不等定時截尾試驗指數(shù)分布情形下的可靠性評定

賈　祥, 王小林, 郭　波

(1.國防科技大學信息系統(tǒng)與管理學院, 湖南 長沙 410073;2. 78020部隊, 云南 昆明 655000)

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不等定時截尾試驗指數(shù)分布情形下的可靠性評定

賈祥1, 王小林2, 郭波1

(1.國防科技大學信息系統(tǒng)與管理學院, 湖南 長沙 410073;2. 78020部隊, 云南 昆明 655000)

摘要：針對產(chǎn)品的可靠性評估問題,一般需要統(tǒng)計分析壽命試驗中收集到的試驗數(shù)據(jù)。假如所有試驗樣品都在不同時刻終止試驗,這種方式就是不等定時截尾壽命試驗。針對不等定時截尾數(shù)據(jù),現(xiàn)有方法大多只能得到參數(shù)的點估計,缺乏針對參數(shù)置信區(qū)間的估計方法。針對這一問題,在指數(shù)分布下,根據(jù)樣本空間排序法這一理論,推導得到一個比現(xiàn)有方法更簡單的計算方法。作為對比,基于極大似然估計的性質(zhì)和bootstrap方法,又提出兩個置信下限的近似求解方法。然后,通過蒙特卡羅仿真實驗和一個算例,比較了這3個方法。實驗表明基于樣本空間排序法的計算結果更優(yōu)。

關鍵詞：樣本空間排序法; 指數(shù)分布; 不等定時截尾; 置信限

0引言

可靠性是指產(chǎn)品在規(guī)定的條件下,在規(guī)定的時間內(nèi)完成規(guī)定的任務的能力[1]。可靠性的概率度量稱為可靠度。有時,也用壽命這一指標來表示產(chǎn)品的可靠性。針對產(chǎn)品的可靠性評估,往往是對一批產(chǎn)品進行可靠性壽命試驗,收集產(chǎn)品的試驗時間并進行統(tǒng)計分析,繼而評定產(chǎn)品的可靠性。定時截尾試驗是可靠性壽命試驗的一種常見形式。

一般情況下,定時截尾試驗是指在同一時刻終止所有試驗樣品的試驗。文獻[2]在指數(shù)分布下,基于定時截尾試驗數(shù)據(jù),得到了分布參數(shù)的極大似然估計,但文中并沒有討論如何建立分布參數(shù)的置信區(qū)間。在指數(shù)分布下對定時截尾試驗數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析,尤其在對參數(shù)的置信區(qū)間進行求解時,更多地則是考慮其近似解[3-4]。在定時截尾試驗中,如果針對所有試驗樣品,在不同的時刻分別終止試驗,這種試驗方式就稱為不等定時截尾試驗?；谶@種類型的試驗數(shù)據(jù),也有研究人員進行了相關研究[5-6]。但這些都只討論了參數(shù)點估計的求解方法,并沒有涉及到置信區(qū)間的估計方法。

樣本空間排序法的提出,為參數(shù)估計,尤其是參數(shù)的置信區(qū)間估計,提供了一條新思路[7-8]。針對不同類型的試驗數(shù)據(jù)和壽命分布,如何根據(jù)樣本空間排序法建立參數(shù)的置信區(qū)間,已有相對豐富的研究成果[9-10]。尤其值得一提的是,當前產(chǎn)品的可靠性越來越高,經(jīng)過壽命試驗收集到的試驗數(shù)據(jù)很可能是無失效數(shù)據(jù)[11]。如果將樣本空間排序法運用到無失效問題中,也可以得到不同分布下參數(shù)的置信區(qū)間估計[12-13]。這是樣本空間排序法在實際應用中的一大優(yōu)勢。而針對不等定時截尾試驗數(shù)據(jù),也已有研究人員根據(jù)樣本空間排序法,在指數(shù)分布下進行了探討[14-15]。目前相關理論分析已經(jīng)比較完備[14],但已有的計算方法卻非常復雜[15],并且還沒有研究來展示其效果。

