變截面梁在移動荷載作用下的動力響應

梁耀哲，褚少輝，趙存寶，張　濤，張艷玲

(1.河北省建筑科學研究院，石家莊　050021；2.河北建研科技有限公司，石家莊　050021；3.石家莊鐵道大學，石家莊　050043)

變截面梁在移動荷載作用下的動力響應

梁耀哲1，褚少輝2，趙存寶3，張濤2，張艷玲2

(1.河北省建筑科學研究院，石家莊050021；2.河北建研科技有限公司，石家莊050021；3.石家莊鐵道大學，石家莊050043)

摘要：變截面梁具有等強度、質量分布優(yōu)化等優(yōu)異的力學性能，廣泛應用在橋梁工程中。按照2種邊界條件(兩端固支、一端簡支一端彈性支撐)，分別給出系統(tǒng)的控制方程，研究變截面梁承受移動荷載時的動力響應，并采用有限差分法對得到的精確理論解進行驗證，分析相關參數(shù)。結果顯示，兩者吻合良好。

關鍵詞：耦合振動;移動荷載;變截面橋梁

0引言

近些年來，隨著人類社會的飛速發(fā)展和科學技術的不斷進步，交通運輸系統(tǒng)在規(guī)模和技術上都有了很大的提高。在各種交通系統(tǒng)(鐵路、公路、地下鐵道等)中，車輛運行速度不斷加快，車流密度日益增加，車輛載重也逐漸加大。在這種情況下，車輛與橋梁的動力相互作用問題越來越受到人們的重視[1-3]。對車輛—橋梁動力相互作用系統(tǒng)進行綜合研究，以便對橋梁的動力性能和橋梁上運行的車輛的走行性做出動力分析和評估，確定它們在各種狀態(tài)下的使用可靠性，是合理進行鐵路等工程設計的實際需要，對于承受移動荷載的交通土木工程結構物的設計和建造具有十分重要的理論和實際意義。

目前，國內外有大量等截面梁的研究與分析[4-5]，而對于變截面梁，國內外只有少量的數(shù)值模擬分析，理論解很少見。文獻僅對兩邊簡支梁在移動荷載作用下的響應進行了理論分析，其他邊界條件尚需進一步研究。本文討論了2種邊界條件(兩端固支、一端簡支一端彈性支撐)，車輛經(jīng)過變截面梁時的動力響應，并采用有限差分法進行了驗證，在此基礎上，又進行了一系列的參數(shù)分析，討論了非均勻系數(shù)δ、車輛行駛速度c等參數(shù)變化對系統(tǒng)動力響應的影響。

2振動方程求解

現(xiàn)有一矩形變寬度截面梁，高度不變，寬度按照指數(shù)形式變化，即b(x)=b0eδx。其中：b0為初始寬度，δ為非均勻系數(shù)，梁橫截面的高為常數(shù)h，長度為L，各截面的形心連成為一條直線，將x軸設在這條直線上。現(xiàn)有一車輛勻速駛過該橋，利用文獻[6]中相關推導，得到其模態(tài)函數(shù)

c3sinhλ2x+c4coshλ2x) ，

(1)

其中：

常數(shù)c1，c2，c3，c4由系統(tǒng)的邊界條件確定。

該公式適合寬度按指數(shù)變化的等高度變截面均勻梁，集中力的形式可以多樣。只要集中力只隨時間變化且可以積分，邊界條件就可以多樣。下面將探討兩種邊界條件(兩端固支、一端簡支一端彈性支撐)下橋梁的彎曲振動響應。

3兩端固支梁彎曲振動響應

3.1理論解

兩端固支梁的邊界條件為：固定端處梁的撓度ν和轉角?ν/?x均等于零。即

φ(0)=0, φ′(0)=0, φ(1)=0,φ′(1)=0

代入式(1)，得到關于c1、c2、c3、c4的一個四元一次線性方程組：

c2+c4=0,

(2)

e-1/2δ(c1sin(λ1)+c2cos(λ1)+c3sinh(λ2)+c4cosh(λ2))=0 ，

(3)

-1/2δc2-1/2δc4+c1λ1+c3λ2=0，

(4)

(5)

以上方程組有非零解的充要條件是系數(shù)矩陣A的行列式：|A|=0，此時方程組有無窮多解。為方便起見，可取其一組解。

c1=1,

將c1，c2，c3，c4代入式(1)即可得到模態(tài)函數(shù)，進而求得系統(tǒng)響應方程：

(6)

3.2算例

圖1　c =4 m/s、δ=0.1兩端固支梁跨中撓度時程曲線(理論解)

