非線性空間分數階Fisher方程的數值解法

陳雪娟,陳景華

(集美大學理學院,福建廈門361021)

非線性空間分數階Fisher方程的數值解法

陳雪娟*,陳景華

(集美大學理學院,福建廈門361021)

摘要：考慮非線性空間分數階Fisher方程的數值解,提出一種基于二次多項式樣條函數的數值解法,并證明該方法具有無條件穩(wěn)定性和收斂性．為了驗證所構造格式的有效性,引入分數階行方法 (FMOL) 與之進行比較．最后通過一個數值算例說明本文的理論分析是正確的,所構造的離散格式是有效的.

關鍵詞：分數階擴散方程;Caputo分數階導數;二次多項式樣條函數;行方法

分數階微分方程(時間、空間或時間空間分數階)是傳統(tǒng)整數階微分方程的推廣．由于分數階微積分具有記憶和遺傳特性,目前已被廣泛地應用于模擬工程、物理、化學和其他科學領域的許多現象[1-4]．眾所周知,要得到偏微分方程的解析解是很困難的,對于分數階偏微分方程而言更是如此,常用的方法是借助于各種積分變換和特殊函數的方法[5-7]．近年來許多學者在這個領域里做了大量的研究工作[8-11].

本文考慮非線性空間分數階Fisher方程的數值解問題,Fisher方程主要用來模擬物種增長和擴散問題．在已有的研究成果中,主要的數值解法是差分法、有限元法和譜方法等,但是采用二次多項式樣條函數進行數值逼近的研究文獻卻較缺乏[12-13]．本文提出一種基于二次樣條函數的數值解法,并分析所構造迭代格式的穩(wěn)定性和收斂性.

1一些記號和簡單的結論

非線性空間分數階Fisher方程如下:

1<α≤2,0

(1)

初始條件和邊界條件分別為:

u(x,0)=g(x),0

(2)

u(0,t)=u(l,t)=0,0≤t≤T．

(3)

其中,f(x,t)和g(x)為充分光滑的已知函數,非線性源項是關于u滿足Lipschitz 條件.

α階的Caputo分數階左導數定義如下：

a

(4)

α階的Riemann-Liouville分數階左導數定義如下：

u(s,t)ds,a

(5)

以上2種分數階導數的定義之間具有如下關系式[14]：

(6)

在實際求解微分方程初值問題的過程中,Caputo導數比Riemann-Liouville導數的應用更為廣泛而且更具有物理背景[15]．本文采用Caputo分數階導數定義,即

本文首先利用二次多項式樣條函數提出一種逼近Fisher方程數值解的迭代格式,并證明該格式具有無條件穩(wěn)定性和收斂性．然后給出非線性空間分數階Fisher方程的分數階行方法(FMOL),用于驗證所構造格式的有效性．最后通過一個數值算例說明本文理論分析的的正確性和可行性.

2基于多項式樣條函數的數值解法

2.1二次多項式樣條函數

我們考慮如下二次多項式樣條函數Pi(x,tj):

Pi(x,tj)=ai(tj)(x-xi)2+bi(tj)(x-xi)+

ci(tj),x∈[xi,xi+1],i=0,1,2,…,m-1;

j=0,1,…,n.

(7)

為了確定函數Pi(x,tj)的系數表達式,首先定義

(8)

(9)

(10)

由等式(7)～(9),可得

(11)

又由等式(10)和Caputo分數階導數的定義,有

(12)

因此,Pi(x,tj)系數的表達式為

(13)

2.2數值解法的迭代格式

為了使二次函數Pi(x,t)在x=xi,(i=1,2,…m-2.)處滿足連續(xù)性條件:

Pi(xi,tj)=Pi-1(xi,tj),

由等式(7)和(13),可以推出

(14)

(15)

證明由于

i=1,2,…,m-2;j=0,1,…,n.

(16)

將等式(16)的右邊在點(xi,tj)處進行Taylor展開,得到

O(h

4

)．

(17)

證畢.

所以,迭代格式(14)的截斷誤差階為O(hα),我們得到

(18)

利用向后差分法

O(τ)

(19)

和等式

(20)

由方程(1)可得:

(21)

將等式(21)代入等式(18),并忽略截斷誤差τO(hα+τ),可以推出如下的迭代格式:

(22)

設

則式(22)可以寫成

(23)

為了求解這個線性代數方程組,我們還需要兩個方程．利用邊界條件(3),通過線性插值得到下面兩個方程:

(24)

(25)

j=1,2,…,n.