由此可知,針對不等定時截尾試驗數(shù)據(jù),對實際中更為關心的參數(shù)的置信區(qū)間估計,目前仍然缺乏簡單有效的的處理方法。這正是本文要解決的問題。指數(shù)分布常常被用來描述產(chǎn)品的壽命,因此本文將在指數(shù)分布情形下,提出更為簡單有效的方法,對不等定時截尾試驗數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析,并評估產(chǎn)品的可靠性,尤其是對置信下限進行估計。

1模型及參數(shù)點估計

首先建立不等定時截尾試驗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計模型。假定有n個樣品參與壽命試驗,依次在截尾時刻點τ1,…,τn(τ1≤…≤τn)處停止試驗。若樣品i在截尾時刻點τi前失效,則收集到的試驗數(shù)據(jù)就是失效時間,反之就是截尾時間τi。

指數(shù)分布的概率密度函數(shù)為

(1)

式中,參數(shù)θ是平均壽命。若產(chǎn)品壽命X服從參數(shù)為θ的指數(shù)分布,則記作X～exp(θ)。

引入變量

(2)

式中，Xi為樣品i的壽命。當δi=1時,壽命試驗收集到的數(shù)據(jù)為失效時間;反之,試驗收集到的是截尾時間?？山y(tǒng)一用yi=Xiδi+τi(1-δi)來表示樣品i的試驗時間。另外,為了后續(xù)推導證明的方便,引入符號δ=(δ1,δ2,…,δn)。

(3)

(4)

在指數(shù)分布下,可靠度函數(shù)是參數(shù)平均壽命的單調(diào)函數(shù),可靠度的置信下限就是參數(shù)平均壽命置信下限的函數(shù)。因而估計可靠度的置信下限與估計平均壽命的置信下限是等價的。這樣就可以將估計可靠度置信下限轉化為估計參數(shù)平均壽命的置信下限。首先,基于樣本空間排序法的思想,提出一個更為簡單有效的估計平均壽命置信下限的方法。其次,作為對比,基于似然估計的性質(zhì)和bootstrap方法,分別提出兩個平均壽命的近似置信下限。最后,通過蒙特卡羅仿真實驗和一個算例來比較這些方法的效果。

2基于樣本空間排序法的置信下限

2.1樣本空間排序法

樣本空間排序法是一類通過在樣本空間中引入序的概念從而求解參數(shù)置信限的理論方法。文獻[8]指出,針對取值于非空集合E的隨機元Z,若對任何x,y,z∈Z有下列性質(zhì):①或者x≥y或者y≥x;②x≥x;③若x≥y,y≥z,則x≥z,那么可在E引入一個二元關系≥,使得E關于≥是一個擬全序集。若進一步引入統(tǒng)計量φ(Z),則相當于在樣本空間E中定義了一個序≥如下:當且僅當φ(z1)≥φ(z2)時規(guī)定z1≥z2。設μ∈R,對參數(shù)空間Θ中的參數(shù)θ,令

(5)

(6)

則有

(7)

據(jù)此可確定g(θ)的置信下限,具體證明過程可參考文獻[8]。為了應用樣本空間排序法求其置信下限,常常取g(θ)的某個估計量(如極大似然估計)作為統(tǒng)計量φ。針對不同的具體問題,可選擇不同的φ。而應用樣本空間排序法的難點也是如何選擇φ繼而確定G(μ,θ)。

2.2置信下限的求解

(8)

當r=0時,可知此時收集到的試驗數(shù)據(jù)為無失效數(shù)據(jù),即所有試驗數(shù)據(jù)全部為截尾時間,此時Xi≥τi(i=1,2,…,n),可得

(9)

當r≠0時,此時

(10)

(11)

引入變量符號pi=exp(-τi/θ),則可以分別求得P(Xi<τi)=1-pi,P(Xi≥τi)=pi,i=1,2,…,n。則P(r,δ)為

(12)

(13)

進一步則有

(14)

式中,υ(u;r,1/θ)為

(15)

根據(jù)

(16)

綜合式(9)～式(16),可確定式(8)。該結果顯然比已有方法[15]要簡單。

(17)

(18)

3基于bootstrap方法的置信下限

在本節(jié)中,當r>0時,通過bootstrap方法,可以建立平均壽命參數(shù)θ的近似置信下限。具體步驟如下:

