通過PVDF陣列設計階梯梁的模態(tài)傳感器

鐘海彬， 毛崎波

(南昌航空大學 飛行器工程學院，南昌　330063)

通過PVDF陣列設計階梯梁的模態(tài)傳感器

鐘海彬， 毛崎波

(南昌航空大學 飛行器工程學院，南昌330063)

摘要：以兩端固支階梯梁為例，通過高分子壓電薄膜(Poly Vinyli Dene Fluoride，PVDF)傳感器陣列測量其模態(tài)坐標。在該階梯梁表面均勻黏貼一組相同形狀的矩形PVDF薄膜，首先通過實驗方法直接測得該階梯梁的曲率模態(tài)，然后把曲率模態(tài)作為這組PVDF輸出信號的加權因數(shù)，從而得到所需的模態(tài)坐標。實驗結果表明，這種傳感器設計方法是可行的，并且PVDF陣列式模態(tài)傳感器具有在不均勻梁結構表面布置方便，能準確、方便的測出實驗曲率模態(tài)，不受激勵力位置影響，濾波效果好等優(yōu)點。

關鍵詞：PVDF傳感器；實驗模態(tài)分析；曲率模態(tài)；模態(tài)濾波；階梯梁

近幾年來，通過設計壓電式模態(tài)傳感器實現(xiàn)結構振動和噪聲主動控制的研究越來越引起關注[1-5]。通過設計不同的壓電模態(tài)傳感器，可以測量振動結構表面的體積位移、聲輻射模態(tài)、體積速度等物理量，此前一些學者對此作了大量研究[6-12]。一般來說，有兩種模態(tài)傳感器的設計方法，一種是設計特定形狀的連續(xù)分布式模態(tài)傳感器[2,6-7,12-14]，這種形式的模態(tài)傳感器對邊界條件存在一定的依賴，當邊界條件改變時往往需要重新選擇傳感器的形狀函數(shù)才能保證被測振動參數(shù)的準確性。同時對于某些結構，特定形狀的連續(xù)分布式模態(tài)傳感器的加工和布置也存在一定的難度；而且設計的傳感器互換性較差，只能檢測某一階特定模態(tài)，這無疑對工程應用帶來很多不便。如文獻[14]中研究者利用特定形狀的分布式PVDF傳感器設計階梯簡支梁的模態(tài)傳感器，為得到所需模態(tài)坐標必須設計相當復雜的的PVDF形狀，同時也易受邊界條件的制約。

另一種是設計離散陣列式模態(tài)傳感器[15-16]，通過設計一組相同形狀的矩形PVDF壓電薄膜的加權系數(shù)來得到需要測量的振動參數(shù)。這種方法不用預先設計傳感器的形狀函數(shù)，簡化了復雜的數(shù)值計算過程。同時，只需改變加權系數(shù)就能很方便的得到目標階模態(tài)，而且不易受邊界條件的影響。利用設計的模態(tài)傳感器對振動結構進行模態(tài)濾波，精確識別振動參數(shù)，繼而對結構振動和噪聲進行主動控制。目前對陣列式模態(tài)傳感器的研究主要集中在均勻結構(如均勻梁或均勻薄板)的理論研究，實驗研究較少。并且在設計加權系數(shù)時一般需要進行復雜的數(shù)值計算(如Adomian方法[12]、微分變換法(DTM)[17]、偽逆方法[18]等)。

為了簡化陣列式模態(tài)傳感器的設計，并進一步推廣其適用范圍，本文以含有三個階梯的兩端固支梁為例，利用一組矩形PVDF陣列作為傳感器，通過實驗模態(tài)方法直接測量結構的曲率模態(tài)，并把實驗測得的各階離散曲率模態(tài)作為相應的PVDF壓電傳感器的加權系數(shù)，從而得到所需的模態(tài)坐標。

1基本理論

1.1陣列式PVDF模態(tài)傳感器設計

設有一階梯梁，考慮在振動梁上均勻布置n塊同樣形狀的矩形PVDF薄膜，如圖1所示。假設第kPVDF的輸出信號為H(k)。為了實現(xiàn)階梯梁的模態(tài)濾波，得到模態(tài)坐標，對第k塊PVDF輸出信號設計加權系W(k,m)，如圖1所示，使得加權后的輸出為階梯梁第m階模態(tài)坐標Am。

