關于單模的頂點和核的一點注記

胡嘯晗，杜　妮

(廈門大學數(shù)學科學學院，福建廈門361005)

關于單模的頂點和核的一點注記

胡嘯晗，杜妮*

(廈門大學數(shù)學科學學院，福建廈門361005)

摘要：設G為有限群,k是特征為p的代數(shù)閉域(p>0).另設S是單kG-模,V(S)是S的一個頂點,Ker(S)是S的核.在本文中,若Op′(G)?Z(G)且每個屬于主p-塊的單kG-模S均有V(S)?Ker(S),則對每個x∈G,令Q=P∩Px,G中存在一個包含Op′(G)的正規(guī)子群H,滿足Q∈Sylp(H)且|NH(Q)/Q|=|Op′(G)|.另外,設B為G的一個p-塊,得到了B為p-根塊的一個充分條件.

關鍵詞：單模;頂點;核;p-根塊

1背景和主要結論

在本文中,恒設G為有限群,k是特征為p的代數(shù)閉域(p>0),P是G的一個Sylowp-子群.另外,文中提及的模均為有限生成左模.

Motose等提出了p-根群的概念.若(kP)G是半單的,其中kP是平凡的kP-模,則稱G是一個p-根群.為了研究p-根群與p-冪零群之間的關系,Tsushima提出了p-根塊的概念.稱G的一個p-塊B為p-根塊,若eB(kP)G是半單的,其中eB是對應B的塊冪等元.在這兩個概念提出之后,許多數(shù)學家對p-根群進行了深入研究,并取得了大量成果[1-4].特別地,Feit對p-根群進行了詳細的介紹(見文獻[5]的第6章第6節(jié)).

設S是單kG-模且P(S)={H≤G|S是kH-投射模}.稱V(S)是S的一個頂點,若V(S)是子群集P(S)中的極小元(見文獻[5]中第3章第4節(jié)).設Ker(S)={x∈G|xv=v,對任意v∈S}是S的核.在本文中,我們考慮如下條件:

V(S)?Ker(S).

(1)

Hida討論了: 對每個單kG-模S,S均滿足條件(1)的情形,并對群G給出了一個抽象群的刻畫.

受文獻[6]的啟發(fā),我們考慮: 對每個屬于主p-塊的單kG-模S,S均滿足條件(1)的情形,并將文獻[6]中結論推廣到G的主p-塊上,得到了如下結論.

定理1若G滿足如下兩個條件:

(i) Op′(G)?Z(G).

(ii) 對每個屬于主p-塊B0的單kG-模S,均有V(S)?Ker(S).

則對于每個x∈G,令Q=P∩Px,G 中存在一個包含Op′(G)的正規(guī)子群H,滿足Q∈Sylp(H)并且|NH(Q)/Q|=|Op′(G)|.

在文獻[3]中,Koshitani給出了G是p-根群的一個充分條件: 若每個單kG-模S均有SNG(Q)為單kNG(Q)-模,其中Q為S的一個頂點,則G是p-根群.我們將上述結果推廣到p-塊上,得到如下結論.

定理2設B為G的一個p-塊.若每個屬于B的單kG-模S,均有SNG(Q)為單kNG(Q)-模,其中Q為S的一個頂點,則B為p-根塊.

本文未定義的記號和術語可參考文獻[5].

2預備知識

為了方便讀者,我們給出幾個輔助性的引理.

引理1(文獻,第四章引理4.12(iii)) 設B0是G的主p-塊,則Op′,p(G)=∩S∈B0Ker(S).

引理2(文獻[7〗,推論3.7;文獻[8〗,引理2)若每個屬于主p-塊的單kG-模S,均有V(S)?Ker(S),則G是p-可解群.

引理4(文獻[6〗,定理2.6)下列條件等價.

(i) 對每個單kG-模S,均有V(S)?Ker(S).

(ii) G是p-可解群并且對每個x∈G,G中存在一個正規(guī)子群H,使得P∩Px∈Sylp(H)且NH(P∩Px)=P∩Px.

引理5(文獻[6〗定理2.7)若每個單kG-模S,均有V(S)?Ker(S),則G是p-可解群且成立：

(i) 若p為奇數(shù),則G/Op(G)的p-長至多為1.

(ii) 若p=2,則G/O2(G)的2-長至多為2.

引理6(文獻[4〗,定理)若每個屬于p-塊B的單kG-模S,均有V(S)?Ker(S),則B為p-根塊.

引理7(文獻[5〗,第3章推論2.13(i))設H是G的正規(guī)p-子群且S為單kG-模,則H?Ker(S).

