敷設(shè)主動(dòng)約束層阻尼圓錐殼的控制特性分析

陸　靜, 袁麗蕓

(廣西科技大學(xué) 汽車(chē)與交通學(xué)院,廣西 柳州　545006)

敷設(shè)主動(dòng)約束層阻尼圓錐殼的控制特性分析

陸靜, 袁麗蕓

(廣西科技大學(xué) 汽車(chē)與交通學(xué)院,廣西 柳州545006)

摘要：基于壓電材料的本構(gòu)關(guān)系和內(nèi)力位移方程，考慮壓電材料的正、逆壓電效應(yīng)，求出了壓電約束層的動(dòng)力學(xué)控制方程和電學(xué)控制方程。根據(jù)圓錐殼的幾何特性，將變量沿周向進(jìn)行傅里葉展開(kāi)，可將上述方程轉(zhuǎn)化為沿母線方向的一階常微分方程的形式。結(jié)合黏彈層的法向平衡方程和位移連續(xù)性條件，由主動(dòng)約束層和基殼的力學(xué)方程導(dǎo)出層合結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程，并將該方程與壓電約束層的電學(xué)方程聯(lián)立，建立了敷設(shè)主動(dòng)約束層圓錐殼的機(jī)電耦合模型。然后，借助精細(xì)積分技術(shù)和疊加原理，采用速度反饋控制策略，提出了一種分析此類(lèi)結(jié)構(gòu)的半解析、半數(shù)值方法，并采用該方法分析了反饋系數(shù)、反饋點(diǎn)的布置等參數(shù)對(duì)敷設(shè)主動(dòng)約束層阻尼圓錐殼振動(dòng)特性和控制特性的影響。

關(guān)鍵詞：主動(dòng)約束層阻尼；圓錐殼；速度反饋控制策略；機(jī)電耦合；控制特性

約束層阻尼(Constrained Layer Damping，CLD)結(jié)構(gòu)由基體、黏彈層和約束層組成，當(dāng)基體材料振動(dòng)時(shí)，由于約束層的作用，可以進(jìn)一步增加黏彈性層的剪切耗能的作用，顯著降低結(jié)構(gòu)共振峰值，具有更明顯的減振效果。如果約束層材料為智能材料，則稱(chēng)該結(jié)構(gòu)為主動(dòng)約束層阻尼(Active Constrained Layer Damp，ACLD)。主動(dòng)約束層阻尼技術(shù)是一種具有典型智能結(jié)構(gòu)特征的主/被動(dòng)一體化振動(dòng)控制技術(shù)，它同時(shí)具備被動(dòng)控制安全可靠和主動(dòng)控制自適應(yīng)性強(qiáng)、控制效率高的優(yōu)點(diǎn)，可以在較寬頻帶上獲得很好的阻尼特性，具有優(yōu)越的減振降噪控制效果。目前，對(duì)于ACLD結(jié)構(gòu)多采用有限元法。Biswas等[1]采用一階剪切理論和非線性的本構(gòu)關(guān)系，建立了ACLD梁有限元模型，討論了結(jié)構(gòu)的非線性振動(dòng)特性，及其結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)減振效果的影響。Vasques[2]利用層合理論提出了一種書(shū)本式ACLD結(jié)構(gòu)梁的有限元模型。Ray等[3-4]對(duì)ACLD梁、板、殼等結(jié)構(gòu)的有限元建模和阻尼特性等進(jìn)行了詳細(xì)的研究，獲得了一系列的研究成果。但是，由于存在網(wǎng)格劃分，有限元法在高頻段內(nèi)的計(jì)算精度很差，且當(dāng)結(jié)構(gòu)參數(shù)改變時(shí)，有限元法需要重新建模和分析，計(jì)算效率不高。解析法具有很高的精度，但它僅適用于簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)，適用范圍較小。因此，一些學(xué)者提出了分析CLD結(jié)構(gòu)的半解析方法。李恩奇等[5-6]采用能量原理，建立了敷設(shè)被動(dòng)約束層阻尼板和圓柱殼的動(dòng)力學(xué)模型，提出了一種分析CLD結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的傳遞矩陣法。由于狀態(tài)向量不含內(nèi)力分量，因此，他們的方法很難用于ACLD結(jié)構(gòu)的建模。袁麗蕓等[7]基于線黏彈性理論和層間的連續(xù)性條件，導(dǎo)出了敷設(shè)ACLD圓柱殼的一階控制方程，并提出了一種新的模態(tài)控制方法，取得了較好的減振效果。錐殼在工程中的應(yīng)用非常廣泛，許多工程結(jié)構(gòu)都可簡(jiǎn)化成錐殼或錐—柱結(jié)合殼。通過(guò)在圓錐殼表面敷設(shè)ACLD結(jié)構(gòu)，可以達(dá)到較好的減振降噪效果。因此，研究ACLD圓錐殼的振動(dòng)及阻尼特性具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。由于幾何特性比圓柱殼更為復(fù)雜，目前對(duì)于ACLD圓錐殼的研究較少。Kumar等[8]利用Hamilton原理建立了敷設(shè)ACLD塊的圓錐殼有限元模型，分析了敷設(shè)位置對(duì)減振性能的影響。陸靜等[9]基于板殼理論和層合理論，導(dǎo)出了被動(dòng)約束層阻尼(Passive Constrained Layer Damp，PCLD)圓錐殼的數(shù)學(xué)模型。在此基礎(chǔ)上，通過(guò)引入壓電材料的膜內(nèi)力，本文建立了ACLD圓錐殼的機(jī)電耦合模型，并借助疊加原理，提出了一種分析ACLD圓錐殼動(dòng)力學(xué)特性的半解析方法。

