一類廣告經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的建模與演化分析

徐玉華，盧亞娟，謝承蓉

(1. 鄖陽師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)學(xué)與財(cái)經(jīng)系, 湖北 十堰 442000； 2. 南京審計(jì)大學(xué) a.金融學(xué)院，b.理學(xué)院,c.江蘇省金融工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 211815)

一類廣告經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的建模與演化分析

徐玉華1, 2a,2c，盧亞娟2a，謝承蓉2b

(1. 鄖陽師范高等專科學(xué)校 數(shù)學(xué)與財(cái)經(jīng)系, 湖北 十堰 442000； 2. 南京審計(jì)大學(xué) a.金融學(xué)院，b.理學(xué)院,c.江蘇省金融工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 211815)

摘要：基于需求量、廣告支出、成本和利潤(rùn)建立了一個(gè)新的廣告經(jīng)濟(jì)模型，討論了模型均衡解的穩(wěn)定性，同時(shí)分析了廣告經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)受到外部擾動(dòng)時(shí)的分岔演化行為。研究結(jié)果表明，外界擾動(dòng)產(chǎn)生的系統(tǒng)混沌效應(yīng)會(huì)使管理中各個(gè)環(huán)節(jié)的不確定性風(fēng)險(xiǎn)值增加，從而降低了各個(gè)環(huán)節(jié)的管理效率。因此，如何弱化外界擾動(dòng)對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的影響是經(jīng)濟(jì)、金融風(fēng)險(xiǎn)管理研究和應(yīng)用中的重要工作。

關(guān)鍵詞：廣告經(jīng)濟(jì)模型；混沌系統(tǒng)；分岔

一、引言

廣告競(jìng)爭(zhēng)是市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)的重要形式，也是目前營銷活動(dòng)中經(jīng)常選用的競(jìng)爭(zhēng)策略，對(duì)廣告經(jīng)濟(jì)模型的研究引起了越來越多科學(xué)工作者的關(guān)注。張德賢等運(yùn)用博弈論將著名的Vidale-Wolfe廣告模型推廣為微分對(duì)策廣告模型，旨在量化闡明廣告投入的市場(chǎng)運(yùn)作“法則”[1]。李煜等討論了一類廣告競(jìng)爭(zhēng)模型的延遲反饋混沌控制方法[2]。王磊等在單一制造商和單一零售商基礎(chǔ)上,把研究擴(kuò)展到單一制造商和多個(gè)競(jìng)爭(zhēng)性的零售商的情況[3]。徐峰等將延遲決策引入到雙寡頭有限理性廣告博弈模型中, 研究了其對(duì)系統(tǒng)的影響，并對(duì)該模型進(jìn)行了穩(wěn)定性分析[4]。齊潔等考慮了競(jìng)爭(zhēng)性和信息性兩種廣告對(duì)企業(yè)市場(chǎng)份額不同作用，提出一個(gè)在兩強(qiáng)競(jìng)爭(zhēng)情況下的動(dòng)態(tài)廣告投入模型[5]。王建征等從廣告投入到影響產(chǎn)品銷售量應(yīng)有的時(shí)差，對(duì)經(jīng)典的Vidale-Wolfe廣告模型進(jìn)行改進(jìn)[6]。謝德輝等建立了企業(yè)信息傳播的脈沖廣告模型，運(yùn)用脈沖微分方程理論對(duì)模型進(jìn)行了分析和仿真[7]。劉福建提出了一個(gè)兩家企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境下的廣告投入最優(yōu)控制模型，模型中將信息性廣告和競(jìng)爭(zhēng)性廣告分開考慮[8]。聶佳佳利用微分對(duì)策理論研究了供應(yīng)鏈競(jìng)爭(zhēng)下的合作廣告問題, 構(gòu)建了一個(gè)微分對(duì)策模型，在非對(duì)稱的供應(yīng)鏈情形下, 運(yùn)用漢密爾頓-雅可比-貝爾曼方程求得Stackelberg博弈下均衡的廣告投入和廣告分擔(dān)比例[9]。李佼瑞討論了隨機(jī)非線性動(dòng)力系統(tǒng)在經(jīng)濟(jì)周期研究中的運(yùn)用[10]。張建強(qiáng)等討論了消費(fèi)者反廣告行為下的供應(yīng)鏈合作廣告模型，解釋了現(xiàn)實(shí)中有許多企業(yè)不愿意進(jìn)行廣告合作的原因[11]。高振斌針對(duì)證券投資中存在的不確定性，采用模糊理論中的三角模糊數(shù)，解決投資收益率最大與風(fēng)險(xiǎn)損失率最小的雙目標(biāo)模糊優(yōu)化問題[12]。

