空間曲線實(shí)例的解法剖析

劉濤

（貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院理學(xué)院，貴州 畢節(jié) 551700）

空間曲線實(shí)例的解法剖析

劉濤

（貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院理學(xué)院，貴州 畢節(jié) 551700）

空間曲線是微分幾何的一個(gè)重要內(nèi)容，因其抽象、知識(shí)點(diǎn)多，初學(xué)者往往感到難以掌握，不容易把各知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通，對(duì)題目無處下手。根據(jù)不同的數(shù)學(xué)思想方法，從向量函數(shù)的性質(zhì)、撓率公式、伏雷內(nèi)公式、平面方程四種不同角度對(duì)微分幾何的一個(gè)實(shí)例進(jìn)行了剖析，較全面地介紹了空間曲線的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)和相關(guān)思想方法的應(yīng)用。

向量函數(shù)；伏雷內(nèi)公式；曲率；撓率

微分幾何是幫助學(xué)生由初等幾何通向現(xiàn)代微分幾何的橋梁，[1]在數(shù)學(xué)的專業(yè)學(xué)習(xí)中占有重要的地位。微分幾何研究的主要內(nèi)容是空間曲線和空間曲面，而空間曲線的學(xué)習(xí)又是理解空間曲面的基礎(chǔ)。[2]在空間曲線學(xué)習(xí)過程中，同學(xué)們往往感覺難以靈活地運(yùn)用相關(guān)知識(shí)來求解題目。在授課中我們可以選擇一些經(jīng)典實(shí)例，通過實(shí)例講解來演示如何借助常用的數(shù)學(xué)思想方法，綜合運(yùn)用微分幾何知識(shí)來求解相關(guān)題目。文章從不同的思想方法入手對(duì)一個(gè)空間曲線實(shí)例的解法進(jìn)行了全面剖析。通過這個(gè)實(shí)例的講解，可以鞏固空間曲線的相關(guān)知識(shí)，提高綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)和理解。

解析：對(duì)于這個(gè)實(shí)例，從相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)來思考，即可以從向量函數(shù)的性質(zhì)、撓率公式、伏雷內(nèi)公式、[3]平面方程四個(gè)角度來考慮證明方法，然后再思考如何借助常用的數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、方程思想等數(shù)學(xué)思想方法組織證明步驟。

分析：此證明是根據(jù)向量函數(shù)的性質(zhì)及幾何意義進(jìn)行的，在證明過程中需先構(gòu)造一個(gè)曲線所在平面的法向量，用到了數(shù)學(xué)中有較高難度的構(gòu)造方法，需要較強(qiáng)的分析能力和推理能力，對(duì)微分幾何初學(xué)者來說是較難掌握的。

（2）根據(jù)轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想證明：由空間曲線知識(shí)，可知一個(gè)空間曲線為平面曲線的充要條件

分析：證明過程中用到了向量函數(shù)的坐標(biāo)表示，向量函數(shù)混合積的行列式表示，及高等代數(shù)中的矩陣、秩、線性相關(guān)的知識(shí)。借助平面曲線與平面的關(guān)系進(jìn)行證明，證明過程涉及到多學(xué)科知識(shí)，這就要求具有綜合運(yùn)用多學(xué)科知識(shí)解決問題的能力。

小結(jié)

文章通過不同的數(shù)學(xué)思想方法對(duì)一空間曲線實(shí)例進(jìn)行了詳盡的剖析。在剖析過程中主要用到了一題多解的形式，但此處多解，不在于答案的多樣性，而在于知識(shí)的融匯性，方法的靈活性，思維的層次性。通過這樣的實(shí)例教學(xué)可以幫助同學(xué)們更好的理解和掌握空間曲線的相關(guān)知識(shí)及常用的數(shù)學(xué)思想方法。

[1]孫和軍,趙培標(biāo),陳大廣．微分幾何的教學(xué)地位與方法[J]．高等數(shù)學(xué)研究,2011（1）:101-103．

[2]John Oprea．DifferentialGeometry and ItsApplications[M]．New Jersey:pearson education,Inc,2004：1-46．

[3]梅向明,黃敬之．微分幾何[M]．北京:高等教育出版社,2008：29-52．

Abstuact:Curve in 3-space is an important content in differential geometry.It refersmany knowledges, so the studentswho justbegin study itusually feel hard to handle them.It is noteasy to solve questionswith the knowledges.A problem of curve in 3-space is solved in the articlewith vector function,tortsion formulas, Frenet Formulas and plane equation according to differentmathematical thoughts andmethods.Itusesmostof knowledgesof curve in 3-spaceandmeansofmathematics.

An Illustrative Exam p le of Curve in 3-Space

LIU Tao
(Schoolof Science,Guizhou University of Engineering Science,Bijie,Guizhou551700,China)

Vector Function;Frenet Formulas;Curvature;Torsion

B84

A

2096-0239（2016）06-0119-06

（責(zé)編：任秀秀 責(zé)校：明茂修）

2016-11-26

貴州省科學(xué)技術(shù)基金項(xiàng)目“基于格值邏輯的自動(dòng)推理方法研究”，項(xiàng)目編號(hào)：黔科合J字LKB[2012]02號(hào)。

劉濤（1982-），男，山東青島人，貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院理學(xué)院講師。研究方向：微分幾何、分形幾何。