球形機(jī)器人的建模與控制研究

王志群　劉　蕾　楊　彬　董　春

(北京交通大學(xué)電子信息工程學(xué)院1，北京　100044；北京交通大學(xué)電氣工程學(xué)院2,北京　100044)

球形機(jī)器人的建模與控制研究

王志群1劉蕾2楊彬2董春2

(北京交通大學(xué)電子信息工程學(xué)院1，北京100044；北京交通大學(xué)電氣工程學(xué)院2,北京100044)

摘要：設(shè)計(jì)了一種通過三個(gè)慣性輪驅(qū)動(dòng)的球形機(jī)器人，基于角動(dòng)量守恒定律實(shí)現(xiàn)機(jī)器人移動(dòng)。利用四元數(shù)及Kane方程建模方法，建立了球形機(jī)器人的完整動(dòng)力學(xué)模型，給出了控制其運(yùn)動(dòng)的微分方程組，進(jìn)而設(shè)計(jì)一個(gè)自適應(yīng)模糊滑模變結(jié)構(gòu)控制器，以實(shí)現(xiàn)對參數(shù)及動(dòng)力學(xué)模型不精確的球形機(jī)器人的位置控制。為了減弱系統(tǒng)的抖振，通過對滑?？刂破髦械那袚Q項(xiàng)進(jìn)行模糊逼近，使切換項(xiàng)連續(xù)化。軌跡跟蹤的仿真和試驗(yàn)表明，該控制器在參數(shù)不確定和動(dòng)力學(xué)模型不精確的系統(tǒng)中有良好的表現(xiàn)。

關(guān)鍵詞：球形機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型四元數(shù)Kane方程滑模變結(jié)構(gòu)控制自適應(yīng)模糊控制減振軌跡跟蹤

VibrationreductionTrajectorytracking

0引言

球形機(jī)器人由球殼及內(nèi)部驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)組成，它的運(yùn)動(dòng)原理主要為兩種：一種是通過內(nèi)部驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)改變系統(tǒng)的重心位置，如輪式質(zhì)量塊驅(qū)動(dòng)[1]、位移質(zhì)量塊驅(qū)動(dòng)[2]、兩自由度擺驅(qū)動(dòng)[3]等；另一種是改變系統(tǒng)的角動(dòng)量，如雙轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)[4]、三自由度陀螺[5]等。

文獻(xiàn)[6]提出的動(dòng)力學(xué)模型，只適用于球形機(jī)器人的直線運(yùn)動(dòng)；而文獻(xiàn)[7]擺桿驅(qū)動(dòng)的球形機(jī)器人則采用反饋線性化的方法，設(shè)計(jì)直線軌跡跟蹤的控制器。此外，直線軌跡跟蹤控制器的設(shè)計(jì)方法還有：滑模變結(jié)構(gòu)方法[8]、自適應(yīng)分層滑模控制方法[9]、自適應(yīng)神經(jīng)模糊和滑模變結(jié)構(gòu)控制相融合的方法[10]等。文獻(xiàn)[11]對球形機(jī)器人的模型進(jìn)行線性化，忽略內(nèi)部驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)效應(yīng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)滑模變結(jié)構(gòu)軌跡跟蹤控制器；文獻(xiàn)[12]則基于解耦的動(dòng)力學(xué)模型并忽略機(jī)器人的橫向及縱向旋轉(zhuǎn)，設(shè)計(jì)了一個(gè)模糊控制器進(jìn)行運(yùn)動(dòng)控制。

本文將研究使用慣性輪驅(qū)動(dòng)的球形機(jī)器人，并設(shè)計(jì)滑?？刂破鲗?shí)現(xiàn)平面軌跡跟蹤。為了解決抖振的問題，采用模糊系統(tǒng)對滑?？刂破鞯那袚Q項(xiàng)進(jìn)行逼近，從而實(shí)現(xiàn)控制信號的連續(xù)化。