上述學(xué)者對(duì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中的廣告模型作了許多有益探討，而基于動(dòng)力學(xué)原理來模擬經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，以及研究擾動(dòng)現(xiàn)象對(duì)經(jīng)濟(jì)復(fù)雜系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為產(chǎn)生影響的文獻(xiàn)并不多。不同于以往研究，本文基于需求量、廣告支出、成本和利潤(rùn)建立廣告動(dòng)力學(xué)模型，分析它的演化行為，同時(shí)分析擾動(dòng)后的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)混沌行為，從而為科學(xué)決策提供依據(jù)。

二、廣告經(jīng)濟(jì)模型描述

為了建立新廣告模型，引入如下記號(hào)：x(t)表示在時(shí)刻t對(duì)一種商品的需求量；y(t)表示在時(shí)刻t對(duì)該商品的廣告支出；z(t)表示在時(shí)刻t獲得的利潤(rùn)。對(duì)模型進(jìn)行如下假設(shè)：

(1)

(2)

(3)

把式(1)～(3)聯(lián)立，可得如下商品廣告微分方程模型：

(4)

式中，bi>0；i=1,2，…,6；aj>0；j=1,2，3，4。

三、廣告經(jīng)濟(jì)模型演化分析

(一)均衡解的穩(wěn)定性分析

顯然，系統(tǒng)(4)是一個(gè)非線性自治系統(tǒng)，令：

系統(tǒng)有兩個(gè)平衡點(diǎn)：

系統(tǒng)(4)的雅可比矩陣為：

為了定量分析廣告經(jīng)濟(jì)模型演化行為，取a1=0.85,a2=5,a3=4,a4=1，b1=1, b2=0.2,b3=2,b4=0.5,b5=3,b6=0.5。

盡管E1是不穩(wěn)定的點(diǎn)，但由于E2是穩(wěn)定點(diǎn)，使得系統(tǒng)(4)的演化軌跡最終穩(wěn)定到點(diǎn)E2，而沒有產(chǎn)生混沌行為。圖1表明系統(tǒng)(4)由初值[0，2，-1] 最終穩(wěn)定到穩(wěn)定點(diǎn)E2。

由于需求量的變化反映了利潤(rùn)的變化，圖2只給出了需求量和廣告支出的演化圖。由圖2可知，當(dāng)需求量x(t)接近于0.85時(shí)，廣告支出接近于0。當(dāng)需求量x(t)

圖1　系統(tǒng)穩(wěn)定到穩(wěn)定點(diǎn)E2

圖2　需求量和廣告支出的演化

(二)擾動(dòng)下的系統(tǒng)混沌分析

由于許多實(shí)際經(jīng)濟(jì)、金融復(fù)雜系統(tǒng)經(jīng)常受到白噪聲和有色噪聲等隨機(jī)噪聲的干擾，因此研究擾動(dòng)現(xiàn)象對(duì)經(jīng)濟(jì)、金融復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)影響是一個(gè)不可避免的問題。盡管系統(tǒng)可以受到任何隨機(jī)的外在擾動(dòng)，但并不是任何擾動(dòng)都會(huì)使系統(tǒng)產(chǎn)生混沌行為，只有擾動(dòng)項(xiàng)使系統(tǒng)產(chǎn)生不穩(wěn)定的均衡解時(shí)，系統(tǒng)才有可能產(chǎn)生混沌，而混沌一般對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是有害的。下面假設(shè)系統(tǒng)(4)受到外在的擾動(dòng)項(xiàng)為ksigny、ksinz、ksinx時(shí)，系統(tǒng)隨即表現(xiàn)出混沌行為，這里的擾動(dòng)項(xiàng)可理解為每一個(gè)量的變化率可能受到其它變量的影響，受擾動(dòng)的系統(tǒng)描述如下：