由圖1可以看出，車速ν=4 m/s時，變截面梁在車通過橋面過程中，跨中撓度先增大后減小，在梁的0.6l處撓度最大，然后逐漸減小，在0.89l處減小到零，然后向反方向逐漸增大。從曲線趨勢可以看出，反向最大值出現(xiàn)在車離開橋面后。

3.3有限差分法數(shù)值驗證

根據(jù)文獻[2]，系統(tǒng)的振動方程如下所示

為便于比較，將上式化為x和τ的函數(shù)，以下為Maple中的結果：

(7)

式中的Dirac(x-τ)即為δ(x-tc/L)。將已知條件代入以上方程，已知條件為：

E=108Pa，

ρ=2.5×103kg/m3，h=0.5m，b0=2m。

于是，式(7)為

(8)

初始條件寫為如下形式：

u′(0,t)=0, u(1,t)=0, u′(1,t)=0。

有限差分法根據(jù)所取項數(shù)的不同，其結果的精確程度會有差別。經(jīng)調試，可以取前70項，同樣做出跨中撓度時程曲線(圖2)。

圖2　c=4 m/s、δ=0.1跨中撓度時程曲線理論解與有限差分解對比

由圖2可以看出，理論解與有限差分解幾乎重合，兩者計算結果一致。

3.4參數(shù)分析

由上文分析可知，本文推導理論解釋是可靠的，現(xiàn)利用理論解分析梁的非均勻系數(shù)和車速變化對時程曲線的影響。

1)速度c不變，非均勻系數(shù)δ變化的情況(圖3)。

圖3　c=4 m/s對應不同δ的跨中撓度時程曲線

由圖3可知，隨著非均勻系數(shù)δ的增大，時程曲線走勢一致，跨中撓度最大值逐漸減小。

2)非均勻系數(shù)δ不變，速度c變化的情況(圖4)。

圖4　δ=0.1對應不同速度c跨中撓度時程曲線

增大勻速移動的速度，車輛在橋面行駛過程中，跨中撓度最大值先增大后減小，最大值出現(xiàn)的時間節(jié)點也有所變化，當速度c<3 m/s時，最大值均出現(xiàn)在車輛行駛在中點位置時；當速度c>3 m/s后，最大值出現(xiàn)的時間逐漸后延；當速度c>11 m/s時，最大值出現(xiàn)在車輛離開橋面后；當2 m/s

4一端簡支、一端彈性支承梁彎曲振動響應

4.1模型簡化及理論解

將彈性支承簡化為一壓桿，桿端與梁端鉸支，只限制梁端的豎向位移，而不影響其轉角位移。引入相對彈性剛度k，計算如下：

一端簡支、一端彈性支承的邊界條件為：設梁的末端為彈性支承，彎矩M等于零，剪力與支座反力相等，簡支端處梁的撓度ν和彎矩均等于零。

將φ(0)=0,φ″(0)=0,φ″(1)=0,EI(1)φ?(1)=kφ(1)

代入式(1)，得到關于c1、c2、c3、c4的一個四元一次線性方程組：

c2+c4=0，

(9)

(10)

1/4δ2c2+1/4δ2c4-δc1λ2-δc3λ2-c2λ12+

c4λ22=0，

(11)

(12)

求解得：

c1=1 ，

c4=-c2。

將c1、c2、c3、c4代入式(1)，即可得到模態(tài)函數(shù)。

已經(jīng)求得φ(x)，與前文推導一致，求出系統(tǒng)響應方程：

(13)

4.2算例

與3.1節(jié)相同算例，邊界條件改為一端簡支、一端彈性支撐，做出跨中撓度時程曲線(時間歸一化)(圖5)。

圖5　c=4 m/s、δ=0.1兩端簡支梁跨中撓度時程曲線(理論解)

由圖5可以看出，車速c=4 m/s時，變截面梁在車通過橋面過程中，跨中撓度逐漸增大，最大值出現(xiàn)在車輛離開橋面后。

4.3有限差分法數(shù)值驗證

控制方程與3.3節(jié)相同，初始條件寫為如下形式

u″(1,t)=0,u?(1,t)=43.43u(1,t)

