Lebesgue控制收斂定理的證明及應(yīng)用

張孟娟,金瑾

（1.貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院，a.理學(xué)院，b.畢節(jié)循環(huán)經(jīng)濟(jì)研究院，貴州 畢節(jié) 551700)

Lebesgue控制收斂定理的證明及應(yīng)用

張孟娟1a,金瑾1b

（1.貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院，a.理學(xué)院，b.畢節(jié)循環(huán)經(jīng)濟(jì)研究院，貴州 畢節(jié) 551700)

通過引入Lebesgue積分與R iemann積分的關(guān)系，仔細(xì)比較兩個積分的優(yōu)越性，進(jìn)而詳細(xì)地闡述了Lebesgue控制收斂定理的證明及其應(yīng)用。首先給出了Lebesgue控制收斂定理并對其進(jìn)行證明，其次再舉例說明其基本的應(yīng)用，最后，指出該定理的不足之處并給出條件稍寬松的定理，從而可為解題帶來便利，為理解并掌握Lebesgue控制收斂定理及應(yīng)用提供指導(dǎo)。

Lebesgue積分；Riemann積分；極限

1 引言

Lebesgue控制收斂定理是在解決積分號與極限號的交換次序中常用到的工具之一，是在求函數(shù)列積分的極限時常用的基本手段之一，也是比Riemann積分更廣泛的定理。在談到極限號與積分號的交換時，基本上都是以此定理作為研究手段，并且在證明不等式、函數(shù)相等、數(shù)列收斂及積分的極限等方面起著舉足輕重的作用。并且作為實(shí)變函數(shù)的核心內(nèi)容，也在實(shí)際生活中有著廣泛應(yīng)用。

2 Lebesgue積分與Riemann積分的關(guān)系

5 結(jié)論

參考文獻(xiàn)：

[1]金瑾．測度與積分理論及其新研究[M]．貴陽：貴州民族出版社，2004:97-123．

[2]程其襄，張奠宙，魏國強(qiáng)，胡善文，王漱石．實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)(第三版)[M]．北京：高等教育出版社，2010:53-119．

[3]黃祖達(dá)，李應(yīng)求，肖宏芳，張敏．控制收斂定理的推廣及其應(yīng)用[J]．湖南文理學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2013（2）：14-15．

[4]周相泉，董桂真，張興田．積分連續(xù)性定理和Lebesgue控制收斂定理的新證明[J]．聊城師院學(xué)報(自然科學(xué)版),1995（2）:09-10．

[5]鄭維行，王聲望．實(shí)變函數(shù)與泛函分析概要[M]．北京：高等教育出版社，1989:136-144．

[6]劉曉輝，康叔衛(wèi)．Lebesgue控制收斂定理及應(yīng)用[J]．和田師范?？茖W(xué)校學(xué)報，2006（6）：231．

[7]周民強(qiáng)．實(shí)變函數(shù)解題指南[M]．北京：北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院出版社，2007:218-248．

Proof and App licationsof Lebesgue ControlConvergence Theorem

ZHANGMeng-juan1a,JIN Jin1b
(1a.SchoolofScience,Guizhou University of Engineering Science,Bijie,Guizhou551700,China;2b.Bijie Recycling Economy Research Institute,Guizhou University of Engineering Science,Bijie, Guizhou551700,China)

By introducing the relationship between Lebesgue integraland Riemann integral.The superiority of carefully compare two points,and in detail elaborated the Lebesgue control convergence theorem is proved and its application.Firstly,giveing the Lebesgue dominated convergence theorem and its proof,then illustrate its basic application.Finally,it is pointed out that the theorem of the deficiencies and give conditions slightly looser theorem,which can bring convenience for us to solve problems.Through the browsing of thisarticle,the reader can understand and grasp the Lebesgue controlconvergence theorem and itsapplication.

Lebesgue Integral;Riemann Integral;Limit;Lebesgue Control Convergence TTheorem;Application

B84

A

2096-0239（2016）06-0125-09

（責(zé)編：任秀秀 責(zé)校：明茂修）

2016-08-11

貴州省教育廳重點(diǎn)項(xiàng)目“微分方程解的增長性理論及應(yīng)用研究”，項(xiàng)目編號：（2015）392。

張孟娟（1992-），女，貴州畢節(jié)人，貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院理學(xué)院學(xué)生。研究方向：復(fù)分析。

金瑾（1962-），男（白族），貴州畢節(jié)人，貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院教授。研究方向：復(fù)分析。