shù)U2，j～χ2（2r2，j），j = 1，...，m，計(jì)算

（3）重復(fù)步驟2，10000次或更多，計(jì)算其平均值，記作g1.則g（?λ2，1，···，?λ2，m）可以用

估計(jì).

注注意到

所以當(dāng)r2，j≥3，j = 1，...，m時有

4.2模擬研究

下面利用模擬的方法比較了所給的二個點(diǎn)估計(jì)的精度.對點(diǎn)估計(jì)?KE和?KE從偏差和均方誤差兩個方面作了比較.

由于Si，j的分布與樣本容量無關(guān)，僅與截尾數(shù)ri，j和失效率λi，j有關(guān)，所以在模擬研究中僅考察截尾數(shù)ri，j和失效率λi，j對點(diǎn)估計(jì)的影響.

在模擬中取m = 2，λ1，1= 1，（λ1，2，λ2，1，λ2，2）=（0.5，0.1，0.05）.對給定參數(shù)和定數(shù)逐次截尾試驗(yàn)方案，利用文獻(xiàn)［10］提出的方法產(chǎn)生10000組模擬樣本，分別計(jì)算指數(shù)串聯(lián)系統(tǒng)的環(huán)境因子的點(diǎn)估計(jì)?KE和?KE的平均偏差和平均均方誤差，模擬結(jié)果見表1.

表1　指數(shù)分布情形點(diǎn)估計(jì)的模擬結(jié)果

從模擬結(jié)果可以發(fā)現(xiàn):?KE的偏差和均方誤差比?KE均有不同程度的改進(jìn).截尾數(shù)越小，改進(jìn)程度越大.

§5　Weibull串聯(lián)系統(tǒng)環(huán)境因子的參數(shù)估計(jì)

5.1點(diǎn)估計(jì)

設(shè)Ti，j，1，Ti，j，2，···，Ti，j，ri，j，i = 1，2，j = 1，2，···，m是環(huán)境i下串聯(lián)系統(tǒng)的第j個元件服從Weibull分布時的定數(shù)逐次截尾樣本，Ri，j，1，Ri，j，2，···，Ri，j，ri，j是試驗(yàn)中相應(yīng)退出試驗(yàn)的元件數(shù).

注意到對數(shù)似然函數(shù)為

所以參數(shù)β的最大似然估計(jì)?β是下面方程的解：

而參數(shù)λi，j的最大似然估計(jì)?λi，j為

從而由最大似然估計(jì)的不變性得Weibull串聯(lián)系統(tǒng)的環(huán)境因子的最大似然估計(jì)為

5.2區(qū)間估計(jì)

由于環(huán)境因子KW的樞軸量不存在，所以也利用廣義置信區(qū)間估計(jì)方法來導(dǎo)得其置信區(qū)間.

記

則由文獻(xiàn)［12］知

且這些隨機(jī)變量之間相互獨(dú)立.

注意到

又由Ui，j= 2λβi，jSi，j，ri，j得λβi，j= 2Si，j，ri，j/Ui，j.利用廣義樞軸量的替代方法，得環(huán)境因子KW的廣義樞軸量為

式中si，j，ri，j=，而t =（ti，j，1，···，ti，j，ri，j，i = 1，2，j = 1，2，···，m）是T的觀察值.

設(shè)Wα是廣義樞軸量WW的α分位數(shù)，則（Wα/2，W1-α/2）是環(huán)境因子KW的置信系數(shù)為1-α的廣義置信區(qū)間.由于廣義樞軸量WW的精確分布很難得到，所以用模擬方法得到廣義樞軸量WW的分位數(shù).模擬步驟如下:

（1）對給定的截尾數(shù)ri，j，產(chǎn)生2m個相互獨(dú)立的隨機(jī)數(shù)Ui，j，其中

（2）對給定的截尾數(shù)ri，j，產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)W，其中

（3）對觀察到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)t和上面產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)Ui，j，W，利用（8）式計(jì)算廣義樞軸量WW的值；

（4）重復(fù)步驟1-3B（≥10000）次，得到B個WW的值；

（5）對得到B個WW的值進(jìn)行從小到大的排序得: W（1）≤W（2）≤···≤W（B），則W（Bα）是廣義樞軸量WW的α分位數(shù)的估計(jì)值.

5.3模擬研究

下面利用模擬的方法研究了廣義置信區(qū)間的性質(zhì)，考察了廣義置信限覆蓋真值的比例和置信限的平均值.模擬中取m = 2，λ1，1= 1，λ1，2= 0.7，λ2，1= 0.5，λ2，2= 0.4，β= 1，置信系數(shù)考察了0.95這種情況.各元件試驗(yàn)的樣本容量和定數(shù)逐次截尾方案（ri，j，Ri，j，k）相同，模擬計(jì)算的步驟如下:

（1）對給定參數(shù)，定數(shù)逐次截尾方案（ri，j，Ri，j，k），根據(jù)文獻(xiàn)［13］的方法產(chǎn)生服從Weibull分布的定數(shù)逐次截尾樣本

（2）利用上小節(jié)模擬方法（在模擬中取B = 10000）得到廣義樞軸量WW的0.05和0.95分位數(shù)，從而得到環(huán)境因子KW的置信系數(shù)為0.95的廣義置信上限和下限；

（3）重復(fù)步驟（1）-（2）1000次分別得到1000個環(huán)境因子KW的廣義置信上、下限；

（4）計(jì)算這1000個廣義置信上（下）限大（?。┯诃h(huán)境因子KW的真值的比例和它們的平均值.這二個比例即為廣義置信上、下限覆蓋率的估計(jì)值.

