例析函數(shù)值域（最值）的求解策略

張梅

摘 要 通過具體例題，介紹求函數(shù)值域（最值）的常用方法。

關(guān)鍵詞 值域（最值）方法 函數(shù) 求解策略

中圖分類號(hào)：G683.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1函數(shù)的值域（最值）的知識(shí)點(diǎn)

（1）函數(shù)的值域：函數(shù)，（集合A是函數(shù)的定義域）。與x的值相對(duì)應(yīng)的y的值稱為函數(shù)值，函數(shù)值的集合（函數(shù)的值域。

（2）最大值定義：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)锳，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：（1）對(duì)于任意的，都有；（2）存在，使得。稱是函數(shù)的最大值。

（3）最小值定義：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)锳，如果存在實(shí)數(shù)滿足：（1）對(duì)于任意的，都有；（2）存在，使得。稱是函數(shù)的最小值。

（4）一般地，如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值，且值域?yàn)椤?/p>

2函數(shù)的值域（最值）求解策略

函數(shù)的值域（最值）沒有通性解法，只能依據(jù)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征來確定相應(yīng)的解法，下面見方法。

2.1分析觀察法

對(duì)于結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的函數(shù)，可以通過基本初等函數(shù)的性質(zhì)及不等式的性質(zhì)觀察出函數(shù)的值域（最值）

例1：求下列函數(shù)的值域。

2.2分離常數(shù)法

對(duì)于形如的函數(shù)，可采用分離常數(shù)法求值域（最值）。

例2：求函數(shù)的值域。

2.3反解x法

對(duì)于形如（或能夠轉(zhuǎn)化為）的函數(shù)，可以采用反解x法求值域（最值）。

例3：求下列函數(shù)的值域。

2.4配方法

對(duì)于二次函數(shù)或能夠轉(zhuǎn)化為的函數(shù)，可以通過配方法求函數(shù)的值域（最值）。

例4：求下列函數(shù)的值域。

函數(shù)圖像是對(duì)稱軸為的開口向下的拋物線，

2.5換元法

用新變量代替原來函數(shù)中的某部分對(duì)象，實(shí)現(xiàn)化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理超越式為代數(shù)式等，將比較復(fù)雜的函數(shù)轉(zhuǎn)化成易于求值域（最值）的函數(shù)進(jìn)行求解。

例5：求下列函數(shù)的值域。

當(dāng)即也即時(shí)，有最小值；

當(dāng)即也即時(shí)，有最大值。

值域?yàn)椤?/p>

點(diǎn)評(píng)：換元法要注意考慮新元“t”的取值范圍。

2.6單調(diào)性法

對(duì)于能快速判斷單調(diào)性的函數(shù)，可采用單調(diào)性法求值域（最值）。

例6：函數(shù)的值域?yàn)開_________。

解：函數(shù)的定義域?yàn)椋@然在其定義域上單調(diào)遞增，

∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有最小值，故值域?yàn)椤?/p>

2.7判別式法

對(duì)于形如、、的函數(shù)，我們可以將其轉(zhuǎn)化為的形式，再通過求得的范圍。但當(dāng)函數(shù)為指定的函數(shù)時(shí)，用判別式法求出y的范圍后，應(yīng)將端點(diǎn)值代回到原函數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，避免發(fā)生錯(cuò)誤。

2.8數(shù)形結(jié)合法

通過聯(lián)想，構(gòu)造幾何模型，探求問題的簡(jiǎn)捷解法。對(duì)于形如的最值問題，我們一般可以轉(zhuǎn)化為的斜率問題；對(duì)于形如的最值問題，我們一般可以轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線的截距問題；對(duì)于形如的最值問題，我們一般可以轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離問題。

2.9構(gòu)造輔助角法

由于正余弦函數(shù)都是有界函數(shù)，值域?yàn)閇-1，1]，通過構(gòu)造輔助角，利用函數(shù)的有界性，可求得（最值）。

2.10導(dǎo)數(shù)法

一般地，當(dāng)函數(shù)較為復(fù)雜而使用其它方法未能奏效時(shí)，我們往往可以使用導(dǎo)數(shù)法來進(jìn)行求解。