迷宮密封激振力作用下轉子系統(tǒng)非線性動力學分析

張恩杰， 焦映厚， 陳照波， 李明章， 劉福利

(哈爾濱工業(yè)大學 機電工程學院，哈爾濱　150001)

迷宮密封激振力作用下轉子系統(tǒng)非線性動力學分析

張恩杰， 焦映厚， 陳照波， 李明章， 劉福利

(哈爾濱工業(yè)大學 機電工程學院，哈爾濱150001)

摘要：由雙控體模型確定迷宮密封軸向平均流速，結合Muszynska氣流激振力建立了轉子-密封系統(tǒng)非線性動力學模型，并采用Runge-Kutta-Fehlbrg方法求解系統(tǒng)非線性動力學方程。分析了迷宮密封間隙、密封半徑、齒數、齒腔寬度、進口氣壓等參數對泄漏量及軸向平均流速的影響；繪制了分岔圖、軸心軌跡、Poincare圖和頻譜圖等，研究了轉速、進口氣壓、偏心距及密封有效總長度對系統(tǒng)動力學特性的影響。數值結果表明，轉速、密封結構及介質參數的改變能夠誘導系統(tǒng)發(fā)生單周期運動、概周期運動等復雜的非線性動力學行為。

關鍵詞：迷宮密封；轉子；非線性動力學；雙控體模型；Muszynska模型

迷宮密封自投入使用近一個世紀以來，科研人員對其進行了廣泛研究。Rhode等[1]對密封流場進行了數值模擬，揭示了其密封機理。黃守龍等[2-3]通過分析密封介質流動和泄漏特性，從流動不穩(wěn)定性方面進一步推進了密封機理研究。Wang等[4-5]對不同結構型式的迷宮密封進行了CFD分析，闡述了結構參數等對泄漏特性的影響；Kim等[6]采用CFD法和解析法，研究了直通型和階梯齒迷宮密封的齒數、壓差等參數對流場分布、流量系數、泄漏特性的影響，并同實驗結果進行了對比分析。Kirk等[7-8]研究了偏心率、入口預旋等對交錯齒和階梯齒迷宮密封泄漏量及動力系數等的影響，采用有限元法分析了離心式壓縮機轉子的穩(wěn)定性。Li等[9]應用FLUENT識別出Muszynska模型中的經驗參數，建立了各向異性轉子-密封系統(tǒng)冪級數模型，研究了轉子-密封系統(tǒng)1/2亞諧共振及分岔；He等[10-11]基于無量綱化雙控體模型，分析了介質性質、結構型式及參數對迷宮密封的動特性系數的影響，求解了轉子-密封系統(tǒng)的非線性運動特征；Li等[12]基于Hamilton原理對轉子-軸承-密封系統(tǒng)進行了非線性動力學特性分析。

目前，迷宮密封泄漏特性及系統(tǒng)動力學方面的研究盡管很多，但在由密封結構、介質特性變化引起的泄漏量、軸向流速和因此而誘發(fā)的系統(tǒng)非線性動力學行為的改變方面，成果卻相對較少。因此，本文采用雙控體模型分析密封結構和介質對泄漏量、軸向平均流速的影響，建立并求解迷宮密封-轉子系統(tǒng)動力學方程，研究密封參數及其引起的軸向平均流速的變化對系統(tǒng)非線性動力學特性的影響。

1迷宮密封-轉子系統(tǒng)非線性動力學模型

介質流經直通型迷宮密封時，根據流動特點將腔室劃分為射流區(qū)Ⅰ和渦流區(qū)Ⅱ(如圖1所示)。由Scharrer[13]的雙控體模型，迷宮密封的泄漏量可表示為：

(1)

式中，

μ2i=(1-α)-1/2, α=8.52/((Li-Tpi)/Cr+7.23)

式中，Ai為密封間隙處圓周面積，Pi為第i齒腔內的氣壓，R為氣體常數，T為密封腔內溫度，r為氣體絕熱指數，Li為密封腔寬度，Tpi為密封齒頂寬度，Cr為密封間隙。

