線性空間表為象空間與核空間之和的充要條件

湯　傲，周　唯，胡付高

(湖北工程學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 孝感 432000)

線性空間表為象空間與核空間之和的充要條件

湯傲，周唯，胡付高*

(湖北工程學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 孝感 432000)

摘要：以象空間與核空間的性質(zhì)為基礎(chǔ)，研究了線性空間表為象空間與核空間之和的充分必要條件，討論了它的若干用例。

關(guān)鍵詞：線性空間；線性變換；象空間；核空間；直和

設(shè)σ是n維線性空間的一個(gè)線性變換，文獻(xiàn)[1]中指出，雖然σ的值域σV與核σ-1(0)的維數(shù)之和為n，但是這兩個(gè)子空間之和σV+σ-1(0)并不一定是整個(gè)空間，這個(gè)結(jié)論可由下面的例子看出。

引例[1]在線性空間V=F[x]n中，定義微分變換

τ(f(x))=f'(x)

(1)

則由(1)確定的線性變換τ的值域是F[x]n-1，而τ的核是F，于是

τV+τ-1(0)=F[x]n-1≠V

另一方面， 對(duì)于有限維線性空間的線性變換σ而言，根據(jù)

dimσV+dimσ-1(0)=dimV

(2)

(3)

可得下面結(jié)論:

命題1設(shè)σ是有限維線性空間的線性變換，則

σV+σ-1(0)=V

(4)

成立的充分必要條件是

(5)

命題1表明，對(duì)于值域與核而言，(4)和(5)是等價(jià)的。換言之，線性空間能表為值域與核之和的充分必要條件是它們的和為直和。

文獻(xiàn)[2-4]研究了值域與核構(gòu)成直和的某些條件，這些條件大多是充分條件，文獻(xiàn)[3]雖然給出了幾個(gè)充分必要條件，但都是較為繁瑣的，不方便檢驗(yàn)與應(yīng)用。另外，文獻(xiàn)[5-10]也討論了一些與值域和核的相關(guān)問(wèn)題及性質(zhì)。

本文給出了將研究線性空間表為值域與核之和的較為簡(jiǎn)潔的充分必要條件，提供了一些應(yīng)用實(shí)例。

1引理與基本結(jié)論

為討論的方便，這里先對(duì)矩陣的象空間與核空間進(jìn)行研究。

定義2[2-3]設(shè)A∈Mn(F)，記Fn的兩個(gè)線性子空間

(6)

(7)

由(6)確定的子空間U稱為矩陣A的象空間，由(7)確定的子空間N稱為矩陣A的核空間。

易知dimU=rank(A)，dimN=n-rank(A)。

引入記號(hào):

(8)

(9)

易知U=U1，N=N1。

首先，給出矩陣A的各次方冪Ai的核空間Ni及象空間Ui的包含關(guān)系。

引理3對(duì)任何i=1，2，3，…，都有

Ni?Ni+1

(10)

Ui?Ui+1

(11)

其中Ui，Ni由(8)與(9)所定義。

證明根據(jù)Ni與Ui的定義即知。

引理4對(duì)任何A∈Mn(F)，一定存在最小正整數(shù)k，使得

rank(Ak)=rank(Ak+1)=rank(Ak+2)=…

(12)

證明易知矩陣的秩rank(Ak)，rank(Ak+1)，rank(Ak+2)，…都是非負(fù)整數(shù)，且有下面的不等式

n≥rank(A)≥rank(A2)≥rank(A3)≥…≥0

故存在最小正整數(shù)k，使rank(Ak)=rank(Ak+1)，根據(jù)矩陣秩的Frobenius不等式，得

rank(Ak+2)=rank(A.Ak.A)

≥rank(A.Ak)+rank(Ak.A)-rank(Ak)

=rank(Ak)

又顯然有rank(Ak+2)≤rank(Ak)，故得rank(Ak+2)=rank(Ak)，用歸納法可證得

rank(Ak)=rank(Ak+1)=rank(Ak+2)=…即得(12)成立，引理4得證。

命題5若rank(Ai)=rank(Ai+1)，則

Ni=Ni+1，Ui=Ui+1

證明 若rank(Ai)=rank(Ai+1)=r，考察下面的兩個(gè)線性方程組

AiX=0

(13)