1壓電約束層的電學(xué)控制方程

圖1　ACLD圓錐殼的橫截面簡(jiǎn)圖Fig.1 Cross-sectional schematic of an ACLD conical shell

ACLD圓錐殼由基殼、黏彈層和壓電約束層組成，在文中分別用1、2、3表示，截面圖如圖1所示，圖中x,z分別表示母線方向和法向，圓周方向用θ表示，α為半錐角，R01、R02、R03分別表示各層的中面半徑。為了方便推導(dǎo)，做以下假設(shè)[10]：① 基殼、黏彈層和壓電約束層沿法向的位移w相同；② 各層之間層間位移連續(xù)；③ 只考慮黏彈層的剪切變形和考慮法向振動(dòng)慣量，面內(nèi)慣性忽略不計(jì)。同時(shí)，對(duì)電場(chǎng)強(qiáng)度作以下假設(shè)：① 母線方向和周向的電場(chǎng)強(qiáng)度Es和Eθ與z無(wú)關(guān)；② 法向的電場(chǎng)強(qiáng)度Ez與x、θ無(wú)關(guān)，且在厚度方向均勻分布，即Ez=V/h3，其中V為驅(qū)動(dòng)電壓，h3為壓電約束層的厚度。

壓電約束層的材料為沿z方向極化的橫觀各向同性材料，將壓電約束層看成薄殼結(jié)構(gòu)，由壓電材料的三維本構(gòu)方程退化得到壓電約束層的物理方程和電學(xué)方程

(1)

Dx=∈11Ex,Dθ=∈22Eθ

Dz=e31εx+e32εθ+∈33Ez

(2)

(3)

式中，Φ為電勢(shì)函數(shù)，由電場(chǎng)強(qiáng)度的假設(shè)(2)可得

(4)

式中，f(x,θ)為壓電約束層中面的電勢(shì)分布。

將式(4)代入式(3)，可得

(5)

自然坐標(biāo)系下，壓電圓錐殼的電學(xué)方程為：

(6)

根據(jù)薄殼理論，殼體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)變可以表示為

(7)

結(jié)合式(2)、式(5)和式(7)，可將式(6)寫(xiě)為

(8)

將χx和χθ的表達(dá)式代入式(8)，并對(duì)方程變量沿周向進(jìn)行傅里葉展開(kāi)和無(wú)量綱化處理，即令

,

(9)

文中帶“-”上標(biāo)的變量表示無(wú)量綱化后的幅值。

對(duì)式(5)第一式也進(jìn)行同樣的處理，可得

(10)

式(9)和式(10)即為壓電約束層的電學(xué)補(bǔ)充方程，該方程同時(shí)考慮了電學(xué)量和力學(xué)量的影響，為一組機(jī)電耦合的方程，且由于考慮了3個(gè)方向電場(chǎng)強(qiáng)度的影響，具有較高的精度。

2ACLD圓錐殼的動(dòng)力學(xué)模型

由式(1)積分可得壓電約束層內(nèi)的膜內(nèi)力

(11)

(12)

(13)

在壓電約束層采用速度反饋控制策略，諧激勵(lì)作用下，壓電約束層的驅(qū)動(dòng)電壓可以寫(xiě)為

V(ω)=-(iω)kdw(ξ0,θ0)

(14)