1運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)建模

1.1運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

受文獻(xiàn)[13]、文獻(xiàn)[14]的啟發(fā)，本文設(shè)計(jì)了球形機(jī)器人結(jié)構(gòu)。為便于建模及仿真，在此假設(shè)裝配了3個(gè)慣性輪及相對應(yīng)數(shù)目配重塊的球形機(jī)器人的質(zhì)心，剛好與球殼中心重合。設(shè)慣性坐標(biāo)系為{1}(x1,y1,z1)。坐標(biāo)系{2}(x2,y2,z2)與慣性坐標(biāo)系{1}平行，原點(diǎn)與球心重合，坐標(biāo)系{3}(x3,y3,z3)為球體坐標(biāo)系，與坐標(biāo)系{2}同原點(diǎn)，但是坐標(biāo)系隨著球的旋轉(zhuǎn)而發(fā)生相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)。對于坐標(biāo)系{2}與坐標(biāo)系{3}之間的旋轉(zhuǎn)和平移關(guān)系，可用四元數(shù)表示如下：

(1)

(2)

由文獻(xiàn)[15]可知，空間角速度與旋轉(zhuǎn)四元數(shù)之間的關(guān)系可表示為：

(3)

由式(3)可計(jì)算得到球殼在坐標(biāo)系{2}的角速度和角加速度：

(4)

式中：2ω1及2α1分別為球形機(jī)器人第1部分(即球殼)的角速度及角加速度向量在坐標(biāo)系{2}中的描述。

球心的速度為：

2V1=2VI+2ω1×2rG/I=2ω1×Rsk2

(5)

式中：2V1為球形機(jī)器人第1部分(即球殼)質(zhì)心位置的線速度向量在坐標(biāo)系{2}中的描述；2VI為球形機(jī)器人與地面接觸點(diǎn)間的速度向量；2rG/I為球形機(jī)器人幾何中心到球殼與地面接觸點(diǎn)間的位置向量在坐標(biāo)系{2}中的描述；Rs為球殼半徑。

(6)

(7)

由于配重塊與球殼相連，因此它們的角速度及角加速度都與球殼相等，即：

(8)

式中：i=2,3,4。

3個(gè)慣性輪相對于坐標(biāo)系{1}的角速度及角加速度分別為：

[3ω5,3ω6,3ω7]=[3ω1+Ωxi3,3ω1+

Ωyj3,3ω1+Ωzk3]

(9)

(10)

各慣性輪及配重塊質(zhì)心處的線速度及加速度為：

(11)

(12)

式中：i=1,2,3,4,5,6,7。

1.2動(dòng)力學(xué)建模

球形機(jī)器人系統(tǒng)可由9個(gè)參數(shù)[q0,q1,q2,q3,x,y,θx,θy,θz]來描述，但是這些參數(shù)之間并不相互獨(dú)立。以下由Kane法來推導(dǎo)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)微分方程。

(13)

(14)

電機(jī)轉(zhuǎn)子的慣性矩為：

(15)

電機(jī)產(chǎn)生的主動(dòng)力矩可分別表示為：

(16)

式中：Tx、Ty、Tz為3個(gè)電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩。

根據(jù)Kane法，計(jì)算出機(jī)器人各部位的線速度及角速度的偏導(dǎo)數(shù)為：

(17)

式中：i=1,2,3,4,5,6,7;j=1,2,3,4,5,6。

電機(jī)轉(zhuǎn)子在坐標(biāo)系{4}、{5}、{6}中相對角速度的偏導(dǎo)數(shù)分別為：

(18)

式中：j=1,2,3,4,5,6。

廣義主動(dòng)力和廣義慣性力分別為：

(19)

式中：j=1,2,3,4,5,6;2Ri為球形機(jī)器人各部位所產(chǎn)生的主動(dòng)力在坐標(biāo)系{2}中的描述；3Mi為球形機(jī)器人各部位所產(chǎn)生的主動(dòng)力矩在坐標(biāo)系{3}中的描述。

(20)

式中：j=1,2,3,4,5,6。

式(19)和式(20)由Kane法表述為：

(21)

式中：j=1,2,3,4,5,6。

將式(21)化為如下球形機(jī)器人全狀態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：

(22)

p=[q0,q1,q2,q3,x,y,θx,θy,θz]T

(23)

(24)

2控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

考慮建模誤差、參數(shù)變化以及其他不確定因素，式(22)可以改寫成以下形式：

(25)式中：ΔA、ΔC為建模誤差及參數(shù)不確定；D為測量噪聲及其他干擾。根據(jù)式(24)、式(25)，可改寫成以下形式：

(26)

(27)

為了跟蹤球形機(jī)器人系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡，系統(tǒng)輸出矩陣設(shè)計(jì)為H=[x,y,θz]T，對輸出矩陣取二階微分，可得：

(28)

(29)