圖1　雙控體模型示意圖Fig.1 Two-control-volume model

介質流經迷宮密封的狹小間隙時，流體作用在轉子表面的激振力將誘發(fā)系統(tǒng)豐富的非線性動力學行為，嚴重情況下會造成轉子碰摩等故障。將密封流體激振力等效作用于Jeffcott轉子-密封系統(tǒng)(如圖2)的圓盤中心處，建立系統(tǒng)的非線性動力學模型：

(2)

式中，m為轉子橫向振動有效質量，rp為偏心距，ω為轉子轉速，X,Y為轉子軸心位移，De、Ke分別為外阻尼系數和轉子剛度，FX及FY為Muszynska密封激振力：

(3)

圖2　轉子-密封系統(tǒng)動力學模型Fig.2 Thedynamic model of rotor-seal system

聯立以上各式并對其進行無量綱化處理，最終可得到如下形式的系統(tǒng)動力學方程：

(4)

2迷宮密封-轉子系統(tǒng)動力學分析

2.1密封結構及介質參數對密封性能的影響

密封結構形式、密封介質參數決定密封腔內流場分布及動能與內能的交換，進而影響泄漏量及軸向流速。由于密封-轉子系統(tǒng)的非線性動力學特性與軸向平均流速等密切相關，有必要分析密封結構和介質參數對泄漏量及軸向流速的影響。

出口為環(huán)境大氣壓，調節(jié)迷宮密封入口氣壓，針對具有不同徑向間隙Cr的密封結構(表1)分析其泄漏量及軸向平均流速變化趨勢(圖4)。相同徑向密封間隙的迷宮密封，隨著入口氣壓的增加，每一密封腔內的氣壓均相應提高，同一密封腔進出口壓差增大，由表達式(1)及軸向平均流速計算公式可知，泄漏量隨之大幅增加，單位時間內流經相同密封間隙圓周面積的流量增大，則軸向平均流速也有所升高；0.85 MPa時，由于發(fā)生末齒節(jié)流現象，軸向平均流速略有降低。相同入口氣壓條件下，密封間隙圓周面積隨著徑向間隙Cr的增加而增大，泄漏量及軸向平均流速均隨之增加。

表1　迷宮密封結構參數及工作條件

圖3　平均氣壓及軸向流速分布Fig.3 Distributions of mean pressure and axial velocity in cavities

工作于不同入口氣壓條件下的迷宮密封(表1),保持齒腔寬度或齒數不變，分別增加齒數(圖5)和齒腔寬度(圖6)，則密封有效長度均線性增大，密封腔中流體的動能同內能的交換加劇，密封節(jié)流效果加強，泄漏量及軸向平均流速均隨之降低；當齒數/齒寬增加到一定程度時，泄漏量及軸向平均流速趨于定值，密封節(jié)流作用不能隨著齒數/齒腔寬度的增加而無限增強。迷宮密封進出口壓差的減小能夠降低軸向平均流速和泄漏量，在提高密封性能的操作中較易實現。

圖4　泄漏量及軸向平均流速隨入口氣壓的變化Fig.4 Variation of leakage flow and axial mean velocity in respect to the inlet pressure

圖5　泄漏量及軸向平均流速隨齒數的變化Fig.5 Variation of leakage flow and axial mean velocity in respect to thenumber of seal strips

圖6　泄漏量及軸向平均流速隨齒腔寬度的變化Fig.6 Variation of leakage flow and axial mean velocity in respect to the cavity-width

圖7為密封半徑對三種進口氣壓下工作的迷宮密封(表1)的泄漏量及軸向平均流速影響的分析圖。相同進口氣壓條件下，密封半徑的增加使得單位長度的環(huán)向面積Ai增大，泄漏量隨之單調增加；由雙控體模型中關于泄漏量及軸向平均流速的計算公式可知：

圖7　泄漏量及軸向平均流速隨密封半徑的變化Fig.7 Variation of leakage flow and axial mean velocity in respect to the rotor-radius