基于樣本量n,原始不等定時截尾試驗數(shù)據(jù)y1,y2,…,yn,n個截尾時刻點τ1,τ2,…,τn及bootstrap自助樣本量B:

步驟 4基于bootstrap樣本和rb,用式(4)可計算得到一個θ的bootstrap估計值,記為θ*。

(19)

4近似置信限法

在本節(jié)中,當r>0時,通過極大似然估計的漸進正態(tài)性,提出一個參數(shù)θ的近似置信下限。

(20)

(21)

式中，μα為標準正態(tài)分布的α下側分位數(shù)。

Sundberg也基于極大似然估計的漸進正態(tài)性,針對定時截尾試驗數(shù)據(jù),提出了參數(shù)θ的近似置信下限[3]。這一結果與式(21)相類似。

5仿真實驗

在本節(jié)中,通過設計一個蒙特卡羅仿真實驗,來對上述方法的優(yōu)劣進行比較。參看相關文獻的實驗方法[16],現(xiàn)將本文仿真實驗的設計細節(jié)說明如下:

(1) 不失一般性,設定指數(shù)分布的平均壽命參數(shù)為θ=10;

(2) 樣本量n設為8、10、12、15、20、30和50,其中n取為8、10、12及15時指代小子樣情形,n取為20、30和50則指代大樣本情形;

(3) 針對截尾時刻點τ1≤…≤τn的設計,為簡化試驗過程,令相鄰截尾時刻之差相等,即Δ=τi-τi-1(i=2,3,…,n),其中τ0隨機生成。在仿真實驗過程中,依次取Δ為2、3和4,以觀察截尾時刻點的設置對結果的影響;

評價置信區(qū)間時最常用的2個指標是覆蓋率和置信區(qū)間平均長度。本文用置信下限平均值來替代置信區(qū)間平均長度。如果一個用來求解置信區(qū)間的方法是有效的,首先要保證根據(jù)該方法得到的覆蓋率不小于置信水平,最好是與覆蓋率基本吻合,這樣可說明該結果既不激進也不保守。在覆蓋率與相應的置信水平吻合的基礎上,如果置信區(qū)間的平均長度更小,或者置信下限平均值更大,則可認為該方法明顯優(yōu)于其他方法。由表1和表2結果可知:

(1) 在表1中,針對覆蓋率這一指標,近似置信下限法對應的覆蓋率低于相應的置信水平,說明在小子樣下,近似置信下限結果偏激進;而bootstrap法的覆蓋率則高于相應的置信水平,說明bootstrap近似置信下限偏保守;相比之下,樣本空間排序法的覆蓋率與相應的置信水平更為吻合,說明在覆蓋率這一指標上,樣本空間排序法更好。

(2) 針對置信下限平均值這一指標,在表1中,相比之下,基于樣本空間排序法得到的置信下限平均值高于bootstrap近似置信下限,低于近似置信下限,說明基于樣本空間排序法得到的置信下限結果更合理,而這與上述覆蓋率的結果也相吻合。

表1　小子樣情形下的仿真實驗結果

表2　大樣本情形下的仿真實驗結果

(3) 需要指明的是,由于樣本空間排序法引入了序的概念,從而涉及到了變量的組合問題,這使得該方法的計算耗時將隨著樣本量的增加而增加。這一結論可以從表1中的平均耗時結果得到驗證。因此在大樣本情形下,即表2中,我們只展示了近似置信下限和bootstrap近似置信下限的計算結果。

(4) 從表2可知,在大樣本情形下,近似置信下限和bootstrap近似置信下限的平均值與小子樣下相比都有所增大,且近似置信限法的覆蓋率變大,bootstrap方法的覆蓋率變小,二者都更接近相應的置信水平。這說明,隨著樣本量的增大,近似置信限法和bootstrap方法的效果都有所提升。而相比之下,近似置信限法的結果更好,因為近似置信限法的覆蓋率更接近于相應的置信水平,置信下限平均值更大。