由圖1可知，加權后的總輸出信號為：

(1)

式中,W(k,m)表示第m階模態(tài)下第k塊PVDF傳感器的加權系數(shù)。

假設有外界激勵力作用在x=xf處，由文獻[19-20]的研究可知，激勵力與第k塊PVDF輸出之間的頻率響應函數(shù)可表示為：

(2)

由模態(tài)分析理論可知，梁的第m階模態(tài)坐標A(m)可表示為：

(3)

式中,F表示激勵力的幅值。

聯(lián)立(2)、(3)再代入(1)，總輸出信號可重新表示為：

(4)

圖1　陣列式壓電模態(tài)傳感器原理Fig.1 Theory of the piezoelectric modal sensor array

由拉格朗日微分中值定理，式(4)可表示為：

(5)

其中xξ滿足xk-l/2

對于經(jīng)典邊界條件(簡支、固支、自由端)，結構曲率模態(tài)具有正交性：

(6)

式中，下標u,v表示第u,v階曲率模態(tài)。

式(6)保證了實驗測得的各階模態(tài)是相互獨立的。由文獻[20]的研究，對結構曲率模態(tài)進行離散處理，得到的離散曲率模態(tài)也是正交的，即:

(7)

式中,c為非零常數(shù)。

由式(7)知，如果在式(5)中把第m階離散曲率模態(tài)值作為PVDF的加權系數(shù)，即：

W(k,m)=φ″m(xξ)

(8)

把式(8)代入式(5)，則加權后的PVDF陣列輸出為：

(9)

從式(9)可以發(fā)現(xiàn)，當用第m階離散曲率模態(tài)值作為加權系數(shù)來對階梯梁進行模態(tài)濾波得到的是第m階模態(tài)坐標。

1.2陣列式PVDF實現(xiàn)實驗曲率模態(tài)測量

由陣列式PVDF模態(tài)傳感器的設計可以看出，只要能知道相應的實驗離散曲率模態(tài)的值，就可以得到陣列式PVDF的加權系數(shù)向量，進而可以在實驗條件下直接測得階梯梁的相應模態(tài)坐標Am。

注意到目前對曲率模態(tài)的研究一般是通過結構模態(tài)而展開[21-23]。也就是說，首先通過傳統(tǒng)的加速度計進行實驗模態(tài)分析得到其結構模態(tài)，然后通過對結構模態(tài)進行中心二次差分、多項式插值等數(shù)值方法得到其曲率模態(tài)。但是對結構模態(tài)進行二階導數(shù)有可能放大其測量誤差，使得數(shù)值處理得到的曲率模態(tài)往往失真。近來Wang等[19-20]理論上證明了通過壓電材料直接測量結構曲率模態(tài)的可行性。本文在文獻[19-20]的基礎上進一步從實驗角度驗證通過PVDF陣列直接測量結構的曲率模態(tài)。

對式(2)運用拉格朗日微分中值定理，式(2)可重新表示為：

(10)

式中xξ滿足xk-l/2

從式(10)可以發(fā)現(xiàn)，當激勵點位置xf固定(即為φm(xf)為常數(shù))，PVDF傳感器按梁的n等分點均勻移動，可以測量到階梯梁的曲率模態(tài)φ″m(xξ)的n個離散值。通過實驗模態(tài)分析軟件即可得到離散曲率模態(tài)的值。

2實驗研究

為了驗證本文的陣列式PVDF模態(tài)傳感器的濾波效果，取一鋁質階梯梁進行實驗研究。如圖2所示，階梯梁有效長度為800 mm，階梯位置位于200 mm、440 mm、640 mm處，每段階梯對應的寬度分別為50 mm、40 mm、50 mm、30 mm，厚度均為5 mm。階梯梁被平均分成20個單元，20片PVDF傳感器貼于階梯梁的背面，位于每個單元的中央?yún)^(qū)域。PVDF的物理參數(shù)見表1。

