樣本估計(jì)總體思想的應(yīng)用

□陳德前

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樣本估計(jì)總體思想的應(yīng)用

□陳德前

用樣本特征去估計(jì)總體的特征是統(tǒng)計(jì)方法最基本的特點(diǎn)，這是因?yàn)橛行┍豢疾鞂?duì)象的總體數(shù)目太大，有些又具有破壞性，所以不能一一進(jìn)行考察，而必須采用抽樣的方法.樣本雖然不能完全代表總體，但當(dāng)選擇的樣本數(shù)據(jù)與樣本容量得當(dāng)時(shí)，用樣本去估計(jì)總體就具有一定的可靠性.在實(shí)際生活中，我們常常利用樣本估計(jì)總體的思想來(lái)解決有關(guān)問題，進(jìn)行決策.

一、用樣本的平均數(shù)估計(jì)總體的平均數(shù)

例1在“愛滿揚(yáng)州”慈善一日捐活動(dòng)中，學(xué)校團(tuán)總支為了了解本校學(xué)生的捐款情況，隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的捐款數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并繪制成如圖1所示的統(tǒng)計(jì)圖.

（1）求這50名同學(xué)捐款的平均數(shù)；

（2）該校共有600名學(xué)生參與捐款，請(qǐng)估計(jì)該校學(xué)生的捐款總數(shù).

圖1

解析：（1）這50名同學(xué)捐款的平均數(shù)為（5×8+ 10×14+ 15× 20+20×6+25×2）÷50=13（元）；

（2）估計(jì)該校學(xué)生的捐款總數(shù)為13×600=7800（元）.

點(diǎn)評(píng)：解決問題（2）的關(guān)鍵是先利用樣本中捐款的平均數(shù)來(lái)估計(jì)總體中捐款的平均數(shù)，再用總體平均數(shù)乘以該?？?cè)藬?shù)即可得學(xué)生的捐款總數(shù).

二、用樣本的百分比估計(jì)總體的百分比

例2為了進(jìn)一步了解義務(wù)教育階段學(xué)生體質(zhì)健康狀況，教育部對(duì)我市某中學(xué)九年級(jí)的部分學(xué)生進(jìn)行了體質(zhì)抽測(cè)，體質(zhì)抽測(cè)的結(jié)果分別為四個(gè)等級(jí)：優(yōu)秀、良好、合格、不合格.根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如圖2所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息回答以下問題：

圖2

（1）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“合格”的百分比為________；

（2）本次體質(zhì)抽測(cè)中，抽測(cè)結(jié)果為“不合格”等級(jí)的學(xué)生有_____人；

（3）若該校九年級(jí)有400名學(xué)生，估計(jì)該校九年級(jí)體質(zhì)為“不合格”等級(jí)的學(xué)生約有_______人.

解析：（1）合格的百分比為1-32%-16%-12%=40%；

（2）總?cè)藬?shù)=8÷16%=50人，不合格的人數(shù)=50×32%=16人；

（3）九年級(jí)體質(zhì)不合格人數(shù)= 400×32%=128（人）.

點(diǎn)評(píng)：本題解題的關(guān)鍵是從統(tǒng)計(jì)圖中得出樣本中體質(zhì)抽測(cè)結(jié)果“不合格”的百分比，進(jìn)而估計(jì)出學(xué)生400人中體質(zhì)抽測(cè)結(jié)果“不合格”的百分比，再由此計(jì)算出體質(zhì)“不合格”等級(jí)學(xué)生的具體人數(shù).

三、用樣本的頻數(shù)（頻率）估計(jì)總體的頻數(shù)（頻率）

例3某數(shù)學(xué)興趣小組在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽取了50名同學(xué)進(jìn)行“舌尖上的長(zhǎng)沙——我最喜愛的長(zhǎng)沙小吃”調(diào)查活動(dòng)，將調(diào)查問卷整理后繪制成如圖3所示的不完整條形統(tǒng)計(jì)圖.