引理8(文獻[9〗,定理2.1)若G是p-可解群,則Op′(G)=1當且僅當kG只有一個p-塊,即kG作為群環(huán)是不可分的.

引理9設G是p-可解群,令B0是G的主p-塊,則B0?k(G/Op′(G))且k(G/Op′(G))只有一個p-塊.

注1在引理9中,對B0?k(G/Op′(G))的證明,我們采用了與文獻[10]的第7章定理12.9及13.6不同的方法.

3主要結論的證明

對每個x∈G,令Q=P∩Px,下面證明:G中存在一個包含Op′(G)的正規(guī)子群H,滿足Q∈Sylp(H)且|NH(Q)/Q|=|Op′(G)|.

NH(Q)/NH(Q)∩Op′(G)?Q.

因此,由于Op′(G)?Z(G),|NH(Q)/Q|=|NOp′(G)(Q)|=|Op′(G)|.

推論1若Op′(G)=1,則下列條件等價.

(i) 對每個屬于主p-塊的單kG-模S,均有V(S)?Ker(S).

證明由于1=Op′(G)?Z(G),應用定理1及引理4,結論成立.

推論2若Op′(G)?Z(G)且每個屬于主p-塊的單kG-模S,均有V(S)?Ker(S),則G是p-可解群且下列結論成立.

(i) 若p為奇數(shù),則G/Op′,p(G)的p-長至多為1.

(ii) 若p=2,則G/O2′,2(G)的2-長至多為2.

下面,我們給出一個例子來說明存在有限群G滿足定理1的結論.

由定理2的證明可知,在主p-塊上,定理2的條件比定理1的條件更強.因此,我們有如下推論.

推論3若G滿足如下兩個條件:

(i)Op′(G)?Z(G).

(ii) 每個屬于主p-塊B0的單kG-模S,均有SNG(Q)為單kNG(Q)-模,其中Q為S的一個頂點.

證明應用定理1及定理2的證明,即得結論.

參考文獻：

[1]MOTOSE K,NINOMIYA Y.On the subgroupsHof a groupGsuch thatJ(KH)KG?J(KG)[J].Math J Okayama Univ,1975,17:171-176.

[2]TSUSHIMA Y.Onp-radical groups[J].J Algebra,1986,103:80-86.

[3]KOSHITANI S.A remark onp-radical groups[J].J Algebra,1990,134:491-496.

[4]HIDA A.Onp-radical blocks of finite groups[J].Proc Amer Math Soc,1992,114:37-38.

[5]FEIT W.The representation theory of finite groups[M].Amsterdam:North-Holland,1982:1-502.

[6]HIDA A.A note on kernels and vertices of simple modules[J].J Algebra,1995,171:917-920.

[7]KN?RR R.On the vertices of irreducible modules[J].J Algebra,1979,86:487-499.

[8]HAMERNIK W,MICHLER G.On vertices of simple modules inp-solvable groups[J].Mitt Math Seminar Giessen,1976,121:147-162.

[9]FONG P,GASCHüTZ W.A note on the modular representations of solvable groups[J].J Reine Angew Math,1961,208:73-78.

[10]HUPPERTB,BLACKBURNN.FinitegroupsII[M].Berlin:Springer-Verlag,1982：1-531.

A Note on Vertices and Kernels of Simple Modules

HU Xiaohan,DU Ni*

(School of Mathematical Sciences,Xiamen University,Xiamen 361005,China)

Abstract:Let G be a finite group and k a field of characteristic p>0.And let S be a simple kG-module and V(S) a vertex of S.Also denote by Ker(S) the kernel of S.In this note,we give a group theoretical characterization of G if V(S)?Ker(S) for any simple kG-module S in the principal p-block of G.In addition,we obtain that a sufficient condition for p-radical blocks of G.

Key words:simple module;vertex;kernel;p-radical block

doi：10.6043/j.issn.0438-0479.2016.03.009

收稿日期：2015-10-19錄用日期：2016-03-02

基金項目：國家自然科學基金(11201385)；福建省自然科學基金(2015J01027)；廈門大學校長基金(20720160003)

*通信作者：duni@xmu.edu.cn

中圖分類號:O 152.6

文獻標志碼：A

文章編號：0438-0479(2016)03-0357-03

引文格式：胡嘯晗，杜妮.關于單模的頂點和核的一點注記.廈門大學學報(自然科學版)，2016,55(3)：357-359.

Citation：HU X H,DU N．A note on vertices and kernels of simple modules.Journal of Xiamen University(Natural Science)，2016,55(3)：357-359．(in Chinese)