表1　PVDF傳感器物理參數(shù)

實驗過程中，用LC-01A沖擊力錘作為外部力源位于xd處，通過力錘上的CL-YD303力傳感器測量激勵力，把布置在1～20號單元上的PVDF傳感器輸出信號傳入江蘇聯(lián)能YE6251數(shù)據(jù)采集儀，采樣頻率設置為4 kHz,采用上升沿觸發(fā)。實驗整體過程如圖2所示，首先力錘位于A點：xd=80 mm處，測量PVDF薄膜的輸出信號H(k)。將測得的輸出信號導入南京航空航天大學研發(fā)的N-Modal模態(tài)分析軟件進行數(shù)據(jù)分析，得到實驗離散曲率模態(tài)，然后直接把該離散曲率模態(tài)數(shù)值作為陣列式PVDF加權系數(shù)，用每片PVDF的輸出信號乘以相應的加權系數(shù)后相加得到各階模態(tài)坐標。

表2是實驗階梯梁前五階固有頻率實驗值, 為避免電噪聲對實驗設備的影響，取2～5階模態(tài)進行分析。圖3表示A激勵點xd=80 mm時，PVDF頻率響應曲線, 由圖可以看出，每片PVDF的輸出信號測得的各階模態(tài)下的頻率是一致的。

圖2　階梯梁實驗示意圖 Fig.2 Diagram of the stepped beam experiment

圖4表示實驗曲率模態(tài)分析的2～5階模態(tài)置信矩陣(Modal Assurance Criterion，MAC)直方圖，由圖可以看出對角線元素的值均為100，其他元素值遠小于對角元素，說明各階曲率模態(tài)具有很好的獨立性，模態(tài)分析效果很好。

表2　實驗梁前5階固有頻率實驗值

圖3　A激勵點下PVDF頻率響應曲線Fig.3 Frequency response function of PVDF films under A incentive point

圖4　曲率模態(tài)置信矩陣直方圖Fig.4 MAC of the experimental beam (curvature mode shapes)

由式(10)和式(8)可知，實驗模態(tài)分析得到的結構曲率模態(tài)離散值即為PVDF陣列的加權系數(shù)。圖5表示A激勵點下實驗測得的PVDF加權系數(shù)直方圖。

圖6表示通過PVDF陣列得到的實驗輸出信號平均值，由于只分析2～5階模態(tài)，頻率截斷到1 500 Hz。圖7是利用圖5中相應的加權系數(shù)對實驗階梯梁進行模態(tài)濾波得到的結果。從圖7中2到5階模態(tài)濾波可以看出，各目標階固有頻率處峰值明顯高于非目標階固有頻率處峰值，說明模態(tài)傳感器對目標階模態(tài)的濾波效果很好。對比圖6和圖7可看出，非目標階固有頻率處的峰值也明顯下降，但仍未能全部濾除，這與梁表面劃分的單元數(shù)目和PVDF傳感器數(shù)量有關，由于傳感器數(shù)量有限使得只有部分模態(tài)參與濾波，使得非目標階模態(tài)仍出現(xiàn)小的峰值。

圖5　PVDF加權系數(shù)直方圖Fig.5 Weighting coefficient histogram of PVDF films

圖6　PVDF傳感器陣列輸出信號平均值Fig.6 Average outputs of PVDF films

圖7　A激勵點下實驗梁濾波效果Fig.7 Modal filtering results of the experimental beam under A incentive point

由于PVDF陣列的加權系數(shù)與外激勵力性質(如激勵力類型、頻率以及位置等)無關[24]，所以通過該加權系數(shù)可以測量任意激勵下的模態(tài)坐標。圖8表示當激勵力移動到B點：xd=260 mm時，通過圖5所示的PVDF加權系數(shù)得到的模態(tài)坐標。由圖8可以看出，當激勵點改變后，頻率響應曲線的幅值發(fā)生了相應的變化。非目標階模態(tài)幅值與目標階模態(tài)幅值相比，有明顯下降。對比圖7和圖8可以看出，設計出來的PVDF陣列式模態(tài)傳感器對激勵點A、B具有同樣明顯的濾波效果，對模態(tài)坐標的識別效果很好。這也說明了模態(tài)傳感器不受激勵力位置影響。