2.2轉速對迷宮密封-轉子系統(tǒng)動力學特性的影響

將采用雙控體模型求得的迷宮密封軸向平均流速引入到方程(4)中，采用Runge-Kutta-Fehlbrg方法對其進行求解，分析轉速對系統(tǒng)非線性動力學行為的影響。所選取的迷宮密封結構參數見表1，轉子參數為：m=200 kg，Ke=107N/m，De=500 Ns/m，rp=0.15 mm。

圖8為轉子軸心在x方向無量綱位移隨轉速變化的分岔圖，升速過程中系統(tǒng)的非線性動力學行為非常豐富。在ω≤187 rad/s低速運轉時，方程(4)存在唯一解，系統(tǒng)此時為單周期運動；隨著轉速的增加，流體對轉子的作用增強，軸心位移幅值不斷增大。187 rad/s <ω≤200 rad/s時，系統(tǒng)發(fā)生分岔，表現為概周期或n-T周期運動。在隨后的升速過程中，系統(tǒng)又多次經歷了倍周期運動、概周期運動等運動形式。

圖8　轉子軸心在x方向分岔圖Fig.8 Rotor center bifurcation diagram in x direction

圖9為ω=195 rad/s時的運動分析圖，由時間歷程圖可知，此時系統(tǒng)并非單周期運動或倍周期運動，軸心軌跡圖和相圖中為多個永不重復的大小相套的橢圓環(huán)，Poincare圖中的點趨向構成一條封閉的曲線，表明密封-轉子系統(tǒng)此時經歷著概周期運動。頻譜圖中以1倍頻和1.42倍頻為主，同時存在0.42倍頻等頻率成分。

圖9　ω=195 rad/s時系統(tǒng)響應圖Fig.9 Dynamic response diagram of system at ω=195 rad/s

2.3結構和介質參數對系統(tǒng)非線性動力學特性的影響

汽輪機轉子系統(tǒng)在某些工況需要在定轉速下調整進口氣壓或壓比，以適應實際負載需求。進口氣壓的變化使得軸向平均流速發(fā)生改變，而流速與壓差則同時對密封-轉子系統(tǒng)的動力學特性產生影響。分析進口氣壓對系統(tǒng)非線性動力學特征的影響時，每一計算步都需首先由雙控體模型求得相應進口氣壓條件下的軸向平均流速，進而分析壓差與軸向平均流速的耦合作用。

圖10為進口氣壓對系統(tǒng)動力學特征影響的分岔圖，其中結構參數及其它介質參數與2.2節(jié)中相同。由0.2 MPa加壓到0.3 MPa的過程中，系統(tǒng)首先從單周期運動轉變?yōu)楦胖芷谶\動，在Pin=0.29 Mpa時，由4-T周期運動轉化為倍周期運動。對比該圖中進口氣壓為0.25 MPa及圖8中ω=530 rad/s時的運動特征，轉子軸心在x方向的無量綱位移在分岔圖中均顯示為兩組不同坐標的點，為概周期運動，二者的運動形式一致，為系統(tǒng)在相同結構及進口氣壓條件下的運動響應。隨后進口氣壓由0.3 MPa增加到1 MPa時，系統(tǒng)依次經歷了倍周期運動和單周期運動?？梢娺M口氣壓對系統(tǒng)動力學行為的影響非常顯著。

轉子平衡一般通過加平衡重量調節(jié)偏心距來實現，偏心距對密封-轉子系統(tǒng)的非線性動力學特性會造成一定的影響。圖11為ω=530 rad/s時，調節(jié)轉子偏心距(其余參數與2.2節(jié)中相同)得到的分岔圖。當偏心距rp=0～0.113 mm變化時，系統(tǒng)為同步振動；增大偏心距，軸心位移增加，系統(tǒng)存在單周期運動、倍周期運動和概周期運動等運動形式；當rp=0.176 mm時，轉子概周期運動的軸心最大無量綱位移接近-1，系統(tǒng)發(fā)生碰摩的幾率增加。

圖10　轉子響應隨進口氣壓變化分岔圖(ω=530 rad/s)Fig.10 Bifurcation diagram of the rotor with inlet pressure varying (ω=530 rad/s)