(5)

當(dāng)k=6.5，取系統(tǒng)(5)的初始參數(shù)值為[0.5, 0.7,1]時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)出混沌現(xiàn)象(如圖3)。

圖3　混沌系統(tǒng)在x-y-z軸上的相圖

1.均衡解的穩(wěn)定性分析

下面來分析系統(tǒng)(5)均衡解的穩(wěn)定性情況。

系統(tǒng)有兩個(gè)平衡點(diǎn)：E3(-0.318 0,-4.177 6,-0.367 6)，E4(-0.318 0,9.177 6,-2.593 5)。

類似前面穩(wěn)定性分析，均值E3(-0.318 0,-4.177 6,-0.367 6)相應(yīng)的特征值為：λ1=2.867 3,λ2=-3.433 6+4.390 4i,λ3=-3.433 6-4.390 4i，可知E3是不穩(wěn)定的點(diǎn)。

均值E4(-0.318 0,9.177 6,-2.593 5)相應(yīng)特征值為：λ1=4.132 0,λ2=-4.066 0+3.457 3i,λ3=-4.066 0-3.457 3i，可知E4也是不穩(wěn)定的點(diǎn)。

系統(tǒng)(5)的2個(gè)均衡解都是不穩(wěn)定的，意味著系統(tǒng)內(nèi)在的不穩(wěn)定性。不穩(wěn)定性是系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的必要條件，一般對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是有害的。

通常，如果一個(gè)系統(tǒng)是有界的，且有1個(gè)正李雅普洛夫指數(shù)，那么這個(gè)系統(tǒng)是混沌的。通過計(jì)算得到L1=0.551 1，L2=-0.593 0，L3=-2.686 5，系統(tǒng)(5)有2個(gè)大于0的李雅普洛夫指數(shù)。另外，擾動(dòng)后動(dòng)力系統(tǒng)(5)的邊界為：-3.564 5≤x≤4.381 0，-1.696 0≤y≤1.981 2，-2.535 5≤x≤1.045 3，所以系統(tǒng)(5)此時(shí)處于混沌狀態(tài)。

2.系統(tǒng)分岔仿真分析

非線性金融動(dòng)力模型在演化的過程中往往表現(xiàn)出一種復(fù)雜的金融現(xiàn)象，系統(tǒng)由簡(jiǎn)單的狀態(tài)，如均衡狀態(tài)、失穩(wěn)、分岔，進(jìn)入混沌狀態(tài)，特別是分岔出現(xiàn)時(shí)，系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性發(fā)生改變，并在平衡點(diǎn)的小鄰域內(nèi)產(chǎn)生周期解，經(jīng)濟(jì)危機(jī)周期性發(fā)生。

當(dāng)系統(tǒng)(5)的初始參數(shù)值為[1,0.5,0.8]時(shí)，通過Matlab7.0軟件仿真，可得到經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)(5)隨著擾動(dòng)參數(shù)k∈[5.6,9]變化時(shí)的分岔圖(如圖4)。