理論解和有限差分解作出圖形如下所示，橫軸為無量綱量。

圖6　c=4 m/s、δ=0.1跨中撓度時程曲線理論解與有限差分解對比

由圖6可以看出，理論解與有限差分解在車輛離開橋面前大致相同，離開橋面后，理論值將會偏大。因此，該理論解只適用于車輛離開橋面前的分析。

4.4參數(shù)分析

1)速度c不變，非均勻系數(shù)δ變化的情況(圖7)。

圖7　c=4 m/s對應不同δ的跨中撓度時程曲線

由圖7可知，隨著非均勻系數(shù)δ的增大，時程曲線走勢一致，跨中撓度最大值逐漸減小。

2)非均勻系數(shù)δ不變，速度c變化的情況(圖8)。

圖8　δ=0.1對應不同速度c跨中撓度時程曲線

車輛在橋面行駛過程中，當速度c≤1 m/s時，跨中撓度出現(xiàn)了波浪式起伏變化，當速度c>1 m/s時，時程曲線變得平滑，最大值隨著速度的增大逐漸增大，出現(xiàn)的時間節(jié)點也逐漸后延，當速度c>3 m/s時，最大值出現(xiàn)在車輛離開橋面后。

5結論

本文主要討論了變截面梁的車橋耦合振動問題，在研究過程中，忽略了橋梁自身的質量，將移動車輛荷載簡化為一個按時間變化的力，討論了2種邊界條件(兩端固支、一端簡支一端彈性支撐)變截面梁的動力響應。

1)詳細地給出了系統(tǒng)響應方程推導計算過程，得出了理論解，并用有限差分法進行數(shù)值驗證，兩者吻合良好，說明本文推導的理論解是可靠的。

2)兩端固支梁。車輛速度c保持不變，當非均勻系數(shù)δ逐漸增大時，跨中撓度的最大值逐漸減小，但是最大撓度均出現(xiàn)在相同的時間節(jié)點；非均勻系數(shù)δ保持不變，當車輛荷載行駛速度逐漸增大時，車輛在橋面行駛過程中，跨中撓度最大值先增大后減小，最大值出現(xiàn)的時間節(jié)點也有所變化。當速度c<3 m/s時，最大值都是出現(xiàn)在車輛行駛在中點位置時；當速度大于c>3 m/s后，最大值出現(xiàn)的時間逐漸后延；當速度c>11 m/s時，最大值出現(xiàn)在車輛離開橋面后；當2 m/s

3)一端簡支、一端彈性支撐梁。車輛速度c保持不變，隨著非均勻系數(shù)δ的增大，跨中撓度最大值逐漸減小，出現(xiàn)的時間節(jié)點也逐漸后延。非均勻系數(shù)δ保持不變，車輛在橋面行駛過程中，當速度c≤1 m/s時，跨中撓度出現(xiàn)了波浪式起伏變化；當速度c>1 m/s時，時程曲線變得平滑，最大值隨著速度的增大逐漸增大，出現(xiàn)的時間節(jié)點也逐漸后延；當速度c>3 m/s時，最大值出現(xiàn)在車輛離開橋面后。

參考文獻：

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[6]張潔, 褚少輝. 移動荷載作用下橋梁動力響應分析[J]. 華北地震科學, 2015, 33(2): 1-5.

Dynamic Response Analysis of Beams with Variable Cross-sections under Moving Loads

LIANG Yao-zhe1, CHU Shao-hui2, ZHAO Cun-bao3，ZHANG Tao2，ZHANG Yan-ling2

(1.Hebei Academy of Building Research, Shijiazhuang 050021, China;2.Hebei Architecture Research Technology co.ltd, Shijiazhuang 050021, China;3.Shijiazhuang Tiedao University, Shijiazhuang 050043, China)

Abstract:Beams with variable cross-sections show excellent mechanical properties, such as equal intensity, the optimization of mass distribution, and it has been widely used in bridge engineering. In the study, control equations of system vibration according to two types of boundary conditions (both of the two ends of the beam are clamped, one end of the beam is simply supported and the other is elastically supported) were given to study the dynamic responses of beams with variable cross-sections under move loads. Furthermore, the comparatively precise theoretical solutions were verified by the finite difference method. The result shows that the solutions are well consistent with that of the finite difference method.

Key words:coupled vibration; moving loads; beam with variable cross-section

收稿日期:2015-11-17

基金項目：河北省高等學?？茖W技術研究項目“垮塌深水大跨橋梁交通應急浮橋搶修技術研究”(ZD2015081)

作者簡介：梁耀哲(1976—)，男，高級工程師，主要從事勘察、地基處理與基坑支護等巖土工作．E-mail:12533960@qq.com

中圖分類號:P315.921;TU311.3

文獻標志碼:A

文章編號:1003-1375(2016)02-0057-06

doi:10.3969/j.issn.1003-1375.2016.02.010

梁耀哲,褚少輝,趙存寶，等．變截面梁在移動荷載作用下的動力響應[J]．華北地震科學，2016，34(2)：57-62.