基于主方程和連續(xù)時(shí)間隨機(jī)游走模型的擴(kuò)散方程導(dǎo)出

毛志，易正萍，萬(wàn)亞男

（銅仁學(xué)院大數(shù)據(jù)學(xué)院，貴州 銅仁 554300）

基于主方程和連續(xù)時(shí)間隨機(jī)游走模型的擴(kuò)散方程導(dǎo)出

毛志，易正萍，萬(wàn)亞男

（銅仁學(xué)院大數(shù)據(jù)學(xué)院，貴州 銅仁 554300）

分別從布朗運(yùn)動(dòng)的主方程和連續(xù)時(shí)間隨機(jī)游走模型出發(fā)導(dǎo)出了經(jīng)典的擴(kuò)散方程。進(jìn)一步,在加入了外力場(chǎng)后,得到了Fokker-Planck方程，并對(duì)描述次擴(kuò)散現(xiàn)象的分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的導(dǎo)出進(jìn)行了研究。

擴(kuò)散方程；連續(xù)時(shí)間隨機(jī)游走；Laplace-Fourier變換；Fokker-Planck方程；分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程

擴(kuò)散方程是一類重要的偏微分方程，用來(lái)描述擴(kuò)散現(xiàn)象中物質(zhì)密度的變化，通常也用于和擴(kuò)散類似的現(xiàn)象,例如在群體遺傳學(xué)中等位基因在群體中的擴(kuò)散，[1]其在物理、化學(xué)、生物、材料、醫(yī)學(xué)、力學(xué)等學(xué)科中有著廣泛應(yīng)用。[2-4]為了運(yùn)用擴(kuò)散方程解決應(yīng)用問(wèn)題,需要對(duì)其的導(dǎo)出及其新的應(yīng)用有一個(gè)全面的認(rèn)識(shí)。下面先對(duì)擴(kuò)散方程的背景及其應(yīng)用做簡(jiǎn)要描述。

1 擴(kuò)散方程的背景及其應(yīng)用

1.1 擴(kuò)散方程的背景

即

交換積分次序后可得，

由于物體是均勻的，且各向同性，于是

第二和第三部分將分別從布朗運(yùn)動(dòng)的主方程和連續(xù)時(shí)間隨機(jī)游走模型出發(fā)導(dǎo)出上述擴(kuò)散方程(1)。

1.2 擴(kuò)散方程的應(yīng)用

擴(kuò)散方程是一類基本的運(yùn)動(dòng)方程，它可用來(lái)描述河流、大氣、土壤中污染物質(zhì)的分布，流體的流動(dòng)，物質(zhì)中電子的運(yùn)動(dòng)以及生物種群的遷徙等眾多現(xiàn)象，可用于環(huán)境科學(xué)、流體力學(xué)、能源開(kāi)發(fā)和電子科學(xué)等諸多領(lǐng)域。無(wú)論是從數(shù)學(xué)理論還是應(yīng)用科學(xué)的角度來(lái)看，對(duì)擴(kuò)散方程的研究都具有極其重要的意義。近年來(lái),擴(kuò)散方程的研究已經(jīng)取得了令人矚目的進(jìn)展，許多新的數(shù)學(xué)思想和方法得以發(fā)展,大大豐富了擴(kuò)散方程的理論并促進(jìn)了相關(guān)學(xué)科的發(fā)展。在擴(kuò)散方程的基礎(chǔ)上，發(fā)展了反應(yīng)擴(kuò)散方程、對(duì)流擴(kuò)散方程以及吸引擴(kuò)散方程等。

在物理學(xué)和工程科學(xué)中,許多模型的反應(yīng)項(xiàng)對(duì)空間變量的依賴都具有泛函形式,它可用如下一般形式的方程來(lái)描述：[5]

2 基于布朗運(yùn)動(dòng)的主方程導(dǎo)出經(jīng)典擴(kuò)散方程

將上面兩式代入(2)中得

3 基于連續(xù)時(shí)間隨機(jī)游走導(dǎo)出經(jīng)典擴(kuò)散方程

本節(jié)我們首先得到基于連續(xù)時(shí)間隨機(jī)游走模型的一般情形下的Laplace-Fourier變換（即關(guān)于時(shí)間變量做Laplace變換，且關(guān)于空間變量做Fourier變換）的代數(shù)關(guān)系式

(5)式對(duì)應(yīng)于擴(kuò)散方程(1)的Laplace-Fourier變換。具體介紹如下。

2.1 基于連續(xù)時(shí)間隨機(jī)游走模型的一般情形下的Laplace-Fourier變換的代數(shù)關(guān)系式

將(9)式和(10)式代入(8)式，從而得到基于連續(xù)時(shí)間隨機(jī)游走模型的一般情形下的Laplace-Fourier變換的代數(shù)關(guān)系式(4)。

2.2 基于連續(xù)時(shí)間隨機(jī)游走模型的具體情形下的Laplace-Fourier變換的代數(shù)關(guān)系式

4 具有外力場(chǎng)的擴(kuò)散方程

在具有外力場(chǎng)時(shí)，擴(kuò)散過(guò)程通?？梢岳萌缦碌腇okker-Planck方程描述，

實(shí)際上，F(xiàn)okker-Planck方程可由類似于(2)的如下主方程導(dǎo)出。

類似地，對(duì)(12)式進(jìn)行Taylor展開(kāi)后便得到Fokker-Planck方程(11)。Fokker-Planck方程描述了隨機(jī)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率密度，在諸如固態(tài)物理學(xué)、量子力學(xué)、理論生物學(xué)、金融等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。[15]

