一維量子線中量子比特的性質(zhì)

趙麗麗， 趙翠蘭

（1.赤峰學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院， 內(nèi)蒙古 赤峰 024000；2.內(nèi)蒙古民族大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院,內(nèi)蒙古 通遼 028043）

一維量子線中量子比特的性質(zhì)

趙麗麗1， 趙翠蘭2

（1.赤峰學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院， 內(nèi)蒙古 赤峰 024000；2.內(nèi)蒙古民族大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院,內(nèi)蒙古 通遼 028043）

本文通過(guò)精確求解一維有限長(zhǎng)量子線中電子的能量本征方程，得到其能量本征值和本征波函數(shù)，利用基態(tài)和與之宇稱(chēng)相同的最低激發(fā)態(tài)構(gòu)造了一個(gè)量子比特，研究了低能態(tài)性質(zhì)和量子比特的性質(zhì).理論推導(dǎo)與數(shù)值計(jì)算表明：電子能量隨量子線長(zhǎng)度的增大而減小；量子比特的振蕩周期（或頻率）隨量子線長(zhǎng)度的增大而減?。ɑ蛟龃螅?；量子比特內(nèi)電子的概率密度隨時(shí)間和空間變化，給定時(shí)刻各空間點(diǎn)的概率密度隨位置的變化而變化；且各空間點(diǎn)的概率均隨時(shí)間做周期性振蕩.

量子線； 量子信息； 量子比特

1 引言

量子力學(xué)作為二十世紀(jì)的重大理論發(fā)現(xiàn)，在現(xiàn)今的科學(xué)技術(shù)進(jìn)步中發(fā)揮著愈來(lái)愈重要的作用，量子態(tài)的糾纏性、非局限性等奇妙特性已成為寶貴的物理資源，開(kāi)始被人們利用.特別是近 20年來(lái)的量子力學(xué)的新進(jìn)展開(kāi)辟了其廣闊的應(yīng)用領(lǐng)域，在諸多的應(yīng)用領(lǐng)域中首當(dāng)其沖的是信息科學(xué)，把量子理論應(yīng)用于信息領(lǐng)域就開(kāi)創(chuàng)了量子信息論這門(mén)學(xué)科，它涉及到物理學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)和信息科學(xué)等領(lǐng)域，主要包括量子計(jì)算和量子通訊兩大部分.量子信息論中的信息單元是量子比特(qubit)，它是兩個(gè)量子態(tài) |0〉和 |1〉的相干疊加態(tài) .為了實(shí)現(xiàn) 量子 計(jì)算，近 年來(lái)人們提 出了各種 方 案[1—4]，對(duì)量子比特進(jìn)行了諸多研究，李樹(shù)深等[5]提出了利用外加電場(chǎng)來(lái)增加量子點(diǎn)量子比特消相干時(shí)間的方案；高寬云等[6]和姜福仕等[7]利用求解能量本征方程與變分相結(jié)合的方法研究了量子環(huán)中量子比特的性質(zhì)及聲子效應(yīng).

本文擬研究一維有限長(zhǎng)量子線中電子的能量狀態(tài)，進(jìn)而研究其量子比特的性質(zhì).

2 理論計(jì)算

其中

則粒子的能量本征方程為

其中 ψ(x)、E 分別為能量本征函數(shù)和本征值.參考[8]解得，電子的能量本征值為

能量本征函數(shù)為

或

體系的基態(tài)能量為

相應(yīng)的本征波函數(shù)為

目前，基礎(chǔ)工業(yè)工程課程教學(xué)多以理論授課為主，偶有一些應(yīng)用案例分析，教學(xué)中普遍存在著教材案例陳舊、學(xué)生對(duì)教學(xué)的參與度少和對(duì)課程的重要性認(rèn)識(shí)膚淺等問(wèn)題。

與基態(tài)具有相同宇稱(chēng)的最低激發(fā)態(tài)能量為

相應(yīng)的本征波函數(shù)為

以 ψ1(x)和 ψ3(x)為基礎(chǔ)構(gòu)造一個(gè)量子比特

則量子比特內(nèi)電子的空間概率密度分布為

量子比特的振蕩周期為

3 結(jié)果和討論

為清楚的看出電子能量以及量子比特的性質(zhì)，長(zhǎng)度取Bohr半徑 a0為單位，能量取為單位進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，計(jì)算結(jié)果示于圖1至圖3中.