因此,我們得到求解非線性空間分數階Fisher方程(1)的數值方法.

3收斂性和穩(wěn)定性分析

首先,將迭代格式(23)寫成矩陣的形式

AUj=δBUj-1+δτBFj-1,

(26)

其中,

j=1,2,…,n.

A=

B=

這里,a=δ-τ,b=2τ+6δ．A和B都是對稱矩陣．而且A是嚴格對角占優(yōu)矩陣,所以矩陣A是非奇異的．設A-1是A的逆矩陣,則由矩陣(26)可得

Uj=δA-1BUj-1+δτA-1BFj-1.

(27)

記

3.1穩(wěn)定性分析

記

由等式(27),可得誤差滿足

εj=δA-1Bεj-1+δτA-1Bβj-1,

這里,

k=1,2,…,m-2.

(28)

容易看出,矩陣B的特征值絕對值的最大值為

(29)

矩陣A的特征值絕對值的最小值為

(30)

所以

(31)

由于βj-1滿足Lipschitz條件,所以存在L使得

其中L是個正的常數.所以

(32)

將(32)迭代n次,可得

因此,迭代格式(23)是無條件穩(wěn)定的.

3.2收斂性分析

設

由等式(27),誤差滿足

ej=δA-1Bej-1+δτA-1Bηj-1+τA-1Rj,

這里,

類似地,可得

所以

利用離散Gronwall不等式,可得

C1TeLT(τ+hα)=C(τ+hα).

其中,C是個正的常數．因此,迭代格式(23)是無條件收斂的.

4FMOL

由于非線性偏微分方程的精確解很難通過計算得到,為了說明所構造的隱式差分格式的計算有效性及理論分析的正確性,我們給出了空間分數階Fisher方程的FMOL[17-18].

u(xk-1,tj)][(i-k+1)2-α-(i-k)2-α]}+

2u(xi-k+1,tj)+u(xi-k,tj)]}+

tj)-2u(xi-k+1,tj)+u(xi-k,tj)]}+O(h2).

那么Caputo分數階導數的數值近似可以由下面表達式計算得到:

u(xi-k+1,tj)+u(xi-k,tj)]}，

因此,空間分數階Fisher方程的行方法可以寫成如下形式:

5數值例子

為了證明我們的理論結果,考慮如下非線性空間分數階Fisher方程:

(33)

表1給出當α=1.5,T=0.1,l=1.0時用隱式格式(23)～(25)和FMOL計算方程(33)的數值結果．可以看出,使用迭代格式(23)～(25)計算所得的數值解與理論分析完全吻合,而且與用FMOL計算所得的數值解非常接近．圖1給出了當α=1.5,m=100,n=200時,含非線性源項的擴散系統(tǒng)隨時間t變化的特征.

圖1　空間分數階Fisher方程當α=1.5,h=0.01,τ=0.000 5時隨時間t變化的性態(tài)Fig.1Comparison of the response of the space-Fractional Fisher′s equation at different times when α=1.5,h=0.01,τ=0.000 5

表1　當α=1.5,T=0.1,l=1.0 時,本文所提出的數值方法對應于不同的時間和

6結論

本文給出了非線性空間分數階Fisher方程的數值模擬,并證明該數值方法是無條件穩(wěn)定和收斂的．通過一個數值例子的結果證明了本文的理論分析的有效性．該數值方法和理論分析方法也能用來求解和分析其他類型的分數階偏微分方程.

參考文獻：

[1]PODLUBNYI．Fractionaldifferentialequations:anintroductiontofractionalderivatives,fractionaldifferentialequations,tomethodsoftheirsolutionandsomeoftheirapplications[M]．NewYork:AcademicPress,1999:50-84.

[2]HILFERR．Applicationsoffractionalcalculusinphysics[M]．Singapore:WorldScientific,2000:377-385.

[3]METZLERR,KLAFTERJ．Therandomwalksguidetoanomalousdiffusion:afractionaldynamicsapproach[J]．PhysRep,2000,339(1):1-77.

[4]HILFERR．FractionaldiffusionbasedonRiemann-Liouvillefractionalderivatives[J]．JPhysChemB,2000,104:3914-3917.