圖8　B激勵點下實驗梁濾波效果Fig.8 Modal filtering results of the experimental beam under B incentive point

文獻[25]討論了矩形PVDF薄膜大小對測量的影響，當矩形PVDF傳感器過大時，其輸出電荷會受到結構軸向振動的影響，從而對模態(tài)濾波產(chǎn)生影響。該文獻的實驗結果表明，當采用30 mm×12 mm的矩形PVDF時，可以精確測量1 400 Hz內的結構法向振動信息。因此本文采用了文獻[25]建議的30 mm×12 mm的矩形PVDF，避免了軸向振動對模態(tài)分析的影響。

為了更好地說明PVDF傳感器數(shù)目對模態(tài)分析精度的影響，在A激勵點下，取圖5中序號為偶數(shù)的PVDF傳感器進行濾波分析。圖9為10片PVDF的加權系數(shù)，圖10為相應的濾波效果。對比圖7和圖10可以發(fā)現(xiàn)，采用10片PVDF的濾波效果與20片PVDF時基本相同。這主要是因為1 500 Hz內只包含8階結構模態(tài)。文獻[5,15-17,25-26]已經(jīng)證明：M片PVDF可以實現(xiàn)在頻率范圍0～ωM內的模態(tài)濾波。文獻[26]分析了PVDF布置間距失諧的情況，從中可以看出，對PVDF的布置進行一定優(yōu)化，可以減少對非目標階模態(tài)的濾除誤差。對于本文中前8階模態(tài)濾波效果，主要受PVDF傳感器數(shù)目的影響，當取10片或20片PVDF時，濾波效果已經(jīng)滿足模態(tài)識別要求。

圖9　10片PVDF加權系數(shù)直方圖Fig.9 Weighting coefficient histogram of ten PVDF films

圖10　10片PVDF實驗梁濾波效果Fig.10 Modal filtering results of the experimental beam with ten PVDF films

3結論

本文通過實驗方法設計階梯梁的PVDF陣列式模態(tài)傳感器，把模態(tài)傳感器推廣應用于非均勻結構。這種方法的優(yōu)點在于：只需要測量一組在某一激勵力下PVDF陣列的頻率響應函數(shù)，就可以通過實驗模態(tài)分析方法得到PVDF陣列的加權系數(shù)，該PVDF加權系數(shù)可用于計算任意激勵下的模態(tài)坐標。同時本文方法一個重要優(yōu)點是不需要任何復雜的數(shù)值計算。實驗結果表明本文方法的模態(tài)濾波效果良好，基于階梯梁結構模態(tài)測試結果，該理論框架可以拓展至一般復雜結構。

參 考 文 獻

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Design of modal sensors for a stepped beam based on PVDF array

ZHONG Hai-bin, MAO Qi-bo

(School of Aircraft Engineering, Nanchang Hangkong University, Nanchang 330063,China)

Abstract:With an example of a clamped-clamped beam containing multiple steps, a new test approach was presented to design modal sensors by using an array of polyvinylidene fluoride (PVDF) sensors. An array of rectangular segments of PVDF film uniformly was stuck on the surface of the beam, was taken as sensors. Firstly, an experimental modal analysis method was applied to obtain the beam’s curvature modal shapes directly. Then the measured curvature modal shapes were taken as the corresponding weighted coefficients of the output signals of the PVDF films, the weighted combinations of the outputs directly lead to the target modal coordinates. The experimental results showed that PVDF array modal sensors have advantages of easily bonded on the surface of the stepped beam,accurately and conveniently measuring tested curvature modes, independence of positions of external excitations, and good effect of modal filtering, etc.

Key words:PVDF sensors; experimental modal analysis; curvature mode; modal filtering; stepped beam

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51265037;11464031)；江西省高等學校科技落地項目(KJLD12075)

收稿日期：2015-03-09修改稿收到日期：2015-05-15

通信作者毛崎波 男，博士,教授，1975年生

中圖分類號:TP212.9

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.09.020

第一作者 鐘海彬 男，碩士，1990年生