(5) 從表1和表2綜合可知,隨著n和Δ的增大,3個方法的結果都變得更好,因為這3個方法的覆蓋率與相應的置信水平更為吻合,置信下限平均值也隨之增加。這也說明,在評估產(chǎn)品可靠性時,樣本量越大,截尾時刻點越長,則基于不等定時截尾壽命數(shù)據(jù)計算得到的可靠性結果越好。

由以上分析可以看出,基于樣本空間排序法計算的覆蓋率結果更合理,得到的置信下限平均值也更準確。由此,基于覆蓋率和置信區(qū)間平均長度這兩大指標,可證明本文基于樣本空間排序法提出的新方法要優(yōu)于近似置信限法和bootstrap方法。且該方法比已有方法要簡單,故本文提出的方法是有效且實用的。另外,在大樣本情形下,若要求耗時較短,則可用近似置信下限來替代。

6算例

表3　根據(jù)算例數(shù)據(jù)算得的置信下限

由表中結果可知,針對算例數(shù)據(jù),由本文新提出的方法計算得到的置信下限位于近似置信下限和bootstrap近似置信下限之間,這與仿真結果是吻合的。由此再一次證明了本文新提出的方法的準確性和有效性。

7結論

針對不等定時截尾試驗收集到的樣本數(shù)據(jù),本文基于樣本空間排序法,提出了一個更簡單的計算可靠度置信下限的方法。經(jīng)過仿真實驗分析,可知本文新提出的方法要優(yōu)于由極大似然估計性質(zhì)推得的近似置信下限和基于bootstrap方法得到的近似置信下限。另外,若收集到的都是無失效數(shù)據(jù),該方法依舊適用。這表明本文新提出的方法是廣泛適用的,且有效的。

參考文獻：

[1] Guo B, Wu X Y.Analysisofsystemreliability[M]. Changsha: National university of defence technology Press,2002:5-6.(郭波,武小悅. 系統(tǒng)可靠性分析[M]. 長沙: 國防科技大學出版社, 2002: 5-6.)

[2] Bartholomew D J. The sampling distribution of an estimate arising in life testing[J].Technometrics, 1963, 5(3): 361-374.

[3] Sundberg R. Comparison of confidence procedures for type I censored exponential lifetimes[J].Lifetimedataanalysis, 2001, 7(4): 393-413.

[4] Mao S S, Tang Y C, Wang L L.Reliabilitystatistics[M]. Beijing:Senior education Press,2008:106-109.(茆詩松,湯銀才,王玲玲.可靠性統(tǒng)計[M].北京:高等教育出版社,2008:106-109.)

[5] Wu Y G. Parameter estimation of commonly used survival distribution based on randomly censored data[D]. Chengdu: Sichuan University, 2005.(吳耀國. 隨機刪失數(shù)據(jù)下常用生產(chǎn)分布的參數(shù)估計[D]. 成都: 四川大學, 2005.)

[6] Huang C J. Parameter estimation of a class of distribution based on case I interval censored data[D]. Wuhan: Central China Normal University, 2012.(黃傳勁. I型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)下一類分布的參數(shù)估計[D]. 武漢: 華中師范大學, 2012.)

[7] Chen J D. The order relations in the sample spaces and the confidence limits for parameters[J].AdvancesinMathematics, 1993, 22(6): 542-552.(陳家鼎. 樣本空間中的序與參數(shù)的置信限[J].數(shù)學進展, 1993, 22(6): 542-552.)

[8] Chen J D.Survivalanalysisandreliability[M]. Beijing: Peking University Press, 2005: 220-230.(陳家鼎. 生存分析與可靠性[M]. 北京: 北京大學出版社, 2005: 220-230.)

[9] Chen J D, Fang X Z. The reliability evacuation in the case of success or failure and the case of exponential distribution[J].JournalofAppliedStatisticsandManagement,2012,31(4):659-669.(陳家鼎,房祥忠.第二講:成敗型情形和指數(shù)分布情形的可靠性評定[J].數(shù)理統(tǒng)計與管理,2012,31(4):659-669.)