5 描述次擴(kuò)散現(xiàn)象的分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程

6 結(jié)束語(yǔ)

本文從布朗運(yùn)動(dòng)的主方程和連續(xù)時(shí)間隨機(jī)游走模型兩個(gè)不同方面出發(fā)，利用Taylor展開(kāi)、Laplace變換和Fourier變換等工具，導(dǎo)出了經(jīng)典的擴(kuò)散方程。進(jìn)一步，在加入外力場(chǎng)后，通過(guò)主方程類似地獲得了Fokker-Planck方程，并對(duì)描述次擴(kuò)散現(xiàn)象的分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的導(dǎo)出進(jìn)行了研究。我們將在當(dāng)前研究的基礎(chǔ)上，對(duì)反常擴(kuò)散理論進(jìn)行研究。[18]

[1]L．H．Daniel,G．C．Andrew．Principle of Population Genetics(4th edition)[M]．Sunderland:Sinauer Associates,Inc．,2007:143-144．

[2]J．Yepez．Quantum lattice-gasmodel for the diffusion equation[J]．International JournalofModern PhysicsC,2001(9):1285-1303．

[3]J．M．Burgers．The nonlinear diffusion equation:asymptotic solutionsand statistical problems[M]．Berlin: Springer Science&BusinessMedia,2013:105-112．

[4]Ph．Benilan,H．Brezis．Nonlinear problems related to the Thomas-Ferm iequation[J]．J．Evol．Equ．,2004 (1):673-770．

[5]向昭銀．關(guān)于幾類擴(kuò)散方程（組）解的研究[D]．成都：四川大學(xué)，2006．

[6]Ph．Souplet．Blow-up in nonlocal reaction-diffusion equations[J]．SIAM J．Math．Anal．,1998(29): 1301-1334．

[7]Ph．Souplet．Uniform blow-up profiles and boundary behavior for diffusion equations w ith nonlocal nonlinear source[J]．J．DifferentialEquations,1999(153):374-406．

[8]J．R．Cannon and H．-M．Yin．A class of non-linear non-classical parabolic equations[J]．J．Differential Equations,1989(79):266-288．

[9]J．M．Chadam and H．-M．Yin,An iteration procedure for a classof integrodifferentialequationsof parabolic type[J]．J．IntegralEquationsApp,1989(2):31-47．

[10]包景東．分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)和反常擴(kuò)散[J]．物理學(xué)進(jìn)展，2005（4）：360．

[11]R．Metzler,J．Klafter．The random walk'sguide to anomalous diffusion:a fractional dynam icsapproach [J]．PhysicsReports,2000(1):3-22．

[12]R．Metzler,J．Klafter．The restaurantat the end of the random walk:recentdevelopmentsin the description ofanomalous transportby fractionaldynam ics[J]．JPhys,2004(31):161．

[13]劉建新．幾類反應(yīng)擴(kuò)散方程的分支理論及應(yīng)用[D]．哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2012．

[14]R．Metzler,J．Klafter．Anomalous transport in external fields:continuous time random walksand fractionaldiffusion equationsextended[J]．PhysicsReview E,1998(2):1621-1633．

[15]H．Risken．The Fokker-Planck equation:Methods of solution and applications[M]．Berlin:Springer, 1989:325-348．

[16]常福宣，陳進(jìn)，黃薇．反常擴(kuò)散與分?jǐn)?shù)階對(duì)流-擴(kuò)散方程[J]．物理學(xué)報(bào)，2005（3）：1113．

[17]R．M etzler,J．Klafter．The random walk'sguide to anomalous diffusion:a fractional dynam ics approach [J]．PhysicsReports,2000(339):3-22．

[18]陳文，孫洪廣，李西成．力學(xué)與工程問(wèn)題的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)建模[M]．北京：科學(xué)出版社，2010：202-216．

Deriving the Diffusion Equation from theM aster Equation and Continuous Time Random W alk M odel

MAOZhi,YIZheng-ping,WANYa-nan
(Big Data Institute,Tongren University,Tongren,Guizhou554300,China)

In this paper,we derive the classical diffusion equation from themaster equation of Brownianmovement and continuous time random walk model.In the presence of an external field,Fokker-Planck equation isobtained.Wealso derive the fractionaldiffusion equation describing subdiffusion.

Diffusion Equation;Continuous Time Random Walk;Laplace-Fourier Transform;Fokker-Planck Equation;FractionalDiffusion Equation

B84

A

2096-0239（2016）06-0106-07

（責(zé)編：任秀秀 責(zé)校：明茂修）

2016-10-20

貴州省科技合作計(jì)劃項(xiàng)目“分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題的高精度高效算法研究”，項(xiàng)目編號(hào)：黔科合LH字[2015]7247號(hào)；2016年國(guó)家級(jí)大學(xué)生創(chuàng)新訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目“基于大數(shù)據(jù)的武陵山區(qū)旅游精品路線研究”，項(xiàng)目編號(hào)：2016106678；貴州省普通高等學(xué)校創(chuàng)新人才團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目“貴州省普通高等學(xué)校分?jǐn)?shù)階微分方程數(shù)值解法及其應(yīng)用創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)”，項(xiàng)目編號(hào)：黔教合人才團(tuán)隊(duì)字[2015]64。

毛志（1982-），男，湖南汨羅人，銅仁學(xué)院大數(shù)據(jù)學(xué)院副教授，數(shù)學(xué)博士。研究方向：微分方程及其應(yīng)用。