式中：H∈R3，H2∈R3×3，d∈R3，可由式(24)得到。

2.1滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

取球形機(jī)器人的位置及角度指令，分別為xd、yd、θzd,則軌跡的跟蹤誤差為：

e=[x-xd,y-yd,θz-θzd]T=[ex,ey,ez]T

定義切換函數(shù)為：

則：

(30)

式中：Hd=[xd,yd,θzd]T;K=[k1,k2,k3]T。

將滑模控制律設(shè)計(jì)為：

(31)

式中：usw=[ηxsgn(sx),ηxsgn(sy),ηθzsgn(sθz)]T，且ηx>E,ηy>E,ηθz>E。

由式(29)和式(30)，可得：

(32)

將式(31)代入式(32)，可得：

(33)

2.2自適應(yīng)模糊滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

由于模糊系統(tǒng)具有萬能逼近特性，利用自適應(yīng)模糊控制方法，通過將滑?？刂破髦械那袚Q項(xiàng)進(jìn)行模糊逼近，可將切換項(xiàng)連續(xù)化，從而有效地降低抖振[16]。

分別為3個(gè)跟蹤目標(biāo)設(shè)計(jì)3個(gè)模糊系統(tǒng)，針對模糊系統(tǒng)輸入分別設(shè)計(jì)3個(gè)模糊子集，各有3條模糊規(guī)則。采用乘積推理機(jī)、單值模糊器和中心平均解模糊器設(shè)計(jì)模糊系統(tǒng)[17]，模糊系統(tǒng)的輸出為F，引入模糊基向量Φ(s)=[φ1(s),φ2(s),φ3(s)]T，則式(31)所表示的控制律可變?yōu)椋?/p>

(34)

理想的F(s|J)為F(s|J*)=ηsgn(s)，其中η>E。

自適應(yīng)律為：

J=γsφ(s)

(35)

式中:γ>0。

穩(wěn)定性證明如下：

[ηx|sx|,ηy|sy|,ηθz|sθz|]T<0

3仿真及試驗(yàn)

圖1 為利用自適應(yīng)模糊控制方法，將跟蹤位置x滑模控制器中的切換項(xiàng)進(jìn)行模糊逼近。將原先的切換項(xiàng)連續(xù)化，能夠有效降低控制系統(tǒng)的抖振。

圖2為圓周運(yùn)動(dòng)軌跡，2條軌跡表明球形機(jī)器人能夠快速穩(wěn)定地跟蹤給定的軌跡。圖3為跟蹤誤差曲線，采用曲線的形式，給出球形機(jī)器人進(jìn)行圓周軌跡跟蹤時(shí)，在x方向、y方向以及繞豎直轉(zhuǎn)軸z方向的轉(zhuǎn)角和跟蹤誤差。

圖1　x方向的切換項(xiàng)及模糊逼近示意圖

圖2　圓周運(yùn)動(dòng)軌跡

圖3　跟蹤誤差曲線

4結(jié)束語

本文研究了一種通過3個(gè)慣性輪驅(qū)動(dòng)的球形機(jī)器人。在對機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析的基礎(chǔ)上，利用四元數(shù)及Kane法，建立了球形機(jī)器人的完整動(dòng)力學(xué)模型，并進(jìn)行了相應(yīng)的仿真和試驗(yàn)研究。為了實(shí)現(xiàn)對球形機(jī)器人的軌跡跟蹤控制，設(shè)計(jì)了一個(gè)自適應(yīng)模糊滑模變結(jié)構(gòu)控制器。通過將滑模變結(jié)構(gòu)控制器中的切換項(xiàng)進(jìn)行模糊逼近，使切換項(xiàng)連續(xù)化，從而有效降低了抖振；對滿足一定條件的參考軌跡，實(shí)現(xiàn)了非完整機(jī)器人系統(tǒng)的全局漸近軌跡跟蹤控制。仿真結(jié)果證明了該控制器的有效性和正確性。

參考文獻(xiàn)

[1] HALME A, SCH?NBERG T, WANG Y.Motion control of a spherical mobile robot[C]// International Workshop on Advanced Motion Control (AMC), 1996.259-264.

[2] JAVADI A H, MOJABI P.Introducing august: a novel strategy for an omnidirectional spherical rolling robot[C]//IEEE International Conference on Robotics and Automation, 2002:3527-3533.