圖3

請(qǐng)根據(jù)所給信息解答以下問題：

（1）請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（2）若全校有2000名同學(xué)，請(qǐng)估計(jì)全校同學(xué)中最喜愛“臭豆腐”的同學(xué)有多少人？

解析：（1）根據(jù)題意得：喜歡“唆螺”的人數(shù)為：50-（14+21+5）= 10（人），補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如圖4所示.

圖4

點(diǎn)評(píng)：由樣本中最喜愛“臭豆腐”的頻率估計(jì)出總體中最喜愛“臭豆腐”的頻率是解決第（2）題的關(guān)鍵.

四、用樣本中特殊數(shù)據(jù)估計(jì)總體中相應(yīng)特殊數(shù)據(jù)

例4為提高居民的節(jié)水意識(shí)，向陽(yáng)小區(qū)開展了以“建設(shè)節(jié)水型社區(qū)，保障用水安全”為主題的節(jié)水宣傳活動(dòng).小瑩同學(xué)積極參與小區(qū)的宣傳活動(dòng)，并對(duì)小區(qū)300戶家庭用水情況進(jìn)行了抽樣調(diào)查，她在300戶家庭中，隨機(jī)調(diào)查了50戶家庭5月份的用水量情況，結(jié)果如圖5所示.

圖5

（1）試估計(jì)該小區(qū)5月份用水量不高于12t的戶數(shù)占小區(qū)總戶數(shù)的百分比；

（2）把圖中每組用水量的值用該組的中間值（如0～6的中間值為3）來(lái)替代，估計(jì)該小區(qū)5月份的用水量.

解析：（1）這50戶5月份用水量不高于12t的戶數(shù)占小區(qū)總戶數(shù)的百分比為故估計(jì)該小區(qū)5月份用水量不高于12t的戶數(shù)占小區(qū)總戶數(shù)的百分比是52%；

（2）用各組的中間值乘以戶數(shù)，得出總的用水量為3×6+9×20+ 15×12+21×7+27×5=660t，再除以抽查的戶數(shù)求出樣本中每戶的平均用水量為660÷50=13.2t，所以估計(jì)整個(gè)小區(qū)的每戶平均用水量為13.2t，最后乘以該小區(qū)總的戶數(shù)即可得出該小區(qū)5月份的用水量是13.2×300=3960t.

點(diǎn)評(píng)：本題兩次應(yīng)用了樣本估計(jì)總體的思想：第一次是用抽查的50戶中5月份用水量不高于12t的戶數(shù)占小區(qū)總戶數(shù)的百分比估計(jì)出該小區(qū)300戶中5月份用水量不高于12t的戶數(shù)占小區(qū)總戶數(shù)的百分比；第二次是用各組的中間值求出樣本中每戶的平均用水量來(lái)估計(jì)整個(gè)小區(qū)每戶的平均用水量.

五、用樣本中對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的比估計(jì)總體中對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的比

例5某學(xué)校為了了解學(xué)生上學(xué)的交通情況，選取九年級(jí)全體學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.根據(jù)調(diào)查結(jié)果，畫出如圖6所示的扇形統(tǒng)計(jì)圖.圖中“公交車”對(duì)應(yīng)的扇形圓心角為60°，“自行車”對(duì)應(yīng)的扇形圓心角為120°.已知九年級(jí)乘公交車上學(xué)的人數(shù)為50人.

（1）九年級(jí)學(xué)生中，騎自行車和乘公交車上學(xué)哪個(gè)更多？多多少人？

（2）如果全校有學(xué)生2000人，學(xué)校準(zhǔn)備的400個(gè)自行車停車位是否足夠？

圖6

解析：（1）∵120°=60°×2，

∴騎自行車的人數(shù)是乘公交車人數(shù)的2倍，

∴騎自行車的人數(shù)為50×2= 100（人），100-50=50（人）.

答：騎自行車的人多，多50人.

∴學(xué)校準(zhǔn)備400個(gè)自行車位不夠.

點(diǎn)評(píng)：要讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息.利用樣本中“自行車”對(duì)應(yīng)的扇形圓心角與360°的比估計(jì)總體中“自行車”對(duì)應(yīng)的扇形圓心角與360°的比是解決問題的關(guān)鍵.