圖1表示粒子基態(tài)能量和第二激發(fā)態(tài)能量隨量子線長(zhǎng)度的變化關(guān)系.可見(jiàn)，能量隨量子線長(zhǎng)度的增大而減小，顯示出明顯的量子尺寸效應(yīng).從圖中還可以看出兩能級(jí)差隨量子線長(zhǎng)度的增大而減小.

圖1 能量 E1,E3隨量子線長(zhǎng)度 l的變化規(guī)律

圖2 振蕩頻率ω隨量子線長(zhǎng)度l的變化規(guī)律

圖2表示振蕩頻率隨量子線長(zhǎng)度的變化關(guān)系.由圖可見(jiàn)，振蕩頻率隨量子線長(zhǎng)度的增大而減小，結(jié)合圖 1 我們知道其產(chǎn)生原因是因?yàn)殡S著量子線長(zhǎng)度的增大，基態(tài)和激發(fā)態(tài)能量降低，能級(jí)差減小，導(dǎo)致量子比特的振蕩周期減小.由關(guān)系式（14）和圖 2 還可以知道，量子比特的振蕩周期隨量子線長(zhǎng)度的增大而增大.

圖3 表示概率密度隨空間位置和時(shí)間的變化關(guān)系.圖中四條曲線 Qt=0、Qt=T/4、Qt=T/2、Qt=3T/4分別對(duì)應(yīng)于計(jì)時(shí)起點(diǎn)、四分之一、二分之一和四分之三周期的時(shí)刻.由圖中的任意一條曲線可見(jiàn)，給定時(shí)刻，量子比特內(nèi)電子的概率密度隨空間位置的變化而變化，在線的端點(diǎn)電子出現(xiàn)的概率為零，在線的中間位置電子出現(xiàn)的概率最大，其余位置出現(xiàn)的概率介于最大和最小之間；且電子在各個(gè)空間點(diǎn)出現(xiàn)的概率均隨時(shí)間做周期性振蕩，各空間點(diǎn)振動(dòng)周期相同.

圖3 l=10 時(shí)，概率密度 Q 隨位置 x 的變化規(guī)律

4 結(jié)論

本文通過(guò)精確求解一維有限長(zhǎng)量子線中電子的能量本征方程，研究了量子線中電子的低能態(tài)性質(zhì)和量子比特的性質(zhì).結(jié)果表明：電子能量隨量子線長(zhǎng)度的增大而減小，顯示出明顯的量子尺寸效應(yīng)；量子比特的振蕩周期（或頻率）隨量子線長(zhǎng)度的增大而減小（或增大）；量子比特內(nèi)電子的概率密度隨空間點(diǎn)的不同而不同，且各空間點(diǎn)的概率密度均隨時(shí)間做周期性振蕩.

〔1〕Cirac J I,Zoller P.Quantum computations with cold trapped Ions[J].Phys Rev Lett,1995,74：4091.

〔2〕Chuang IL,Gershenfeld N A,Kubinec M.Experimental implementation of fast quantum searching[J].Phys Rev Lett,1998,80：3408.

〔3〕Turchette Q A,Hood C J,Lange W,etal.Measurement of conditional phase shifts for quantum logic[J].Phys Rev Lett,1995,75：4710.

〔4〕Loss D,DiVincenzo D P.Quantum computation with quantum dots[J].Phys Rev A,1998,57：120..

〔5〕Li S S， Xia J B，Yang F H，et al.InAs/GaAs Singleelectron quantum dot qubit[J].J Appl Phys， 2001，90：11847.

〔6〕高寬云，趙翠蘭.量子環(huán)中量子比特的性質(zhì)[J].物理學(xué)報(bào)，2008，57（7）：4446..

〔7〕姜福仕,趙翠蘭.量子環(huán)中量子比特的聲子效應(yīng)[J].物理學(xué)報(bào)，2009，58（10）：6786.

〔8〕周世勛.量子力學(xué)教程[M].北京：高等教育出版社,1979.

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2015 年 11 月 8 日