[5]MAINARDIF,LUCHKOY,PAGNINIG．Thefundamentalsolutionofthespace-timefractionaldiffusionequation[J]．FractCalculusApplAnal,2001,4 (2):153-192.

[6]段俊生,徐明瑜．分數階擴散方程半無界混合問題的解[J]．高校應用數學學報：A輯,2003,18(3):259-266.

[7]HUANGF,LIUF．Thefundamentalsolutionofthespace-timefractionaladvection-dispersionequation[J]．JApplMathComputing,2005,18:339-350.

[8]LIUF,ANHV,TURNERI．NumericalsolutionofspacefractionalFokker-Planckequation[J]．JCompApplMath,2004,166:209-219.

[9]MEERSCHAERTMM,TADJERANC．Finitedifferenceapproximationsforfractionaladvection-dispersionflowequations[J]．CompApplMath,2004,172:65-77.

[10]ELDANAFST,HADHOUDRA．ParametricsplinefunctionsforthesolutionoftheonetimefractionalBurger′sequation[J]．ApplMathModel,2012,36:4557-4564.

[11]ZAHRAWK,ELKHOLYMS．Quadraticsplinesolutionboundaryvalueproblemoffractionalorder[J]．NumerAlgor,2012,9:373-391.

[12]KHANNA,AYAZM,JINL,etal．Onapproximatesolutionforthetime-fractionalreaction-diffusionequationoffishertype[J]．InternationalJournalofthePhysicalSciences,2011,6(10):2483-2495.

[13]ELDANAFTS,HADHOUDAR．ComputationalmethodforsolvingspacefractionalFisher′snonlinearequation[J]．MathematicalMethodsintheAppliedSciences,2014,37(5):657-662.

[14]ZHUANGP,LIUF,ANHV,etal．Numericalmethodsforthevariable-orderfractionaladvection-diffusionwithanonlinearsourceterm[J]．SIAMJNumerAnal,2009,47:1760-1781.

[15]郭柏靈,蒲學科,黃鳳輝．分數階偏微分方程及其數值解[M]．北京:科學出版社,2011:92-110.

[16]YANGSL．Eigenvalueoftridiagonalmatrixanditsapplications[J]．MathematicsinPracticeandTheory,2010,40(3):155-160.

[17]LIUF,ANHV,TURNERI．NumericalsolutionofthespacefractionalFokker-Planckequation[J]．JournalofComputationalandAppliedMathematics,2004,166:209-219.

[18]LIUF,ANHV,TURNERI,etal．Numericalsimulationforsolutetransportinfractalporousmedia[J]．ANZIAMJ．2004,45(E):461-473.

[19]DIEGOMURIOA．Implicitfiniedifferenceapproximationfortimefractionaldiffusionequations[J]．ComputersandMathwithApplications,2008,56:1138-1145.

Numerical Simulation for the Space Fractional Fisher′s Nonlinear Equation

CHEN Xuejuan*,CHEN Jinghua

(School of Sciences,Jimei University,Xiamen 361021,China)

Abstract:A numerical method based on the quadratic polynomial spline function is used to find approximate solutions for the space fractional Fisher′s nonlinear equation．The proposed method is proved to be unconditionally stable and convergent．For the purpose of evaluating the efficiency of the method,a comparison with a fractional method of lines (FMOL) is made．Finally,a numerical example is presented to show that the theoretical analysis in this paper is both correct and effective.

Key words:fractional diffusion equation;Caputo fractional derivative;quadratic polynomial spline function;line method

doi：10.6043/j.issn.0438-0479.2016.03.010

收稿日期：2015-07-03錄用日期：2015-10-25

基金項目：福建省教育廳項目(KB14014)；集美大學留學基金

*通信作者：chenxuejuan@gmail.com

中圖分類號:O 241.82

文獻標志碼：A

文章編號：0438-0479(2016)03-0360-06

引文格式：陳雪娟,陳景華.非線性空間分數階Fisher方程的數值解法.廈門大學學報(自然科學版)，2016,55(3)：360-365.

Citation：CHEN X J,CHEN J H．Numerical simulation for the space fractional Fisher′s nonlinear equation.Journal of Xiamen University(Natural Science)，2016,55(3)：360-365．(in Chinese)