[10] Chen J D, Fang X Z. The reliability evacuation in the case of Weibull or log-normal exponential distribution[J].JournalofAppliedStatisticsandManagement, 2012, 31(5): 835-848.(陳家鼎,房祥忠. 第三講:Weibull分布和對數(shù)正態(tài)分布情形的可靠性評定[J].數(shù)理統(tǒng)計與管理, 2012, 31(5): 835-848.)

[11] Cai Z Y, Chen Y X, Xiang H C, et al. Method for evaluation of weight expected-Bayesian reliability based on zero-failure data[J].SystemsEngineeringandElectronics, 2015, 37(1): 219-223.(蔡忠義,陳云翔,項華春等.基于無失效數(shù)據(jù)的加權E-Bayes可靠性評估方法[J].系統(tǒng)工程與電子技術,2015,37(1):219-223.)

[12] Chen J D, Sun W D, Li B X. On the confidence limits in the case of no failure data[J].ActaMathe-maticaeApplicataeSinica, 1995, 18(1): 90-100.(陳家鼎, 孫萬龍, 李補喜. 關于無失效數(shù)據(jù)情形下的置信限[J].應用數(shù)學學報,1995,18(1):90-100.)

[13] Han M. Confidence limits of reliability parameters for Weibull distribution[J].JournalofMechanicalStrength,2009,31(1):59-62.(韓明. Weibull分布可靠性參數(shù)的置信限[J].機械強度, 2009, 31(1): 59-62.)

[14] Jing G Z, Fang X Z. On the confidence limits for the mean of exponential distribution with non-equal censored time[J].JournalofAppliedStatisticsandManagement, 2000, 19(2): 46-49.(荊廣珠,房祥忠. 非等定時截尾壽命試驗方案指數(shù)分布情形平均壽命的置信限[J].數(shù)理統(tǒng)計與管理,2000,19(2):46-49.)

[15] Yan G S, Hou Z Y. The confidence limits of mean life under variant time truncation experiment:a case in exponent distribution[J].JournalofZhengzhouTextileInstitute, 1998, 9(3): 61-65.(嚴廣松,侯紫燕. 不相同定時截尾試驗中平均壽命的置信限[J].鄭州紡織工學院學報, 1998, 9(3): 61-65.)

[16] Balakrishnan N, Han D, Iliopoulos G. Exact inference for progressively Type-I censored exponential failure data[J].Metrika, 2011, 73: 335-358.

賈祥(1992-),男,博士研究生,主要研究方向為系統(tǒng)可靠性分析。

E-mail: jiaxiang09@sina.cn

王小林(1985-),男,工程師,博士,主要研究方向為系統(tǒng)可靠性分析。

E-mail: wangxiaolin2013@sina.com

郭波(1962-),男,教授,博士,主要研究方向為裝備綜合保障管理、項目管理與工程管理。

E-mail: boguo@nudt.edu.cn

Reliability evaluation for exponential distribution under non-equal type-I censoring

JIA Xiang1, WANG Xiao-lin2, GUO Bo1

(1 .CollegeofInformationSystemsandManagement,NationalUniversityofDefenseTechnology,Changsha410073,China; 2.Unit78020ofPLA,Kunming655000,China)

Abstract:The problem of reliability evaluation is usually handled based on the sample from the life testing experiment. If all the units in the life test are terminated at different times, it is called the non-equal type-I censoring. According to the non-equal type-I censoring sample, the existing methods usually estimate the parameter without the confidence interval. To fill this gap, a simpler method is proposed to construct the confidence limit on the basis of the order relations in the sample spaces under the exponential distribution. As comparisons, two approximate methods are also proposed based on the bootstrap method and the property of maximum likelihood estimate. Then, a Monte Carlo simulation and an illustrative example are conducted to compare the results of the three methods, which demonstrate that the new method outperforms the others.

Keywords:order relations in the sample spaces; exponential distribution; non-equal type-I censoring; confidence limit

收稿日期：2015-06-15；修回日期：2015-10-07；網(wǎng)絡優(yōu)先出版日期：2015-12-12。

基金項目：國家自然科學基金(71371182)資助課題

中圖分類號：TB 114.3

文獻標志碼：A

DOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2016.06.38

作者簡介：

網(wǎng)絡優(yōu)先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20151222.1415.002.html