余弦函數(shù)的Perron定理

盧丑麗

(山西農(nóng)業(yè)大學(xué) 信息學(xué)院, 山西 晉中　030800)

余弦函數(shù)的Perron定理

盧丑麗

(山西農(nóng)業(yè)大學(xué) 信息學(xué)院, 山西 晉中030800)

摘要:研究了二階微分方程的柯西問題,利用余弦函數(shù)的指數(shù)有界性和泛函分析方法,得到關(guān)于該問題的Perron定理,推廣了相關(guān)文獻(xiàn)的主要結(jié)論.

關(guān)鍵詞:柯西問題; 余弦函數(shù); 二階微分方程; 指數(shù)性

0引言

1921年,J.Hadamard在《偏微分方程中的柯西問題》中首次介紹了柯西問題, 緊接著, 經(jīng)典的柯西問題(ACP;A,X)

被廣泛研究[1-3].當(dāng)算子A生成一個強(qiáng)連續(xù)C0半群或者C半群時,其指數(shù)有界的解的問題及應(yīng)用被進(jìn)一步的研究.O.perron[4]給出了指數(shù)有界的特征,并且指出,當(dāng)X是有限維空間,A是一個矩陣時,對任意R+到X的連續(xù)有界函數(shù),滿足柯西問題(A,x)

的解是指數(shù)穩(wěn)定的之后,結(jié)合C0半群或者C半群的相關(guān)結(jié)論被推廣到無窮維空間,非自治系統(tǒng)等情形.2004年,P.Preda[5]研究了C半群的perron問題,但二階柯西問題的perron問題是否存在并未提及.本文借助余弦函數(shù)及其性質(zhì),并應(yīng)用相關(guān)知識,得到二階柯西問題的指數(shù)穩(wěn)定解的perron定理,其中二階Cauchy問題微分方程為

(1)

1預(yù)備知識

本文中假設(shè)(X,‖·‖)為Banach空間,其中‖·‖是最大范數(shù),記B(X)為X上全體有界線性算子構(gòu)成的Banach代數(shù),Cb(R,X)為f:R→X上全體有界且一致連續(xù)函數(shù).C0(R,X)是滿足limt→∞f(t)=0的所有連續(xù)函數(shù),AP(R,X)為Cb(R,X)中滿足{t→eiλtx:R→X,λ∈R,x∈X}的線性閉包.

定義1設(shè)(X,‖·‖)為Banach空間,X中的強(qiáng)連續(xù)算子族{C(t):R→B(X)}稱為余弦算子函數(shù)(簡稱余弦函數(shù)),如果滿足

1) C(t+s)+C(t-s)=2C(t)C(s),?t,s∈R;

2) C(0)=I,I為單位算子;

3) 對R中任意固定的x∈X,算子t→C(t)x是強(qiáng)連續(xù)的.

性質(zhì)1[4]1) C(t)=C(-t),?t∈R,S(t)=-S(-t),?t∈R;

2) C(t)C(τ)=C(τ)C(t),S(t)S(τ)=S(τ)S(t),?t,τ∈R;

3) C(0)=I,S(0)=0;

4)?M≥1,ω>0,s.t.‖C(t)‖≤Meω|t|,?t∈R.

5) 如果A是余弦函數(shù)C(t)的無窮算子,則A是閉稠定的,且滿足?t∈R,C(t)D(A)?D(A), 及 ?g∈D(A),C(t)Ag=AC(t)g.

8) 如果A是余弦函數(shù)C(t)的無窮算子,則

本文考慮空間X中如下的二階微分方程

其中A是余弦函數(shù){C(t),t∈R}的算子,f為從R到X的連續(xù)函數(shù),顯然柯西問題(1)的古典解u(t)二階可微,u(t)∈D(A),并滿足方程(1).

證假設(shè)u:R→D(A)?X是(1)的解,則從文[3]可知

-S(t-s)Au(s)+C(t-s)u′(s),

對上式從0到t積分,同時由于C(0)=I,S(0)=0,有

定義4Cb(R,X)的一個子集E稱為連續(xù)可分的,如果對于任意的a>0,以及任意的從[-a,a]到X的映射f,存在g∈E滿足‖g‖=supt∈[-a,a]|f(t)|及g|[-a,a]=f.

例1對于一個給定a>0及從[0,a]到X的連續(xù)函數(shù),我們定義g:R→X,g(-t)=g(t),

則g∈C0(R+,X)?B∪C(R+,X),g|[0.a]=f,且‖g‖=supt∈[0,a]‖f(t)‖.故C0(R,X),

Cb(R,X),AP(R,X)是連續(xù)可分的.

性質(zhì)3假設(shè){C(t),t∈R}是算子A生成的余弦函數(shù),如果E是可容許{C(t)}閉集的一個子空間,則存在K>0滿足‖uf′‖≤K‖f‖,?f∈E.

故VEf=g.結(jié)論得證.

2主要結(jié)論

定理1如果E是Cb(R,X)中連續(xù)可分的閉子空間,且E上對余弦函數(shù){C(t),t∈R}指數(shù)有界是可容許的,則{C(t),t∈R}是指數(shù)穩(wěn)定的.

證首先我們證明{C(t),t∈R}是有界的.

因為余弦函數(shù)為偶函數(shù),對任意t≥0,x∈X,及函數(shù)f:[0,t]→X定義f(s)=e-ωsC(s)x,則存在函數(shù)g∈E使得g|[0,t]=f,及‖g‖=sups∈[0,t]‖f(s)‖≤M‖x‖.

故有

即對任意t≥0,當(dāng)L=M(2ωK+1),‖C(t)‖≤L.

其中t≥0和x∈X均為任意,則存在gn∈E使得

gn|[0,t]=fn,‖gn‖=sups∈[0,t]‖fn(s)‖≤LKn‖x‖.

從而

因此

證完.

定理2假設(shè){C(t)}t≥0是指數(shù)有界余弦函數(shù),若滿足以下條件之一,則其是指數(shù)穩(wěn)定的.

1) C0(R,X)對{C(t)}t≥0可容許的;

2) B∪C(R,X)對{C(t)}t≥0可容許的;

3) AP(R,X) 對{C(t)}t≥0可容許的.

證因f∈C0(R,X),易知函數(shù)有界.再由定理1及例1易證結(jié)論.

注我們考慮C余弦函數(shù),可得類似的結(jié)論.

參考文獻(xiàn)：

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[5]Petre Preda,Alin Pogan, Ciprian Preda. The Perron problem for C-semigroups[J]. Math J Okayama Univ, 2004(46):141-151.

[6]鄭權(quán),雷巖松.指數(shù)有界的C余弦函數(shù)[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué), 1996, 16(3):242-252.

[責(zé)任編輯：李春紅]

The Perron Problem of Cosine Functions

LU Chou-li

(School of Information, Shanxi Agricultural University, Jinzhong Shanxi 030008, China)

Abstract:This paper deals with the problem on the second-order differential equation, using the theory of the cosine function with the exponentially bounded and the method of functional analysis, the perron problem of the second order differential equation is given. And extend the main results of corresponding papers.

Key words:abstract cauchy problem; cosine functions; second-order diferential equation; exponentially

收稿日期:2015-11-09

通訊作者:盧丑麗(1985-), 女, 山西忻州人, 肋教, 碩士, 研究方向為應(yīng)用泛函分析. E-mail: 290136842@qq.com

中圖分類號:O175.3

文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

文章編號:1671-6876(2016)02-0110-04