圖11　轉子響應隨偏心距變化分岔圖(ω=530 rad/s)Fig.11 Bifurcation diagram of the rotor with eccentricity varying (ω=530 rad/s)

圖12　轉子響應隨密封長度變化分岔圖Fig.12 Bifurcation diagram of the rotor with effective seal-length varying

迷宮密封的齒數及齒腔寬度均直接決定密封有效總長度，氣壓分布、密封軸向平均流速及密封激振力等也因其不同而產生相應改變，迷宮密封-轉子系統(tǒng)非線性動力學特征同樣隨之變化。圖12為密封有效總長度為100 mm和200 mm時(其余參數與2.2節(jié)中相同)得到的系統(tǒng)分岔圖。由圖可見，密封長度增加后，系統(tǒng)不再存在倍周期、概周期、混沌等復雜動力學行為，僅為單周期運動；同時，密封長度的增加使得軸向平均流速有所降低，在密封激振力的作用下，轉子軸心無量綱位移總體減小。圖中，密封有效總長度僅由齒腔寬度決定，分別為4 mm和8 mm；密封有效總長度由齒數或齒腔寬度決定所得到的系統(tǒng)動力學特征基本相同。

3結論

本文采用雙控體模型和Muszynska密封激振力建立了迷宮密封-轉子系統(tǒng)非線性動力學模型，分析了迷宮密封內平均氣壓及軸向流速分布，研究了密封結構及介質參數對密封泄漏量和軸向平均流速的影響，得到了轉子轉速、進口氣壓、偏心距、齒數和齒寬對系統(tǒng)非線性動力學特性影響的分岔圖。分析結果表明：

(1) 密封泄漏量隨入口氣壓、密封間隙及密封半徑的增加而增大，隨齒數和齒腔寬度的增加而減小；軸向平均流速隨入口氣壓、密封間隙的增加而增大，隨齒數和齒腔寬度的增加而降低，密封半徑對其沒有影響。

(2) 轉子系統(tǒng)在升速過程中存在豐富的非線性動力學行為，進口氣壓對系統(tǒng)動力學特征的影響非常顯著，偏心距的增大使得轉子軸心位移總體增大，發(fā)生碰摩的幾率增加，迷宮密封的齒數及齒腔寬度對系統(tǒng)動力學特征的影響基本相同，有效密封總長度的增加明顯改變系統(tǒng)的非線性動力學特性。

參 考 文 獻

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Nonlinear dynamic analysis of a rotor system excited by labyrinth seal force

ZHANG En-jie, JIAO Ying-hou, CHEN Zhao-bo, LI Ming-zhang, LIU Fu-li

(School of Mechatronic Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

Abstract:Here, the nonlinear dynamic model of a labyrinth seal-rotor system was built using Muszynska’s nonlinear seal forces. In the process of nonlinear dynamic analysis, the axial mean flow velocity of the labyrinth seal was determined with the two-control-volume model. Applying Runge-Kutta-Fehlbrg numerical integration, the nonlinear dynamic equation of the system was solved. The effects of parameters, such as, labyrinth seal clearance, seal-radius, number of seal strips, cavity-width and inlet air pressure on leakage and axial mean flow velocity were analyzed. The influences of rotational speed, inlet air pressure, eccentricity and effective seal-length on the nonlinear dynamic characteristics of the system were also studied. The nonlinear dynamic properties of the system were described with bifurcation diagrams, axis orbits, Poincare Maps and frequency spectra. The numerical results showed that the changing of rotating speed, seal geometry and seal medium parameters can induce abundant nonlinear dynamical behaviors like periodic motion and quasi-periodic motion, etc.

Key words:labyrinth seal; rotor; nonlinear dynamics; two-control-volume model; Muszynska model

基金項目：國家自然科學基金(11272100)

收稿日期：2015-03-06修改稿收到日期：2015-04-29

通信作者焦映厚 男，教授，博士生導師，1962年生

中圖分類號:O322；TH113.1

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.09.025

第一作者 張恩杰 男，博士生，1987年生

E-mail:jiaoyh@hit.edu.cn