圖4　擾動(dòng)后廣告經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的分岔圖

從圖4可見經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)(5)隨著擾動(dòng)參數(shù)k的變化系統(tǒng)展現(xiàn)出復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。隨擾動(dòng)參數(shù)k的逐漸增大，經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)(5)經(jīng)歷了由1周期倍化為2周期，然后4周期，…，倍周期分岔的運(yùn)動(dòng)形式。從穩(wěn)定的1周期軌道通過倍周期分岔走向混沌。在混沌域內(nèi)有許多不同的周期窗口，這些窗口中，我們可以看到有的發(fā)生了倍周期分岔，有的窗口出現(xiàn)了混沌危機(jī)，系統(tǒng)從倍周期分岔、失穩(wěn)，繼而呈現(xiàn)混沌態(tài)。處于混沌態(tài)的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是一種失控狀態(tài)，會(huì)產(chǎn)生非常大的破壞作用。因此，當(dāng)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)處于不穩(wěn)定的混沌狀態(tài)時(shí)，經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的波動(dòng)會(huì)較為劇烈，也就是說隨機(jī)擾動(dòng)對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行產(chǎn)生較大的破壞作用，使管理中各個(gè)環(huán)節(jié)的不確定性風(fēng)險(xiǎn)值增加，降低了各個(gè)環(huán)節(jié)的管理效率，從而需要我們對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)作適時(shí)調(diào)控，減弱外界擾動(dòng)對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的影響，防止經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的長(zhǎng)期劇烈波動(dòng)，使系統(tǒng)朝向有益的方向運(yùn)行。

四、結(jié)語

本文建立了一個(gè)新的廣告經(jīng)濟(jì)模型，研究了這類模型的穩(wěn)定性和分岔行為的演化。通過分岔圖，數(shù)值模擬了外部擾動(dòng)對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)演化行為的影響，得出了一些有意義的研究結(jié)果，可以為政府調(diào)控經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)提供一些理論依據(jù)。

參考文獻(xiàn)：

[1]張德賢，戴桂林，王斌. Vidale-Wolfe微分對(duì)策廣告模型 [J]. 青島海洋大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 1999,29(3).

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[7]謝德輝，郭志華. 基于信息傳播的脈沖廣告模型[J]. 企業(yè)經(jīng)濟(jì),2008, 11(10).

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[11]張建強(qiáng)，仲偉俊，梅姝娥，等. 消費(fèi)者反廣告行為下的供應(yīng)鏈合作廣告模型[J]. 軟科學(xué)，2013,27(1).

[12]高振斌. 基于可能度的模糊證券投資組合優(yōu)化模型[J]. 統(tǒng)計(jì)與信息論壇,2015,30(5).

(責(zé)任編輯：張愛婷)

Modeling and Evolution Analysis of a Kind of Advertising Economic System

XU Yu-hua1,2a,3c, LU Ya-juan2a, XIE Cheng-rong2b

(1. Department of Mathematics and Finance, Yunyang Teachers' College, Shiyan 442000, China;a. School of Finance, b. College of Science, c.Jiangsu Key Laboratory of Financial Engineering, 2.Nanjing Audit University, Jiangsu 211815, China)

Abstract:In this paper, a new model is established based on the demand, advertising, cost and profit, and the stability of equilibrium is also discussed. The research results show that the system by the external disturbance can increase the uncertainty risk value, thus reducing the management efficiency. It is an important work for the management to weaken the influence of external disturbance on the economic system.

Key words:advertising economic model; chaos system; bifurcation

收稿日期：2015-11-18

基金項(xiàng)目：教育部人文社會(huì)科學(xué)研究青年基金項(xiàng)目《基于隨機(jī)擾動(dòng)的經(jīng)濟(jì)、金融復(fù)雜系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)演化機(jī)理和風(fēng)險(xiǎn)控制研究》(14YJCZH173)；湖北省教育廳科學(xué)技術(shù)研究計(jì)劃重點(diǎn)項(xiàng)目《隨機(jī)混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析與控制》(D20156001)；江蘇省金融工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放課題資助(NSK2015-16)

作者簡(jiǎn)介：徐玉華,男,湖北仙桃人，博士后，教授，研究方向：金融信息系統(tǒng)分析與控制；

中圖分類號(hào)：F019.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1007-3116(2016)02-0084-04

盧亞娟,女,江蘇宜興人，博士，教授，研究方向：金融風(fēng)險(xiǎn)管理；

謝承蓉,女,湖北松滋人，碩士，副教授，研究方向：金融數(shù)學(xué)。

【統(tǒng)計(jì)應(yīng)用研究】