Ai+1X=0

(14)

由于方程組(13)的解空間一定是(14)的解空間的子空間，且它們的基礎(chǔ)解系中所含線性無(wú)關(guān)的解向量都是n-r個(gè)，故它們具有相同的基礎(chǔ)解系，因而Ni=Ni+1，類似可證Ui=Ui+1。

推論6若rank(Ai)=rank(Ai+1)，則

Ni=Ni+1=Ni+2=…

Ui=Ui+1=Ui+2=…

證明由引理4和命題5即得。

命題7設(shè)A∈Mn(F)，則下列條件等價(jià):

(1)rank(Ai)=rank(Ai+1)；

(2) Ni=Ni+1；

(3) Ui=Ui+1。

2主要結(jié)果

對(duì)于A∈Mn(F)，分別由(6)和(7)確定的象空間U與核空間N都是Fn的子空間，則有

定理8設(shè)A∈Mn(F)，則A的象空間U與核空間N使得

Fn=U⊕N

(15)

成立的充分必要條件是

rank(A)=rank(A2)

(16)

證明 (充分性)若(16)成立，對(duì)于?β∈U∩N，則Aβ=0，且存在α∈Fn，使得β=Aα，于是A2α=0，由于rank(A)=rank(A2)，故線性方程組AX=0與A2X=0同解，于是

A2α=0?Aα=0

dim(U+N)=dimU+dimN

=rank(A)+n-rank(A)

=n

而U+N為Fn的子空間，且維數(shù)都是n，故Fn=U+N，于是(15)成立。

(必要性)若(15)成立，對(duì)?η∈U，根據(jù)矩陣象空間的定義，存在ξ∈Fn，使η=Aξ，又設(shè)ξ=α+β，α∈U，β∈N，則

η=Aξ=Aα+Aβ=Aα

由于α∈U，得η=Aα∈U2，即η在A2的象空間中，即U=U1?U2，由引理3知U2?U1， 故得U2=U1，因此

rank(A2)=dimU2=dimU1=rank(A)

于是(16)成立，定理得證。

該結(jié)論用線性變換的語(yǔ)言表述就是

推論9設(shè)σ是n維線性空間V的線性變換，則

V=σV+σ-1(0)

(17)

的充分必要條件是

rank(σ)=rank(σ2)

(18)

證明取線性空間V的一組基e1，e2，…，en，設(shè)線性變換σ在此基下的矩陣為A。在取定的這組基下，V中向量與它的坐標(biāo)之間的映射f是V到Fn的一個(gè)同構(gòu)映射，此時(shí)在f對(duì)應(yīng)下，線性空間V的象為Fn，值域σV的象為矩陣A的象空間U，核σ-1(0)的象為矩陣A的核空間N。于是(17)式成立的充要條件是(15)式成立，而rank(σ)=rank(A)，rank(σ2)=rank(A2)。

故(17)式成立當(dāng)且僅當(dāng)(18)式成立，推論9得證。

根據(jù)定理8與推論9，即得下面的推論。

推論10設(shè)σ是n維線性空間V的線性變換，如果σ在V的一組基下的矩陣是A，則(17)成立的充分必要條件是

rank(A)=rank(A2)

(19)

推論11復(fù)數(shù)域上矩陣A的象空間與核空間為直和的充分必要條件是A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形中，特征值為零的若當(dāng)塊都是一階的。

3應(yīng)用舉例

把定理8、推論9及推論10應(yīng)用于一些特定的矩陣或線性變換，可得到一些常見(jiàn)命題，參見(jiàn)以下例子。

例1對(duì)于冪等矩陣A，它的兩個(gè)特征子空間

(20)

(21)

有Fn=V1⊕V0。

例2對(duì)于對(duì)合矩陣A，它的兩個(gè)特征子空間

(22)

(23)