式中，kd為速度增益系數(shù)，w(ξ0,θ0)為反饋點(diǎn)的法向位移，ω為激勵(lì)的頻率。

將(14)式代入(5)式第三式，求出?Ez后代入(11)式的相關(guān)表達(dá)式后可得

(15)

由式(13)可求出基殼動(dòng)力學(xué)控制方程

(16)

由于在式(13)和式(16)的載荷向量中均包含未知的層間相互作用力，本文參照文獻(xiàn)[9]的方法，將未知量消去，整合出了ACLD圓錐殼的整體控制方程。限于篇幅，僅列出簡(jiǎn)單的推導(dǎo)過(guò)程。

由殼體的假設(shè)式(3)可列出黏彈層的法向平衡方程

(17)

僅考慮黏彈層的切應(yīng)變，由一階剪切變形理論可求出中面的切應(yīng)力幅值為

(18)

式中，Ti(i=1～6)為與幾何參數(shù)有關(guān)的系數(shù)，表達(dá)式詳見(jiàn)文獻(xiàn)[9]。

考慮剪切力的作用及其偏心的影響，式(13)和式(16)的載荷可以寫(xiě)為

(19)

(20)

式中，整合狀態(tài)向量為

3數(shù)值計(jì)算方法

由式(20)可以看出，在壓電載荷向量中包含未知的反饋點(diǎn)位移w(ξ0,θ0)，該方程為耦合方程，很難直接求解。本文基于齊次擴(kuò)容精細(xì)積分法和疊加原理，提出了一種求解此類(lèi)耦合方程的半解析方法。

(21)

式中，Hi為狀態(tài)向量之間的傳遞矩陣，Qi為載荷向量所引起的非齊次項(xiàng)。

將圓錐殼分成n段，在每段內(nèi)均可求出與式(21)類(lèi)似的傳遞關(guān)系，因此可得到14n個(gè)代數(shù)方程，在殼的邊界上有14個(gè)邊界條件，將上述代數(shù)方程組裝成一個(gè)矩陣方程

MI=J

(22)

(23)

令ξ=ξ0,θ=θ0，則可求出反饋點(diǎn)的位移

(24)

將求出的w(ξ0,θ0)代入式(20)，則方程的非齊次項(xiàng)均為已知量，再次運(yùn)用齊次擴(kuò)容精細(xì)法，由式(23)即可求出ACLD旋轉(zhuǎn)殼上任意點(diǎn)的狀態(tài)向量，進(jìn)而分析結(jié)構(gòu)的振動(dòng)和控制特性。

4數(shù)值算例

算例1令半錐角α=0°，不考慮壓電載荷的作用，式(20)可退化為一個(gè)被動(dòng)約束層阻尼圓柱殼的動(dòng)力學(xué)控制方程?？紤]一個(gè)兩邊固支被動(dòng)約束層阻尼圓柱殼，參數(shù)如下[5]：L=0.1 m，R10=0.1 m，h1=0.003 m，h2=0.002 m，h3=0.001 m，E1=E3=70 GPa，μ1=μ3=0.3，G2=0.896(1+0.968i) MPa，ρ1=ρ3=2 700 kg/m3，ρ2=1 340 kg/m3。本文方法計(jì)算的固有頻率與文獻(xiàn)[5]的比較列于表1。

表1　固有頻率與文獻(xiàn)值的比較

由表1中數(shù)據(jù)可以看出，本文的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)值吻合得非常好。

圖2　ACLD殼與PCLD殼位移響應(yīng)比較Fig.2 Comparison of displacement response with ACLD shell and PCLD shell

由圖2可以看出，在施加了壓電力后，位移大幅減小，ACLD結(jié)構(gòu)的減振效果優(yōu)于PCLD結(jié)構(gòu)。但是，隨著頻率的增高，兩種阻尼結(jié)構(gòu)的差別逐漸減小，在2 000 Hz附近幾乎沒(méi)有差別。這是由于壓電材料所產(chǎn)生的壓電力很小，在高頻振動(dòng)時(shí)已幾乎不起作用，因此，ACLD結(jié)構(gòu)中的主動(dòng)控制僅適用于中低頻段內(nèi)的振動(dòng)控制，在高頻段內(nèi)被動(dòng)控制起主要作用。

為了考察反饋系數(shù)的影響，令反饋系數(shù)kd分別為1×105、1×106、1×107，計(jì)算出來(lái)的位移響應(yīng)如圖3所示。由圖中可看出，反饋系數(shù)越高，減振效果越好。