[3] ZGAN Q, ZHOU T, CHEN M,et al.Dynamic trajectory planning of a spherical mobile robot[C]//IEEE International Conference on Robotics, Automation & Mechatronics (RAM), 2006:1-6.

[4] BHATTACHARYA S, AGRAWAL S K.Spherical rolling robot: A design and motion planning studies[J].IEEE Transactions on Robotics and Automation, 2000, 16(6): 835- 839.

[5] OTANI T, URAKUBO T, MAEKAWA S, et al.Position and attitude control of a spherical rolling robot equipped with a Gyro[C]//IEEE International Workshop on Advanced Motion Control (AMC), 2006:416-421.

[6] ZHAO B, LI M, YU H, et al.Dynamics and motion control of a two pendulums driven spherical robot[C]//IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems (IROS), 2010.147-153.

[7] LIU D, SUN H, JIA Q.A family of spherical mobile robot: Driving ahead motion control by feedback linearization[C]//IEEE International Symposium on Systems and Control in Aerospace and Astronautics (ISSCAA), 2008.1-6.

[8] LIU B, YUE M, LIU R.Motion control of an underactuated spherical robot: A hierarchical sliding-mode approach with disturbance estimation[C]//IEEE International Conference on Mechatronics and Automation (ICMA), 2012.1804-1809.

[9] YUE M, LIU B.Adaptive control of an underactuated spherical robot with a dynamic stable equilibrium point using hierarchical sliding mode approach[J].International Journal of Adaptive Control and Signal Processing, 2014, 28(6): 523-535.

[10]KAYACAN E, RAMON H, SAEYS W.Adaptive neuro-fuzzy control of a spherical rolling robot using sliding-mode-control-theory-based online learning algorithm[J].IEEE Transactions on Cybernetics, 2013,43(1): 170-179.

[11]LIU D L, SUN H X, JIA Q X.Stabilization and path following of a spherical robot[C]//IEEE International Conference on Robotics, Automation and Mechatronics (RAM), 2008.676-682.

[12]KAYACAN E, BAYRAKTAROGLU Z Y, SAEYS W.Modeling and control of a spherical rolling robot: a decoupled dynamics approach[J].Robotica, 2012, 30(4): 671-680.

[13]GAJAMOHAN M, MERZ M, Thommen I, et al.The Cubli: A cube that can jump up and balance[C]//IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems (IROS), 2012.3722-3727.

[14]GAJAMOHAN M, MUEHLEBACH M, WIDMER T, et al.The Cubli: A reaction wheel based 3D inverted pendulum[C]//Control Conference (ECC), 2013 European.IEEE, 2013: 268-274.

[15]CHOU J C K.Quaternion kinematic and dynamic differential equations[J].IEEE Transactions on Robotics and Automation, 1992, 8(1): 53-64.

[16]NAZARI I, HOSAINPOUR A, PITTAN F, et al.Design sliding mode controller with parallel fuzzy inference system compensator to control of robot manipulator[J].International Journal of Intelligent Systems and Applications (IJISA), 2014, 6(4): 63.

[17]陳統(tǒng), 徐世杰.非合作式自主交會對接的終端接近模糊控制[J].宇航學(xué)報(bào), 2006, 27(3): 416-421.

ModelingofSphericalRobotandResearchonRelevantControl

Abstract：A spherical robot driven by three inertia wheels is designed; the motion of robot is implemented based on the law of conservation of angular momentum.Complete dynamics model of the robot is built by using quaternion and Kane equation modeling method; the differential equations that are controlling the motion are given, thereby an adaptive fuzzy sliding mode variable structure controller is designed to implement position control of the spherical robot, of which the parameters and dynamics model are not accurate enough.In order to weaken the buffeting vibration of the system, the switching items of the sliding mode controller are fuzzy approximated to make these items continuum.The simulation and experiments of trajectory tracking show that this controller has good manifestation in the system of which the parameters are undetermined either the dynamics model is inaccurate.

Keywords:Spherical robotDynamics modelQuaternionKane equationSliding mode variable structure controlAdaptive fuzzy control

中圖分類號：TH7;TP242

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.16086/j.cnki.issn 1000-0380.201606020

修改稿收到日期：2015-11-21。

第一作者王志群(1990-)，男，現(xiàn)為北京交通大學(xué)控制科學(xué)與工程專業(yè)在讀碩士研究生；主要從事移動(dòng)機(jī)器人控制方向的研究。