有Fn=V1⊕V-1。

證明因?yàn)锳2=E，可以仿例1證明矩陣E-A的核空間就是V1，而E-A的象空間就是V-1，并且rank(E-A)=rank(E-A)2，故Fn=V1⊕V-1。

這兩個(gè)例子說(shuō)明，冪等矩陣與對(duì)合矩陣的特征子空間的性質(zhì)，可以用核空間與像空間理論進(jìn)行一種新的解釋。

例3設(shè)A相似于對(duì)角矩陣，則Fn=U⊕N。證明設(shè)A相似于對(duì)角矩陣，故rank(A)=rank(A2)，根據(jù)定理8即得結(jié)論成立。

例4設(shè)A可逆， 此時(shí)rank(A)=rank(A2)=n， 核空間為零空間，而象空間就是，結(jié)論顯然成立，此結(jié)論是平凡的。

上述例子表明有相當(dāng)多類型的矩陣，它們的核空間與象空間互為余子空間。

最后回到引言中的引例，該例子是幾乎所有代數(shù)教材中都引用的經(jīng)典之例，可以用本文中的推論10給出一個(gè)很好的解釋，即

例5在線性空間V=F[x]n中，定義微分變換

τ(f(x))=f'(x)

取F[x]n的一組基1，x，x2，…，xn-1， 則τ關(guān)于該基的矩陣是

由于rank(A)=n-1，rank(A2)=n-2，故對(duì)于微分變換τ而言，有

τF[x]n+τ-1(0)≠F[x]n

4方冪的像空間與核空間

雖然對(duì)一般方陣或線性變換而言，它的象空間和核空間是直和，但一定有定理12。

定理12設(shè)A∈Mn(F)，則一定存在最小正整數(shù)k，使得

Fn=Uk⊕Nk

(24)

并且對(duì)任何i≥k，都有

Fn=Ui⊕Ni

(25)

證明根據(jù)引理4，一定存在最小正整數(shù)k，使得

rank(Ak)=rank(Ak+1)=rank(Ak+2)=…此時(shí)rank(Ak)=rank(A2k)，由定理8，得，

對(duì)任何i≥k，都有rank(Ai)=rank(A2i)， 故有Fn=Ui⊕Ni。

該結(jié)論用線性變換的語(yǔ)言表述就是

推論13設(shè)V是n維線性空間，σ∈L(V)，則一定存在最小正整數(shù)k，使得

V=σkV⊕(σk)-1(0)

(26)

并且對(duì)任何i≥k，都有

V=σiV⊕(σi)-1(0)

(27)

例6設(shè)有若當(dāng)矩陣

易知rank(A)≠rank(A2)，但rank(A2)=rank(A3)，由定理8，得

Pn≠U+N

但是

Pn=U2⊕N2=U3⊕N3=…

上例表明，對(duì)于一般矩陣，可以通過(guò)求出它的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，就能得到定理12中的最小正整數(shù)k。同樣可以舉出線性變換之例，限于篇幅，這里不再贅述。

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(責(zé)任編輯：張凱兵)

Necessary and Sufficient Conditions of Linear Space Expressed by Direct Sum of Image and Kernel Space

Tang Ao，Zhou Wei，Hu Fugao

(SchoolofMathematicsandStatistics,HubeiEngineeringUniversity,Xiaogan,Hubei432000,China)

Abstract：According to the properties of image and kernel space, the necessary and sufficient conditions are discussed that the linear space can be expressed by the direct sum of image and kernel space. Moreover, several examples are cited by using these conditions.

Key Words：linear space; linear transformation; image space; kernel space; direct sum

收稿日期：2016-02-03

基金項(xiàng)目：湖北工程學(xué)院教研項(xiàng)目(2013028);湖北工程學(xué)院創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目(201501)

作者簡(jiǎn)介：湯傲(1994-),男,湖北武漢人,湖北工程學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院學(xué)生。

中圖分類號(hào)：O151.21

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：2095-4824(2016)03-0110-04

胡付高(1964-),男,湖北大悟人,湖北工程學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院教授，本文通信作者。