表2　Weibull分布情形區(qū)間估計(jì)的模擬結(jié)果

模擬結(jié)果見表2.模擬結(jié)果顯示:對所有考察情形廣義置信上、下限覆蓋真值的比例與名義值相差很小，說明提出廣義置信區(qū)間有很好的頻率解釋.廣義置信下限隨著截尾數(shù)增加而增加，而廣義置信上限隨著截尾數(shù)增加而減少，這與預(yù)期相符.

§6　結(jié)論

在可靠性評定中，環(huán)境因子能將不同環(huán)境下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)折算到同一環(huán)境下，從而能夠擴(kuò)充樣本容量，提高產(chǎn)品的可靠性評估.因此，確定環(huán)境因子的值是十分重要的.本文導(dǎo)出了指數(shù)串聯(lián)系統(tǒng)的點(diǎn)估計(jì)和Weibull串聯(lián)系統(tǒng)環(huán)境因子的點(diǎn)估計(jì)和廣義置信區(qū)間.模擬結(jié)果顯示，Weibull串聯(lián)系統(tǒng)環(huán)境因子的廣義置信區(qū)間的覆蓋率與置信區(qū)間的置信水平很接近，提出的廣義置信區(qū)間有很好的頻率解釋.因此本文提出的方法較好解決了這二種系統(tǒng)環(huán)境因子的統(tǒng)計(jì)推斷問題，為其實(shí)際應(yīng)用打下較好的理論基礎(chǔ).

［1］周源泉，翁朝曦.可靠性評定［M］.北京:科學(xué)出版社，1990.

［2］王炳興.環(huán)境因子的定義及其統(tǒng)計(jì)推斷［J］.強(qiáng)度與環(huán)境，1998，4: 24-30.

［3］胡俊梅，師義民，覃曉瓊. Rayleigh分布環(huán)境因子的經(jīng)驗(yàn)Bayes估計(jì)及仿真［J］.火力與指揮控制，2010，35（2）: 154-159.

［4］李鳳，師義民，荊源.兩參數(shù)Weibull分布環(huán)境因子的Bayes估計(jì)［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2008，30（1）: 186-189.

［5］王炳興. Weibull分布環(huán)境因子的統(tǒng)計(jì)分析［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2002，24（6）: 126-128.

［6］趙桂梅，徐興忠.兩個Weibull分布尺度參數(shù)比的推斷［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，2011，34（2）: 283-295.

［7］李建波，張日權(quán).單參數(shù)指數(shù)分布參數(shù)比率統(tǒng)計(jì)推斷的研究［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，2011，34（5）: 769-777.

［8］張海瑞，洪東跑，趙宇，等.基于變動統(tǒng)計(jì)的復(fù)雜系統(tǒng)可靠性綜合評估［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2015，37（5）: 1213-1218.

［9］武曉龍，孫波，尹國武，等.某型發(fā)動機(jī)可靠性環(huán)境因子分析及應(yīng)用［J］.航空發(fā)動機(jī)，2015，41（2）: 6-11.

［10］劉佳俊，胡昌華，周志杰，等.基于證據(jù)推理和置信規(guī)則庫的裝備壽命評估［J］.控制理論與應(yīng)用，2015，32（2）: 231-238.

［11］Weerahandi S. Generalized inference in repeated measures: exact methods in MANOVA and mixed models［M］. New Jersey: John & Wiley，2004.

［12］Wang Bingxing，Yu Keming，Jones MC. Inference under progressively type II right-censored sampling for certain lifetime distributions［J］. Technometrics，2010，52（4）: 453-460.

［13］Balakrishnan N，Sandhu R. A simple simulational algorithm for generating progressive Type-Ⅱcensored samples［J］. The American Statistician，1995，49: 229-230.

MR Subject Classification: 62N05

Statistical inference for the environment factor under exponential and Weibull series system

ZHOU Jun-xing1，YU Lie-hong2，WANG Bing-xing2
（1. School of Mathematics and Statistics，Zhejiang University of Finance and Economics，Hangzhou 310018，China；2. School of Statistics and Mathematics，Zhejiang Gongshang University，Hangzhou 310018，China）

The definition of the environment factor of Weibull series system is given. The point and interval estimations of the environment factor are derived when the lifetimes of units are exponential or Weibull distributions. The precision of the proposed confidence interval is studied by simulation. The simulation results show that the proposed procedure is satisfactory.

series system；environment factor；exponential distribution；Weibull distribution；generalized interval estimation

O213.2

A

1000-4424（2016）01-0001-08

2015-10-12

2016-01-19

，Email：wangbingxing@163.com

國家自然科學(xué)基金（11371322）