算例3為考察反饋點(diǎn)位置的影響，令kd=1×106，其余參數(shù)與算例2相同，反饋點(diǎn)分別位于中點(diǎn)和自由端，計(jì)算兩點(diǎn)的位移響應(yīng)，分別如圖4和圖5所示。

由圖4可以看出，當(dāng)反饋點(diǎn)在自由端時(shí)，該點(diǎn)的位移較小。由圖5可以看出，當(dāng)反饋點(diǎn)在中點(diǎn)時(shí)，中點(diǎn)的位移小于自由端的位移。

為了進(jìn)一步討論反饋點(diǎn)的位置對(duì)振動(dòng)特性的影響，當(dāng)頻率f=800 Hz時(shí)，令反饋點(diǎn)與固定端的距離d分別為0.2 m、0.4 m、0.6 m時(shí)，基殼中面母線的無(wú)量綱位移曲線如圖6所示。由此可見(jiàn)，ACLD結(jié)構(gòu)在它的反饋點(diǎn)可獲得最好的抑制效果。

圖3　不同反饋系數(shù)時(shí)位移響應(yīng)比較Fig.3 Comparison of displacement response with various feedback coefficients

圖4　不同反饋點(diǎn)自由端位移響應(yīng)Fig.4 Displacement responses of the free end with various feedback point

圖5　不同反饋點(diǎn)中點(diǎn)位移響應(yīng)Fig.5 Displacement responses of the mid-point with various feedback point

圖6　不同反饋點(diǎn)時(shí)母線的位移圖Fig.6 Displacement responses of the meridian with various feedback point

5結(jié)論

考慮壓電約束層的正、逆壓電效應(yīng)，導(dǎo)出了作用于壓電約束層的主動(dòng)控制力，將它引入圓錐殼的平衡方程和內(nèi)力—位移關(guān)系，在原有PCLD圓錐殼的基礎(chǔ)上，導(dǎo)出了ACLD圓錐殼的機(jī)電耦合控制方程，并基于疊加原理提出了一種求解此類(lèi)方程的半解析方法，分析了結(jié)構(gòu)的振動(dòng)和控制特性。研究表明，ACLD在中低頻段具有良好的減振效果；速度反饋系數(shù)越大，振動(dòng)的抑制效果越好；反饋點(diǎn)的選擇對(duì)結(jié)構(gòu)的阻尼特性有較大的影響，反饋點(diǎn)應(yīng)盡量位于變形較劇烈的位置或最需要控制的位置。利用本文所建立的模型，對(duì)ACLD圓錐殼的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，可望獲得理想的控制和阻尼特性。由于采用解析模型和齊次擴(kuò)容精細(xì)積分法，本文方法的計(jì)算量小，高頻段內(nèi)穩(wěn)定性強(qiáng)，且參數(shù)改變時(shí)不需要重新建模，非常適合于ACLD結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

參 考 文 獻(xiàn)

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Control characteristics of a conical shell covered with active constrained layer damping

LU Jing, YUAN Li-yun

(College of Automobile and Transportation, Guangxi University of Science and Technology, Liuzhou 545006, China)

Abstract:Based on the constitutive relation and internal force-displacement equation of piezoelectric materials, dynamic and electrical control equations of piezoelectric constrained layer were derived considering positive and inverse piezoelectric effects. According the geometric properties of a conical shell covered with active constrained layer damping, the variables were expanded along circumferential direction with Fourier series, and the equations mentioned above were converted as a first-order differential matrix equation along meridian direction. Combining normal equilibrium equations and displacement continuity conditions of visco-elastic layer, the dynamic equations of the laminated structure were derived with dynamic equations of the active constrained layer and the base shell. Combining these equations and the electrical control equations of the piezoelectric constrained layer, the electromechanical coupling model of the conical shell covered with active constrained layer damping was built. Then, applying the speed feedback control strategy, a semi-analytical and semi-numerical method was proposed with the precise integration technique and the superposition principle. Finally, the effects of parameters, such as, feedback coefficient, positions of feedback points on vibration and control characteristics of the conical shell covered with active constrained layer damping were analyzed with the proposed method.

Key words:active constrained layer damping; conical shell; speed feedback control strategy; electromechanical coupling; control characteristics

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(51105083;11162001)； 廣西自然科學(xué)基金(2012GXNSFAA053207)

收稿日期：2014-12-24修改稿收到日期：2015-05-20

中圖分類(lèi)號(hào):TH133；TU311

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.09.022

第一作者 陸靜 女，博士，教授，1973年6月生